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统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Konvexe Optimierung
Wie im unrestringierten Fall sind auch im restringierten Fall konvexe Minimierungsprobleme erheblich einfacher zu handhaben als nichtkonvexe Probleme. Dabei heißt ein Minimierungsproblem $P$ konvex, wenn die Funktionen $f$ und $g_i, i \in I$, konvex und die Funktionen $h_j, j \in J$, linear sind. Unter diesen Voraussetzungen an die Restriktionsfunktionen $g_i$ und $h_j$ lässt sich insbesondere zeigen, dass die zulässige Menge
$$
\mathbb{M}=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid g_i(x) \leq 0, i \in I, h_j(x)=0, j \in J\right}
$$
konvex ist. Die Voraussetzung der Linearität der Gleichungsrestriktionen ist dazu wesentlich, denn beispielsweise ist die Funktion $h(x)=x_1^2+x_2^2-1$ zwar konvex, ihre Höhenlinie $h_{=}^0$ beschreibt aber den Rand der Einheitskreisscheibe, also eine nichtkonvexe Menge. Für Ungleichungen ist diese Einschränkung nicht nötig, wie das Beispiel der konvexen Funktion $g(x)=x_1^2+x_2^2-1$ illustriert, deren untere Niveaumenge $g_{\leq}^0$ die konvexe Einheitskreisscheibe ist.
Eine erste wesentliche Vereinfachung gegenüber dem nichtkonvexen Fall ergibt sich bei der Constraint Qualification, unter der ein lokaler Minimalpunkt KKTPunkt ist. Die Menge $\mathbb{M}$ erfüllt die Slater-Bedingung, wenn ein Punkt $x^$ mit $$ g_i\left(x^\right)<0, i \in I, \quad h_j\left(x^\right)=0, j \in J, $$ existiert und wenn die Gradienten der Gleichungsrestriktionen $\nabla h_j\left(x^\right), j \in J$, linear unabhängig sind. Ein solcher Punkt $x^$ heißt Slater-Punkt von $\mathbb{M}$. In Abwesenheit von Gleichungsrestriktionen $(q=0)$ erfüllt $\mathbb{M}$ also genau dann die SlaterBedingung, wenn $\mathbb{M}$ ein Element $x^$ enthält, an dem keine Ungleichung aktiv ist. Beispielsweise crfüllt die Menge $\mathbb{M}$ aus $\Lambda$ bbildung $7.10$ dic Slater-Bedingung.
Wesentliche Unterschiede zur LUB bestehen darin, dass die Slater-Bedingung hinsichtlich der Ungleichungen nicht Gradienten, sondern nur Funktionswerte betrachtet, und dass die Slater-Bedingung nicht (lokal) an einem einzelnen Punkt $\bar{x} \in \mathbb{M}$ aufgestellt wird, sondern (global) für die gesamte Menge $\mathbb{M}$. Insbesondere braucht der Slater-Punkt $x^*$ nicht mit einem Kandidaten $\bar{x}$ für einen lokalen Minimalpunkt übereinzustimmen.
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Iterative Verfahren
Die gängigen Verfahren zur iterativen Lösung restringierter nichtlinearer Optimierungsprobleme lassen sich grob in die folgenden drei Klassen einteilen:
- Approximation durch lineare Optimierungsprobleme und Lösung der Hilfsprobleme mit dem Simplex-Algorithmus,
- Approximation durch unrestringierte nichtlineare Optimierungsprobleme und Lösung der Hilfsprobleme mit den Verfahren aus Abschnitt 7.2.3,
- Lösung der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen.
Eine Approximation durch lineare Optimierungsprobleme erweist sich nur für konvexe nichtlineare Probleme als sinnvoll. Zwei grundlegende Vertreter dieses Ansatzes sind das Schnittebenenverfahren von Kelley und das Verfahren von Frank-Wolfe. Das Straftermverfahren und das Barriereverfahren bilden zwei wichtige Vertreter der Approximation auch nichtkonvexer Probleme durch unrestringierte Probleme. Eine Umformulierung des Barriereverfahrens wird uns schlieklich auf einen zentralen Lösungsansatz für die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen führen, die sogenannten primal-dualen Innere-Punkte-Methoden. Weitere Ansätze zur Lösung der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen sind die sogenannten SQP-Verfahren und das Verfahren von Lemke, für die wir auf die weiterführende Literatur verweisen $([3,39,50])$.
