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管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|Minimizing a Separable PL Convex Function Subject
The negative of a concave function is convex. Maximizing a concave function is the same as minimizing its negative, which is a convex function. Using this, the techniques discussed here can also be used to solve problems in which a separable PL concave function is required to be maximized subject to linear constraints.
A real-valued function $z(x)$ of decision variables $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^T$ is said to be a separable function if it can be expressed as the sum of $n$ different functions, each one involving only one variable, that is, has the form $z(x)=z_1\left(x_1\right)+z_2\left(x_2\right)+$ $\ldots+z_n\left(x_n\right)$. This separable function is also a PL convex function if $z_j\left(x_j\right)$ is a PL convex function for each $j=1$ to $n$.
Result 2.3. Let $\theta(\lambda)$ be the PL convex function of $\lambda \in R^1$ defined over $\lambda \geq 0$ shown in the following table:
where $\lambda_1<\lambda_2<\ldots<\lambda_{r-1}$ and $c_1<c_2<$ ldots $<c_r$ (conditions for $\theta(\lambda)$ to be convex). Then for any $\bar{\lambda} \geq 0, \theta(\bar{\lambda})$ is the minimum objective value in the following problem.
$$
\begin{array}{ll}
\text { Minimize } z= & c_1 \mu_1+\ldots+c_r \mu_r \
\text { subject to } & \mu_1+\ldots+\mu_r=\bar{\lambda} \
& 0 \leq \mu_t \leq \lambda_t-\lambda_{t-1} t=1, \ldots, r
\end{array}
$$
Proof. Problem (2.5) can be interpreted this way: Suppose we want to purchase exactly $\bar{\lambda}$ units of a commodity for which there are $r$ suppliers. For $k=1$ to $r$, $k$ th supplier’s rate is $c_k$ /unit and can supply up to $\lambda_k-\lambda_{k-1}$ units only. $\mu_k$ in the problem represents the amount purchased from the $k$ th supplier, it is $\geq 0$, but is bounded above by the length of the $k$ th interval in which the slope of $\theta(\lambda)$ is $c_k . z$ to be minimized is the total expense to acquire the required $\bar{\lambda}$ of the commodity.
Clearly, to minimize $z$, we should purchase as much as possible from the cheapest supplier, and when he cannot supply any more go to the next cheapest supplier, and continue the same way until the required quantity is acquired. As the cost coefficients satisfy $c_1<c_2<\ldots<c_r$ by the convexity of $\theta(\lambda)$, the cheapest cost coefficient corresponds to the leftmost interval beginning with 0 , the next cheapest corresponds to the next interval just to the right of it, and so on. Because of this, the optimum solution $\bar{\mu}=\left(\bar{\mu}1, \ldots, \overline{\mu_r}\right)$ of $(2.5)$ satisfies the following special property. Special property of optimum solution $\bar{\mu}$ of (2.5) that follows from convexity of $\dot{\theta}(\lambda)$ : If $p$ is such that $\lambda_p \leq \bar{\lambda} \leq \lambda{p+1}$, then $\bar{\mu}t=\lambda_t-\lambda{t-1}$, the upper bound of $\mu_t$ for all $t=1$ to $p, \bar{\mu}_{p \mid 1}=\bar{\lambda}-\lambda_p$, and $\bar{\mu}_t=0$ for all $t \geq p+2$.
This property says that in the optimum solution of (2.5) if any $\mu_k>0$, then the value of $\mu_t$ in it must be equal to the upper bound on this variable for any $t<k$. Because of this, the optimum objective value in (2.5) is $=c_1 \bar{\mu}_1+\ldots+c_r \bar{\mu}_r \theta(\bar{\lambda})$.
管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|Min-max, Max-min Problems
As discussed earlier, a PL convex function in variables $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^T$ can be expressed as the pointwise maximum of a finite set of affine functions. Minimizing a function like that subject to some constraints is appropriately known as a min-max problem.
