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统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Konvexe Optimierung
Für stetig differenzierbare konvexe Funktionen (vgl. Abschnitt A.9) wird der Zusammenhang zwischen kritischen Punkten und Minimalpunkten erheblich übersichtlicher als im allgemeinen nichtkonvexen Fall. Dies liegt an der $C^1$-Charakterisierung der Konvexität einer stetig differenzierbaren Funktion: $f$ ist genau dann konvex auf $\mathbb{R}^n$, wenn der Graph von $f$ oberhalb der Graphen aller Linearisierungen von $f$ verläuft:
$$
\forall x, y \in \mathbb{R}^n: \quad f(x) \geq f(y)+\langle\nabla f(y), x-y\rangle .
$$
Wählt man in dieser Ungleichung als $y$ einen kritischen Punkt von $f$, so folgt
$$
\forall x \in \mathbb{R}^n: \quad f(x) \geq f(y)+0,
$$
was gerade bedeutet, dass $y$ ein globaler Minimalpunkt von $f$ ist. Damit ist jeder kritische Punkt von $f$ notwendigerweise globaler Minimalpunkt von $f$. Nach der Fermat’schen Regel (Sat. 7.2) ist ankerdem jeder lokale Minimalpunkt von $f$ kritischer Punkt, also auch jeder globale Minimalpunkt. Damit haben wir den folgenden Satz hergeleitet.
Die Funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sei stetig differenzierbar und konvex. Dann sind die kritischen Punkte von $f$ genau die globalen Minimalpunkte von $f$.
Satz $7.6$ impliziert insbesondere, dass stetig differenzierbare konvexe Funktionen keine „echt” lokalen Minimalpunkte besitzen können, denn jeder lokale Minimalpunkt ist kritischer Punkt und damit auch globaler Minimalpunkt.
Als algorithmische Konsequenz aus Satz $7.6$ folgt, dass jedes Optimierungsverfahren, das kritische Punkte identifizieren kann, für stetig differenzierbare konvexe Probleme auch globale Minimalpunkte identifiziert. Insbesondere lassen sich das Gradienten- und das Newton-Verfahren daher zur globalen Minimierung hinreichend glatter konvexer Funktionen einsetzen.
Eine weitere Konsequenz aus Satz $7.6$ besteht darin, dass ein stetig differenzierbares konvexes Problem garantiert lösbar ist, sofern es einen kritischen Punkt besitzt.
Für zweimal stetig differenzierbare Funktionen gibt es eine einfache Möglichkeit, ihre Konvexität zu überprüfen. Nach der $C^2$-Charakterisierung von Konvexität ist eine solche Funktion $f$ genau dann konvex auf $\mathbb{R}^n$, wenn ihre Hesse-Matrix $D^2 f(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}^n$ positiv semidefinit ist.
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Linearisierbarkeit
Eine grundlegende Idee zur Herleitung passender Optimalitätsbedingungen besteht in der Linearisierung des Qptimierungsproblems. Um diese Konstruktion zu verdeutlichen, ist in Abbildung $7.10$ eine durch drei nichtlineare Ungleichungen beschriebene Menge $\mathbb{M}$ dargestellt, über die eine nichtlineare Zielfunktion $f$ minimiert wird, deren Höhenlinien und unrestringierter Minimalpunkt ebenfalls eingezeichnet sind. Optimalpunkt des Problems ist $\bar{x}$. Bei der Linearisierung des Optimie-rungsproblems um $\bar{x}$ werden alle beteiligten Funktionen um $\bar{x}$ linearisiert (vgl. Abschnitt A.8) und dann das entstehende lineare Optimierungsproblem betrachtet:
- $f(x)$ wird durch die Funktion $f(\bar{x})+\langle\nabla f(\bar{x}), x-\bar{x}\rangle$ ersetzt, deren Höhenlinie am Punkt $\bar{x}$ tangential zur Höhenlinie von $f$ durch $\bar{x}$ verläuft,
- jede Ungleichungsrestriktion $g_i(x) \leq 0$ wird durch $g_i(\bar{x})+\left\langle\nabla g_i(\bar{x}), x-\bar{x}\right\rangle \leq 0$ ersetzt, was zur ebenfalls in Abbildung $7.10$ eingezeichneten Linearisierung der Menge $\mathbb{M}$ um den Punkt $\bar{x}$ führt.
