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数学代写|金融衍生品代写Financial derivatives代考|Equity Index
A stock market index is a measurement targeting to describe the performance of the stock market. It is computed from the price of selected stocks. An index is a mathematical construct which does not allow direct investment. People may invest through index futures, mutual funds or exchange-traded funds (ETFs) tracking the index.
An equity index may be classified according to its calculation method. Let $k$ be the number of stocks included in the index, $n_t^i$ the total number of outstanding (freefloat) shares for stock $i$ on day $t$, and $S_t^i$ the stock price. The two main classes of index are as follows:
- Capitalization Weighted Index:
The majority of the equity indices belongs to this type, e.g. S\&P 500, Euro Stoxx 50. The calculation for each index is a variation of the below general method:
$$
\text { Index }t=\text { Index }{t-1} \times \frac{\sum_{i=1}^k n_t^i S_t^i}{\sum_{i=1}^k n_t^i S_{t-1}^i}
$$ - Price Weighted Index:
There are only a few equity indices of this type. Dow Jones Industrial Average and Nikkei Index are the most well-known ones. The calculation is as follows:
$$
\text { Index } t=\frac{\sum_{i=1}^k S_I^i}{\text { Divisor }},
$$
where Divisor serves for scaling the price continuity by adjusting its value in case of some corporate actions and other external factors. As the stock price alone does not contain any particular information, the methodology of relating the weight to its price level is obviously not a rational approach.
数学代写|金融衍生品代写Financial derivatives代考|Equity Forward, Cash & Carry and Reverse Cash
An equity forward on a single stock is an OTC contract between two parties where the long party is engaged to buy from the short party a certain quantity $N$ (called notional) of the stock at a pre-agreed delivery price $K$ at the expiry of the contract. The payoff of the long party is
$$
\text { Payoff }=N \times\left(S_T-K\right),
$$
where $S_T$ is the stock price at expiry $T$.
The market forward price (denoted as $F$, the value of $K$ such that the forward contract value is zero) for equities can be derived with no-arbitrage condition. In its general form, a stock is assumed to pay both cash and proportional dividend. The stock borrow/lending fee rate is called repo rate ${ }^2$ in modelling for equities.
Proposition 3.1 Let $S_0$ be stock price at time 0 .
(1) For a non-dividend paying stock with zero repo rate and constant interest rate $r$, the forward price $F$ is
$$
F=S_0 e^{r T}
$$
(2) For the general case, let $r_t$ be the instantaneous interest rate, $\lambda_t$ the instantaneous repo rate and $d_{t_k}$ the rate for the proportional dividend at time $t_k \cdot{ }^3$ The forward price $F$ is
$$
F=S_0 e^{\int_0^T\left(r_t-\lambda_t\right) d t-\sum_{t_k \leq T} d_{t_k}} .
$$
Proof
(1) The short party can hedge the forward contract by the Cash \& Carry Strategy which consists of buying one stock at time 0 financed by a loan and holding the stock until the expiry. The table shows that, by setting $K=S_0 e^{r T}$, the total $\mathrm{P} / \mathrm{L}$ of the short forward position and the long stock position with a loan is zero which means perfect hedging.
金融衍生品代考
数学代写|金融衍生品代写金融衍生品代考|股票指数
股票市场指数是一种旨在描述股票市场表现的度量指标。它是根据选定股票的价格计算出来的。指数是一种数学构造，不允许直接投资。人们可以通过指数期货、共同基金或跟踪指数的交易所交易基金(etf)进行投资
股票指数可以根据其计算方法进行分类。设$k$为指数中包含的股票数量，$n_t^i$为股票在$t$日的流通股总数(自由流通股)$i$, $S_t^i$为股票价格。索引的两个主要类如下:
资本化加权指数:
大多数股票指数属于这种类型，如标准普尔500指数，欧洲斯托克50指数。每个指数的计算是以下通用方法的变化:
$$
\text { Index }t=\text { Index }{t-1} \times \frac{\sum_{i=1}^k n_t^i S_t^i}{\sum_{i=1}^k n_t^i S_{t-1}^i}
$$ 价格加权指数:
只有少数这类股票指数。道琼斯工业平均指数和日经指数是最著名的。计算如下:
$$
\text { Index } t=\frac{\sum_{i=1}^k S_I^i}{\text { Divisor }},
$$
，其中除数的作用是在一些公司行为和其他外部因素的情况下，通过调整其价值来扩大价格连续性。由于股价本身不包含任何特定的信息，将权重与其价格水平挂钩的方法显然不是一种合理的方法。
数学代写|金融衍生品代写金融衍生品代考|股票期货，现金＆Carry and Reverse Cash
单只股票的股票远期合约是两方之间的场外合约，做多方约定在合约到期时以事先商定的交割价格$K$从做空方购买一定数量的$N$(称为名义)股票。多头方的收益是
$$
\text { Payoff }=N \times\left(S_T-K\right),
$$
，其中$S_T$是到期时的股票价格$T$。
在无套利条件下，可以推导出股票的远期市场价格(记为$F$, $K$的值表示远期合同价值为零)。一般情况下，股票既支付现金红利，又支付比例红利。股票借贷费率在股票模型中称为回购利率${ }^2$。命题3.1设$S_0$为时刻0时的股价。
(1)对于回购利率为零且利率不变的非分红股票$r$，远期价格$F$
$$
F=S_0 e^{r T}
$$
(2)对于一般情况，设$r_t$为瞬时利率，$\lambda_t$瞬时回购利率和$d_{t_k}$当时比例红利利率$t_k \cdot{ }^3$远期价格$F$
$$
F=S_0 e^{\int_0^T\left(r_t-\lambda_t\right) d t-\sum_{t_k \leq T} d_{t_k}} .
$$
证明
(1)做空方可以用现金＆套息策略包括在0时刻用贷款购买一只股票，并持有该股票直到到期。从表中可以看出，通过设置$K=S_0 e^{r T}$，有贷款的远期空头头寸和多头股票头寸的总和$\mathrm{P} / \mathrm{L}$为零，这意味着完美对冲。
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