Similarly, a PL concave function in $x$ can be expressed as the pointwise minimum of a finite set of affine functions. Maximizing a function like that subject to some constraints is appropriately known as a max-min problem. Both min-max and maxmin problems can be expressed as LPs using just one additional variable, if all the constraints are linear constraints.
If the PL convex function $f(x)=\operatorname{maximum}\left{c_0^t+c^t x: t=1, \ldots, r\right}$, then $-f(x)=\operatorname{minimum}\left{-c_0^t-c^t x: t=1, \ldots, r\right}$ is PI. concave and conversely. Using this, any min-max problem can be posed as a max-min problem and vice versa. So, it is sufficient to discuss max-min problems. Consider the max-min problem
Maximize $z(x)=\operatorname{Minimum}\left{c_0^1+c^1 x, \ldots, c_0^r+c^r x\right}$
subject to $A x=b$
$x \geq 0$.
To transform this problem into an LP, introduce the new variable $x_{n+1}$ to denote the value of the objective function $z(x)$ to be maximized. Then the equivalent LP with additional linear constraints is
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{Maximize} & x_{n+1} \
\text { subject to } & x_{n+1} \leq c_0^1+c^1 x \
& x_{n+1} \leq c_0^2+c^2 x
\end{array}
$$ $$
\begin{aligned}
x_{n+1} & \leq c_0^r+c^r x \
A x &=b \
x & \geq 0
\end{aligned}
$$
The fact that $x_{n+1}$ is being maximized and the additional constraints together imply that if $\left(\bar{x}, \bar{x}{n+1}\right)$ is an optimum solution of this LP model, then $\bar{x}{n+1}=$ $\min \left{c_0^1+c^1 \bar{x}, \ldots, c_0^r+c^r \bar{x}\right}=z(\bar{x})$, and that $\bar{x}_{n+1}$ is the maximum value of $z(x)$ in the original max-min problem.
决策论代考
管理科学代写|决策论代写管理科学决策模型代考|最小化可分离PL凸函数主题
凹函数的负数是凸函数。一个凹函数的最大值和它的负号的最小值是一样的，它是一个凸函数。利用这一点，这里讨论的技术也可以用来解决可分离PL凹函数在线性约束下需要最大化的问题
决策变量$x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^T$的实值函数$z(x)$如果可以表示为$n$个不同函数的和，即每个函数只涉及一个变量，形式为$z(x)=z_1\left(x_1\right)+z_2\left(x_2\right)+$$\ldots+z_n\left(x_n\right)$，则称其为可分离函数。如果$z_j\left(x_j\right)$是每个$j=1$到$n$的PL凸函数，这个可分离函数也是PL凸函数
2.3.
设$\theta(\lambda)$为$\lambda \in R^1$在$\lambda \geq 0$上定义的PL凸函数，如下表所示:
where $\lambda_1<\lambda_2<\ldots<\lambda_{r-1}$ 和 $c_1<c_2<$ ldots $<c_r$ (条件 $\theta(\lambda)$ 为凸)。那么对于任何 $\bar{\lambda} \geq 0, \theta(\bar{\lambda})$ 是否为以下问题中的最小目标值。
$$
\begin{array}{ll}
\text { Minimize } z= & c_1 \mu_1+\ldots+c_r \mu_r \
