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数学代写|代数学代写Algebra代考|A Characterization of Invertible Matrices
Since we now know how to find the inverse of a product of invertible matrices, it follows that if we can write a matrix as a product of elementary matrices, then we can find its inverse by inverting each of those elementary matrices and multiplying together those inverses in opposite order (just like we did in Example 2.2.6).
However, this observation is not yet useful, since we do not know how to break down a general invertible matrix into a product of elementary matrices, nor do we know whether or not this is always possible. The following theorem and its proof solve these problems, and also introduces an important connection between invertible matrices and systems of linear equations.
Suppose $A \in \mathcal{M}_n$. The following are equivalent:
a) $A$ is invertible.
b) The linear system $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ has a solution for all $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$.
c) The linear system $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ has a unique solution for all $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$.
d) The linear system $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ has a unique solution.
e The reduced row echelon form of $A$ is $I$ (the identity matrix).
f $A$ can be written as a product of elementary matrices.
Proof. To start, we show that (a) $\Longrightarrow$ (c) $\Longrightarrow$ (d) $\Longrightarrow$ (e) $\Longrightarrow$ (f) $\Longrightarrow$ (a), which means that any one of these five statements implies any of the other five (we will take care of condition (b) later).
To see that (a) $\Longrightarrow$ (c), we note that if $A$ is invertible then $\mathbf{x}=A^{-1} \mathbf{b}$ is a solution of the linear system $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$, since
$$
A\left(A^{-1} \mathbf{b}\right)=\left(A A^{-1}\right) \mathbf{b}=I \mathbf{b}=\mathbf{b} .
$$
To see that this solution is unique, suppose that there were two solutions $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$. Then $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ and $A \mathbf{y}=\mathbf{b}$, so subtracting gives us $A(\mathbf{x}-\mathbf{y})=\mathbf{0}$. It then follows that
$$
\mathbf{x}-\mathbf{y}=\left(A^{-1} A\right)(\mathbf{x}-\mathbf{y})=A^{-1}(A(\mathbf{x}-\mathbf{y}))=A^{-1} \mathbf{0}=\mathbf{0},
$$
so $\mathbf{x}=\mathbf{y}$ (i.e., the solution is unique).
数学代写|代数学代写Algebra代考|Subspaces
As a starting point, recall that linear systems can be interpreted geometrically as asking for the point(s) of intersection of a collection of lines or planes (depending on the number of variables involved). The following definition introduces subspaces, which can be thought of as any-dimensional analogues of lines and planes.
A subspace of $\mathbb{R}^n$ is a non-empty set $\mathcal{S}$ of vectors in $\mathbb{R}^n$ with the properties that
a) if $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathcal{S}$ then $\mathbf{v}+\mathbf{w} \in \mathcal{S}$, and
b) if $\mathbf{v} \in \mathcal{S}$ and $c \in \mathbb{R}$ then $c \mathbf{v} \in \mathcal{S}$.
The idea behind this definition is that property (a) ensures that subspaces are “flat”, and property (b) makes it so that they are “infinitely long” (just like lines and planes). Subspaces do not have any holes or edges, and if they extend even a little bit in a given direction, then they must extend forever in that direction.
The defining properties of subspaces mimic the properties of lines and planes, but with one caveat-every subspace contains $\boldsymbol{0}$ (the zero vector). The reason for this is simply that if we choose $\mathbf{v} \in \mathcal{S}$ arbitrarily and let $c=0$ in property (b) of Definition $2.3 .1$ then
$$
\mathbf{0}=0 \mathbf{v}=c \mathbf{v} \in \mathcal{S} .
$$
This implies, for example, that a line through the origin is indeed a subspace, but a line in $\mathbb{R}^2$ with $y$-intercept equal to anything other than 0 is not a subspace (see Figure 2.13).
Before working with subspaces algebraically, we look at couple of quick examples geometrically to try to build some intuition for how they work.