Die entscheidende Beobachtung im Beispiel aus Abbildung $7.10$ besteht darin, dass $\bar{x}$ auch Minimalpunkt des linearisierten Problems ist. Für ein allgemeines Problem $P$ lautet diese Linearisierung um $\bar{x} \in \mathbb{M}$
$$
\begin{array}{ll}
\min _x f(\bar{x})+\langle\nabla f(\bar{x}), x-\bar{x}\rangle \quad \text { s.t. } \quad & g_i(\bar{x})+\left\langle\nabla g_i(\bar{x}), x-\bar{x}\right\rangle \leq 0, i \in I, \
& h_j(\bar{x})+\left\langle\nabla h_j(\bar{x}), x-\bar{x}\right\rangle=0, j \in J .
\end{array}
$$
Da der konstante Term $f(\bar{x})$ in der Zielfunktion keinen Einfluss auf optimale Punkte besitzt, unterschlagen wir ihn im Folgenden. Ebenso gilt $h_j(\bar{x})=0$ für alle $j \in J$, da $\bar{x} \in \mathbb{M}$ vorausgesetzt ist. Schlieslich stellt man fest, dass die Entscheidungsvariable $x$ stets durch den Term $x-\bar{x}$ in das Problem eingeht, so dass wir abkürzend noch $d=x \quad \bar{x}$ setzen und im Folgenden über $d \subset \mathbb{R}^n$ minimieren. Dadureh entsteht dos lineare Optimierungsproblem $$
L P: \quad \min _d\langle\nabla f(\bar{x}), d\rangle \quad \text { s.t. } \quad \begin{aligned}
\left\langle\nabla g_i(\bar{x}), d\right\rangle & \leq-g_i(\bar{x}), i \in I, \
\left\langle\nabla h_j(\bar{x}), d\right\rangle &=0, j \in J .
\end{aligned}
$$
Die Minimalität von $\bar{x}$ für das linearisierte Problem ist damit gleichbedeutend, dass $\bar{d}=0$ Minimalpunkt von $L P$ ist. Da wir bislang nur an einem Beispiel gesehen haben, dass für einen Minimalpunkt $\bar{x}$ von $P$ der Vektor $\bar{d}=0$ auch Minimalpunkt von $L P$ ist, nennen wir $P$ um $\bar{x}$ linearisierbar, wenn dies tatsächlich der Fall ist. Später werden wir sehen, dass (schwache) Voraussetzungen nötig sind, um die Linearisierbarkeit eines Optimierungsproblems zu gewährleisten.
运筹学代考
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Konvexe Optimierung
对于连续可微的凸函数（参见第 A.9 节)，临界点和极小点之间的联系比一般非凸的情况要清晰得多。这 是由于 $C^1$-表征连续可微函数的凸性: $f$ 当且仅当是凸的 $\mathbb{R}^n$ ，如果图 $f$ 在所有线性化的图表之上 $f$ 运行:
$$
\forall x, y \in \mathbb{R}^n: \quad f(x) \geq f(y)+\langle\nabla f(y), x-y\rangle .
$$
如果在这个不等式中选择 $y$ 的一个临界点 $f$ ，它遵循
$$
\forall x \in \mathbb{R}^n: \quad f(x) \geq f(y)+0,
$$
这只是意味着 $y$ 全局最小值点 $f$ 是。这意味看每个临界点都是 $f$ 必然是全局最小点 $f$. 根据费马法则 (Sat. 7.2），每个局部极小点 $f$ 临界点，每个全局最小点也是如此。以此我们推导出以下定理。
功能 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续可微和凸的。那么关键点 $f$ 正是全局最小点 $f$.
