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统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen

Die Charakterisierung der Optimalität von $\bar{d}=0$ für $L P$ mit Hilfe des in Abschnitt $1.8$ eingeführten Dualproblems wird im Folgenden die gewünschte Optimalitätsheringung fiir $P$ liefern. Als Dualprohlem von I $P$ erhält man mit den Techniken aus Abschnitt $1.8$
$$
\begin{gathered}
D: \quad \max {\lambda, \mu} \sum{i=1}^p \lambda_i g_i(\bar{x}) \quad \text { s.t. } \quad \sum_{i=1}^p \lambda_i \nabla g_i(\bar{x})+\sum_{j=1}^q \mu_j \nabla h_j(\bar{x})=-\nabla f(\bar{x}) \
\lambda \geq 0
\end{gathered}
$$
wobei die zu Ungleichungen gehörenden Dualvariablen $y_i$ durch $-\lambda_i$ ersetzt sind, und die zu Gleichungen gehörenden Dualvariablen $y_j$ durch $-\mu_j$. Bezeichnen wir die zulässigen Mengen von $L P$ und $D$ mit $\mathbb{M}{L P}$ bzw. $\mathbb{M}_D$, so sind nach Korollar $1.19$ und Satz $1.20$ genau dann $\bar{d}$ für $L P$ und $(\bar{\lambda}, \bar{\mu})$ für $D$ optimal, wenn die Bedingungen $$ \bar{d} \in \mathbb{M}{L P}, \quad(\bar{\lambda}, \bar{\mu}) \in \mathbb{M}D, \quad\langle\nabla f(\bar{x}), \bar{d}\rangle=\sum{i=1}^p \bar{\lambda}i g_i(\bar{x}) $$ gelten. Für den uns interessierenden Vektor $\bar{d}=0$ gilt tatsächlich $\bar{d} \in \mathbb{M}{L P}$, weil $\bar{x} \in \mathbb{M}P$ die Relation $g_i(\bar{x}) \leq 0$ für alle $i \in I$ impliziert. Der Punkt $\bar{d}=0$ ist also genau dann ein Optimalpunkt von $L P$, wenn $\bar{\lambda} \in \mathbb{R}^p$ und $\bar{\mu} \in \mathbb{R}^q$ mit $$ (\bar{\lambda}, \bar{\mu}) \in \mathbb{M}_D, \quad\langle\nabla f(\bar{x}), 0\rangle=\sum{i=1}^p \bar{\lambda}i g_i(\bar{x}) $$ existieren. Explizit ausgeschrieben erfüllen $\bar{x}, \bar{\lambda}$ und $\bar{\mu}$ also das System von Gleichungen und Ungleichungen $$ \begin{aligned} \nabla f(x)+\sum{i=1}^p \lambda_i \nabla g_i(x)+\sum_{j=1}^q \mu_j \nabla h_j(x) &=0, \
\lambda & \geq 0, \
\sum_{i=1}^p \lambda_i g_i(x) &=0 .
\end{aligned}
$$ Wenn man die Linearisierbarkeit von $P$ um $\bar{x}$ vorausgesetzt, müssen damit notwendigerweise $\bar{\lambda}$ und $\bar{\mu}$ existieren, so dass das System (7.1)-(7.3) erfüllt ist. Dadurch lässt sich das System als notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung auffassen, aus der sich (wie im Fall der Fermat’schen Regel für unrestringierte Probleme) Kandidaten für lokale Minimalpunkte ermitteln lassen sollten.

统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Komplementaritätsbedingung

Der komplizierende Unterschied zwischen dem reinen Gleichungssystem (7.9), (7.10) und dem System (7.4)-(7.8) besteht im Auftreten der Bedingung
$$
\lambda_i \geq 0, \quad g_i(x) \leq 0, \quad \lambda_i g_i(x)=0
$$
für jedes $i \in I$. Eine solche Bedingung heißt Komplementaritätsbedingung. Die $p$ Komplementaritätsbedingungen in (7.4)-(7.8) sorgen dafür, dass die algorithmische Behandlung von Optimierungsproblemen mit Ungleichungsrestriktionen erheblich aufwändiger ist als die von Problemen ohne Ungleichungsrestriktionen. Andererseits ermöglichen sie eine Umformulierung der KKT-Bedingungen, die zur schriftlichen Berechnung ihrer Lösungen meist günstiger ist.