代数学代考
数学代写|代数学代写Algebra代考|可逆矩阵的一个表征
既然我们现在知道了如何求可逆矩阵积的逆，那么，如果我们可以将一个矩阵写成初等矩阵的乘积，那么我们就可以通过对每个初等矩阵求逆，并将这些逆矩阵以相反的顺序相乘(就像我们在例2.2.6中所做的那样)来求它的逆矩阵
然而，这个观察结果还没有用处，因为我们不知道如何将一个一般的可逆矩阵分解成初等矩阵的乘积，也不知道这是否总是可能的。下面的定理及其证明解决了这些问题，也介绍了可逆矩阵与线性方程组之间的一个重要联系。
假设$A \in \mathcal{M}_n$。以下是等价的:
a) $A$是可逆的
b)线性系统$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$对所有的$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$有一个解
c)线性系统$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$对所有的$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$有一个唯一解
d)线性系统$A \mathbf{x}=\mathbf{0}$有一个唯一解。
e $A$的行简化阶梯形为$I$(单位矩阵)。
f $A$可以写成初等矩阵的乘积。
证明。首先，我们表明(a) $\Longrightarrow$ (c) $\Longrightarrow$ (d) $\Longrightarrow$ (e) $\Longrightarrow$ (f) $\Longrightarrow$ (a)，这意味着这五个语句中的任何一个都意味着其他五个语句中的任何一个(我们将在后面讨论(b)条件)
为了证明(a) $\Longrightarrow$ (c)，我们注意到如果$A$是可逆的，那么$\mathbf{x}=A^{-1} \mathbf{b}$是线性系统$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$的一个解，因为
$$
A\left(A^{-1} \mathbf{b}\right)=\left(A A^{-1}\right) \mathbf{b}=I \mathbf{b}=\mathbf{b} .
$$
为了证明这个解是唯一的，假设有两个解$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$。然后是$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$和$A \mathbf{y}=\mathbf{b}$，所以相减得到$A(\mathbf{x}-\mathbf{y})=\mathbf{0}$。然后得到
$$
\mathbf{x}-\mathbf{y}=\left(A^{-1} A\right)(\mathbf{x}-\mathbf{y})=A^{-1}(A(\mathbf{x}-\mathbf{y}))=A^{-1} \mathbf{0}=\mathbf{0},
$$
所以$\mathbf{x}=\mathbf{y}$(即，解是唯一的)
数学代写|代数学代写Algebra代考|Subspaces
首先，回想一下，线性系统可以从几何上解释为要求直线或平面集合的交点(取决于所涉及的变量的数量)。下面的定义引入了子空间，子空间可以被认为是线和平面的任何维度类似物
$\mathbb{R}^n$的子空间是一个非空集$\mathcal{S}$，由$\mathbb{R}^n$中的向量组成，其属性是
A)如果$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathcal{S}$则$\mathbf{v}+\mathbf{w} \in \mathcal{S}$，
b)如果$\mathbf{v} \in \mathcal{S}$和$c \in \mathbb{R}$则$c \mathbf{v} \in \mathcal{S}$。
这个定义背后的思想是(A)属性确保子空间是“平坦的”，(b)属性使子空间“无限长”(就像线和平面)。子空间没有任何孔洞或边，如果它们向一个给定的方向延伸了哪怕一点点，那么它们就必须向那个方向永远延伸
子空间的定义性质类似于线和平面的性质，但有一点需要注意——每个子空间都包含$\boldsymbol{0}$(零向量)。原因很简单，如果我们任意地选择$\mathbf{v} \in \mathcal{S}$，并让$c=0$在定义$2.3 .1$的属性(b)中，那么
$$
\mathbf{0}=0 \mathbf{v}=c \mathbf{v} \in \mathcal{S} .
$$
这意味着，例如，一条经过原点的线确实是一个子空间，但是在$\mathbb{R}^2$中$y$ -截距等于任何非0的值的线就不是一个子空间(参见图2.13)
在用代数方法处理子空间之前，我们先看几个几何上的简单例子，试图对它们如何工作有一些直观的认识
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