句子7.6特别地，意味着连续可微的凸函数不能具有“真正的”局部极小点，因为每个同部极小点都是一个临 界点，因此也是一个全局极小点。
作为定理的算法结果 $7.6$ 因此，每个可以识别关键点的优化过程也可以识别连续可微凸问题的全局最小点。 特别是，梯度和牛顿方法因此可用于充分平滑凸函数的全局最小化。
定理的另一个结果7.6是一个连续可微的凸问题保证是可解的，只要它有一个临界点。
对于两次连续可微的函数，有一种简单的方法来检查它们的凸性。后 $C^2$ – 凸性表征就是这样一种功能 $f$ 正好 然后凸 $\mathbb{R}^n$, 如果它的 Hessian 矩阵 $D^2 f(x)$ 对所有人 $x \in \mathbb{R}^n$ 是半正定的。
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Linearisierbarkeit
推导合适的最优条件的一个基本思想是优化问题的线性化。为了阐明这种结构，在图 $7.10$ 由三个非线性不 等式描述的集合 $\mathbb{M}$ 显示了一个非线性目标函数 $f$ 被最小化，其轮廓线和不受限制的最小点也被绘制。问题的 最佳点 $\bar{x}$. 当线性化优化问题时 $\bar{x}$ 所涉及的所有功能都将围绕 $\bar{x}$ 线性化 (参见第 A.8 节) ，然后考虑产生的线 性优化问题:
- $f(x)$ 是通过函数 $f(\bar{x})+\langle\nabla f(\bar{x}), x-\bar{x}\rangle$ 替换其在点的轮廓线 $\bar{x}$ 与等高线相切 $f$ 通过 $\bar{x}$ 运行，
- 任何不等式约束 $g_i(x) \leq 0$ 将通过 $g_i(\bar{x})+\left\langle\nabla g_i(\bar{x}), x-\bar{x}\right\rangle \leq 0$ 替换了图中也显示的内容 $7.10$ 绘制的 集合的线性化 $\mathbb{M}$ 围绕点 $\bar{x}$ 导致。
图例中的关键观察 $7.10$ 在于 $\bar{x}$ 也是线性化问题的最小点。对于一般问题 $P$ 这是线性化吗 $\bar{x} \in \mathbb{M}$ $\min _x f(\bar{x})+\langle\nabla f(\bar{x}), x-\bar{x}\rangle \quad$ s.t. $\quad g_i(\bar{x})+\left\langle\nabla g_i(\bar{x}), x-\bar{x}\right\rangle \leq 0, i \in I, \quad h_j(\bar{x})+\left\langle\nabla h_j(\bar{x}), x-\bar{x}\right\rangle=0$,
因为常数项 $f(\bar{x})$ 对目标函数中的最优点没有影响，下面省略。同样适用 $h_j(\bar{x})=0$ 对所有人 $j \in J$ ，是的 $\bar{x} \in \mathbb{M}$ 是必须的。最后，发现决策变量 $x$ 总是按术语 $x-\bar{x}$ 进入问题，所以我们将缩写 $d=x \quad \bar{x}$ 把和以下 关于 $d \subset \mathbb{R}^n$ 最小化。因此，出现了线性优化问题
$L P: \quad \min _d\langle\nabla f(\bar{x}), d\rangle \quad$ s.t. $\quad\left\langle\nabla g_i(\bar{x}), d\right\rangle \leq-g_i(\bar{x}), i \in I,\left\langle\nabla h_j(\bar{x}), d\right\rangle \quad=0, j \in J$.
极简主义 $\bar{x}$ 对于线性化问题，这意味着 $\bar{d}=0$ 最小点 $L P$ 是。由于到目前为止我们只看到了一个例子，因此 对于最小点 $\bar{x}$ 从 $P$ 向量 $\bar{d}=0$ 也是最低点 $L P$ 是，让我们打电话 $P$ 一个刘如果确实如此，则可以线性化。稍后 我们将看到 (弱) 假设对于确保优化问题可以线性化是必要的。
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