Dazu unterscheiden wir, ob eine Ungleichung $g_i$ an einem zulässigen Punkt $x$ mit Gleichheit $g_i(x)=0$ oder mit strikter Ungleichheit $g_i(x)<0$ erfüllt ist. Im ersten Fall nennt man $g_i$ an $x$ aktiv, im zweiten Fall inaktiv. Beispielsweise sind in Abbildung $7.10$ die Ungleichungen $g_1$ und $g_2$ an $\bar{x}$ aktiv, während $g_3$ an $\bar{x}$ inaktiv ist. Aus Abbildung $7.10$ ist ferner ersichtlich, dass die inaktive Ungleichung zur Linearisierung um $\bar{x}$ keinen Beitrag liefert. Auch allgemein lässt sich zeigen, dass zur Linearisierung von $\mathbb{M}$ nur die aktiven Ungleichungen herangezogen werden müssen. Im KKT-System sollte sich dies dadurch widerspiegeln, dass man inaktive Ungleichungen dort streichen kann. Hierfür sorgen tatsächlich gerade die Komplementaritätsbedingungen.

Mit der Menge der aktiven Indizes (kurz auch aktive Indexmenge genannt)
$$
I_0(x)=\left{i \in I \mid g_i(x)=0\right}
$$
an einem Punkt $x \in \mathbb{M}$ liefern die Komplementaritätsbedingungen für jedes $i \notin I_0(x)$ die Bedingung $\lambda_i=0$, da Inaktivität von $g_i$ bedeutet, dass der zweite Faktor in der Gleichung $\lambda_i g_i(x)=0$ nicht null ist. Für alle $i \in I_0(x)$ liefert die Komplementaritätsbedingung neben $\lambda_i \geq 0$ hingegen keine weitere Einschränkung an $\lambda_i$, weil der zweite Faktor in der Gleichung $\lambda_i g_i(x)=0$ bereits verschwindet. Dadurch lässt sich das System (7.4)-(7.8) äquivalent umformulieren zu
$$
\begin{aligned}
\nabla f(x)+\sum_{i \in I_0(x)} \lambda_i \nabla g_i(x)+\sum_{j=1}^q \mu_j \nabla h_j(x) &=0, \
\lambda_i & \geq 0, i \in I_0(x), \
g_i(x) &=0, i \in I_0(x), \
g_i(x) &<0, i \notin I_0(x), \
h_j(x) &=0, j \in J .
\end{aligned}
$$