\text { subject to } & \mu_1+\ldots+\mu_r=\bar{\lambda} \
& 0 \leq \mu_t \leq \lambda_t-\lambda_{t-1} t=1, \ldots, r
\end{array}
$$
证明。问题(2.5)可以这样解释:假设我们想确切地购买 $\bar{\lambda}$ 商品的单位 $r$ 供应商。对于 $k=1$ 到 $r$， $k$ 供应商的费率是 $c_k$ /单位，最多可供应 $\lambda_k-\lambda_{k-1}$ 仅限单位。 $\mu_k$ 问题中表示从 $k$ 供应商，是的 $\geq 0$，但上面的长度限制 $k$ 的斜率的区间 $\theta(\lambda)$ 是 $c_k . z$ 需要最小化的是获得所需的总费用 $\bar{\lambda}$ 商品的。
显然是最小化 $z$我们应该尽可能多地从最便宜的供应商那里采购，当他供应不了的时候，就去下一个最便宜的供应商那里采购，一直这样下去，直到获得所需的数量。当代价系数满足时 $c_1<c_2<\ldots<c_r$ 的凸性 $\theta(\lambda)$最便宜的代价系数对应的是从0开始的最左边的区间，其次最便宜的代价系数对应的是它右边的下一个区间，以此类推。正因为如此，最优解 $\bar{\mu}=\left(\bar{\mu}1, \ldots, \overline{\mu_r}\right)$ 的 $(2.5)$ 满足以下特殊性质。最优解的特殊性质 $\bar{\mu}$ 的(2.5)的 $\dot{\theta}(\lambda)$ :如果 $p$ 是这样的 $\lambda_p \leq \bar{\lambda} \leq \lambda{p+1}$，那么 $\bar{\mu}t=\lambda_t-\lambda{t-1}$的上限 $\mu_t$ 为所有人 $t=1$ 到 $p, \bar{\mu}_{p \mid 1}=\bar{\lambda}-\lambda_p$，以及 $\bar{\mu}_t=0$ 为所有人 $t \geq p+2$.
该属性表示在(2.5)的最优解中，如果有$\mu_k>0$，则其中$\mu_t$的值必须等于该变量的上界，对于任何$t<k$。正因为如此，(2.5)中最优的目标值是$=c_1 \bar{\mu}_1+\ldots+c_r \bar{\mu}_r \theta(\bar{\lambda})$ .
管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|Min-max, Max-min Problems
如前所述，变量$x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^T$中的PL凸函数可以表示为有限的仿射函数集的点向最大值。将受某些约束的函数最小化称为最小-最大问题(min-max problem)
类似地，$x$中的PL凹函数可以表示为有限的仿射函数集的点向最小值。在某些约束条件下，使这样的函数最大化被恰当地称为最大最小问题。如果所有约束都是线性约束，min-max和maxmin问题都可以用一个附加变量表示为LPs
如果PL凸函数$f(x)=\operatorname{maximum}\left{c_0^t+c^t x: t=1, \ldots, r\right}$，则$-f(x)=\operatorname{minimum}\left{-c_0^t-c^t x: t=1, \ldots, r\right}$为PI。凹的和相反的。使用这种方法，任何最小-极大问题都可以被提出为最大-最小问题，反之亦然。因此，讨论极大极小问题就足够了。考虑max-min问题
Maximize $z(x)=\operatorname{Minimum}\left{c_0^1+c^1 x, \ldots, c_0^r+c^r x\right}$
subject to $A x=b$
$x \geq 0$ .
为了将这个问题转化为LP，引入新的变量$x_{n+1}$来表示要最大化的目标函数$z(x)$的值。那么具有附加线性约束的等价LP是
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{Maximize} & x_{n+1} \
\text { subject to } & x_{n+1} \leq c_0^1+c^1 x \
& x_{n+1} \leq c_0^2+c^2 x
\end{array}
$$$$
\begin{aligned}
x_{n+1} & \leq c_0^r+c^r x \
A x &=b \
x & \geq 0
\end{aligned}
$$
$x_{n+1}$被最大化的事实和附加约束一起意味着，如果$\left(\bar{x}, \bar{x}{n+1}\right)$是该LP模型的最优解，那么$\bar{x}{n+1}=$$\min \left{c_0^1+c^1 \bar{x}, \ldots, c_0^r+c^r \bar{x}\right}=z(\bar{x})$，并且$\bar{x}_{n+1}$是原始最大-最小问题中$z(x)$的最大值
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