Wie im unrestringierten Fall setzen die Algorithmen die Lösbarkeit des vorliegenden Optimierungsproblems voraus und berechnen nur einen einzigen Kandidaten für einen Optimalpunkt.
运筹学代考
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Konvexe Optimierung
与无约束情况一样，凸最小化问题比受约束情况下的非凸问题更容易处理。这称为最小化问题 $P$ 如果函数 是凸的 $f$ 和 $g_i, i \in I$ ，和函数 $h_j, j \in J$ ，是线性的。在这些条件下限制函数 $g_i$ 和 $h_j$ 可以特别表明允许的金 额
$\backslash$ mathbb ${M}=\backslash$ left ${x \backslash \text { in } \backslash \text { mathbb }{R}}^{\wedge} n \backslash$ mid $g_{-} i(x) \backslash$ leq $0, i \backslash$ in $I, h_{-} j(x)=0, j \backslash$ in $\bigwedge$ \ight $}$
是凸的。方程限制的线性假设对此至关重要，因为例如，函数 $h(x)=x_1^2+x_2^2-1$ 虽然是凸的，但它们的 轮廓线 $h_{=}^0$ 但描述了单位圆盘的边缘，即非凸集。对于不等式，此限制不是必需的，如凸函数的示例 $g(x)=x_1^2+x_2^2-1$ 说明，其较低的水平集 $g_{\leq}^0$ 是凸单位圆盘。
与非凸情况相比，第一个重要的简化来自约束条件，在该条件下，局部最小点是 KKTPoint。数量 $\mathbb{M}$ 如果一 个点满足 Slater 条件 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 和
g_i \left( $\left(x^{\wedge} \backslash\right.$ \ight $)<0$, i \in I, \quad $\left.h_{-}\right\rceil \backslash$ left $\left(x^{\wedge} \backslash\right.$ right $)=0, j$ \in $J$, 在没有方程限制的情况下 $(q=0)$ 满足 $\mathbb{M}$ 所以斯莱特条件当且仅当 $\mathbb{M}$ 一个元雔 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 包含没有不等式活跃的地 方。例如 crfulfills 数量 $\mathbb{M}$ 出去 $\Lambda$ 数字 $7.10$ 斯莱特条件。
与 LUB 的主要区别在于 Slater 条件不考虑不等式的梯度，而只考虑函数值，并且 Slater 条件不 (局部) 查 看单个点 $\bar{x} \in \mathbb{M}$ 已设置，但 (全局) 为整个集合 $\mathbb{M}$. 特别是，斯莱特点需要 $x^*$ 不与候选人 $\bar{x}$ 为局部最小值。
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Iterative Verfahren
受限非线性优化问题迭代求解的常用方法大致可分为以下三类:
- 通过线性优化问题逼近并用单纯形算法解决辅助问题,
- 通过不受限制的非线性优化问题进行近似，并使用第 $7.2 .3$ 节中的方法解决辅助问题，
- Karush-Kuhn-Tucker 条件的解。
线性优化问题的近似只对凸非线性问题有意义。这种方法的两个基本代表是 Kelley 的切割平面方法和 Frank-Wolfe 的方法。惩罚项法和障碍法是无限制问题逼近非凸问题的两个重要代表。对障碍法的重新 表述最終将引导我们找到解决 Karush-Kuhn-Tucker 条件的中心方法，即所谓的原始对偶内点法。解决 Karush-Kuhn-Tucker 条件的其他方法是所谓的 SQP 方法和 Lemke 方法，我们参考进一步的文献 $([3,39,50])$
在不受约束的情况下，算法假设手头的优化问题可以得到解决，并且只计算一个最佳点的候选者。
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