运筹学代考

统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen

最优性的表征 $\bar{d}=0$ 为了 $L P$ 使用 in 部分 $1.8$ 引入对偶问题，期望的最优方法 $P$ 递送。作为我的双重问题 $P$ 使用部分中的技术获得 $1.8$
$$
D: \quad \max \lambda, \mu \sum i=1^p \lambda_i g_i(\bar{x}) \quad \text { s.t. } \quad \sum_{i=1}^p \lambda_i \nabla g_i(\bar{x})+\sum_{j=1}^q \mu_j \nabla h_j(\bar{x})=-\nabla f(\bar{x}) \lambda \geq 0
$$
其中对偶变量属于不等式 $y_i$ 通过 $-\lambda_i$ 被替换，并且属于方程的对偶变量 $y_j$ 通过 $-\mu_j$. 让我们表示允许的数量 $L P$ 和 $D$ 和 $\mathbb{M} L P$ 或者。 $\mathbb{M}D$ ，推论也是 $1.19$ 和句子1.20正是那时 $\bar{d}$ 为了 $L P$ 和 $(\bar{\lambda}, \bar{\mu})$ 为了 $D$ 如果条件最优 $$ \bar{d} \in \mathbb{M} L P, \quad(\bar{\lambda}, \bar{\mu}) \in \mathbb{M D}, \quad\langle\nabla f(\bar{x}), \bar{d}\rangle=\sum i=1^p \bar{\lambda}{i g_i}(\bar{x})
$$
是有效的。对于我们感兴趣的向量 $\bar{d}=0$ 实际适用 $\bar{d} \in \mathbb{M} L P$ ，因为 $\bar{x} \in \mathbb{M} P$ 死关系 $g_i(\bar{x}) \leq 0$ 对所有人 $i \in I$ 暗示。重点 $\bar{d}=0$ 因此正是那时的最佳点 $L P$ ，如果 $\bar{\lambda} \in \mathbb{R}^p$ 和 $\bar{\mu} \in \mathbb{R}^p$ 和
$$
(\bar{\lambda}, \bar{\mu}) \in \mathbb{M}D, \quad\langle\nabla f(\bar{x}), 0\rangle=\sum i=1^p \bar{\lambda} i g_i(\bar{x}) $$ 存在。履行明确规定 $\bar{x}, \bar{\lambda}$ 和 $\bar{\mu}$ 即方程和不等式系统 $$ \nabla f(x)+\sum i=1^p \lambda_i \nabla g_i(x)+\sum{j=1}^q \mu_j \nabla h_j(x)=0, \lambda \quad \geq 0, \sum_{i=1}^p \lambda_i g_i(x)=0 .
$$
如果考虑线性化 $P$ 一个対提供，所以必须 $\bar{\lambda}$ 和 $\bar{\mu}$ 存在满足系统 (7.1) – (7.3)。这允许系统被理解为一阶必 要最优性条件 (如在无约束问题的费马规则的情况下) 应该能够确定局部最小点的候选者。

统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Komplementaritätsbedingung

纯方程组 (7.9)，(7.10) 和系统 (7.4) – (7.8) 之间的皘杂差异是条件的出现
$$
\lambda_i \geq 0, \quad g_i(x) \leq 0, \quad \lambda_i g_i(x)=0
$$
对于每个 $i \in I$. 这样的条件称为互补条件。这 $p(7.4)-(7.8)$ 中的互补性条件确保了具有不等式限制的优化问 题的算法处理比没有不等式限制的问题复杂得多。另一方面，他们允许重新制定 KKT 条件，这通常更有利 于他们解决方案的书面计算。
为此，我们区分是否不等式 $g_i$ 在允许的点 $x$ 与平等 $g_i(x)=0$ 或严格不等式 $g_i(x)<0$ 很满意。在第一种情 况下，一个电话 $g_i$ 一个 $x$ 在第二种情况下处于活动状态，处于非活动状态。例如，在图中 $7.10$ 不平等 $g_1$ 和 $g_2$ 一个 $\bar{x}$ 活跃的同时 $g_3$ 一个 $\bar{x}$ 处于非活动状态。从图7.10还可以看出，线性化的不活跃不等式约为 $\bar{x}$ 没有任 何贡献。通常也可以证明，对于线性化M只需要使用主动不等式。在 KKT 系统中，这应该通过能够删除那 里的非活动不平等来反映。事实上，正是互补性条件确保了这一点。
带有活动索引集（也简称为活动索引集）
$\varliminf_{-} 0(x)=\backslash$ left $\backslash$ \in $\backslash \backslash$ mid g_ $i(x)=0 \backslash$ right $}$
在一个点上 $x \in \mathbb{M}$ 为每个提供互补条件 $i \notin I_0(x)$ 条件 $\lambda_i=0$ ，因为不活动 $g_i$ 表示方程中的第二个因子 $\lambda_i g_i(x)=0$ 不为零。对所有人 $i \in I_0(x)$ 返回旁边的互补条件 $\lambda_i \geq 0$ 但是，没有进一步的限制 $\lambda_i$ ，因为方 程中的第二个因素 $\lambda_i g_i(x)=0$ 已经消失了。这允许系统 (7.4)-(7.8) 以等效的方式重新表述
$$
\nabla f(x)+\sum_{i \in I_0(x)} \lambda_i \nabla g_i(x)+\sum_{j=1}^q \mu_j \nabla h_j(x)=0, \lambda_i \quad \geq 0, i \in I_0(x), g_i(x)=0, i \in I_0(x), g_i(x)
$$

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