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数学代写|微积分代写Calculus代写|The Fundamental Theorem of Calculus

By constructing appropriate covers, Archimedes was able to compute areas and integrals in certain situations. For example, he knew that $\int_0^1 x^2 d x=1 / 3$. On the other hand, Archimedes was also able to compute tangent lines to certain curves and surfaces. However, he apparently had no idea that these two processes were intimately related, through the fundamental theorem of calculus. It was the discovery of the fundamental theorem, in the seventeenth century, that turned the computation of areas from a mystery to a simple and straightforward reality.

In this section, all functions will be continuous. Since we will use $f^{+}$and $f^{-}$repeatedly, it is important to note that $(\S 2.3)$ a function is continuous iff both its positive and negative parts are continuous.

Let $f$ be continuous on $(a, b)$, and let $[c, d]$ be a compact subinterval. Since (§2.3) continuous functions map compact intervals to compact intervals, $f$ is bounded on $[c, d]$, hence, integrable over $(c, d)$.
Let $f$ be continuous on $(a, b)$, fix $a<c<b$, and set
$$
F_c(x)=\left{\begin{array}{lc}
\int_c^x f(t) d t, & c \leq x<b, \
-\int_x^c f(t) d t, & a<x \leq c .
\end{array}\right.
$$
By the previous paragraph, $F_c(x)$ is finite for all $a<x<b$. From the previous section, we know that $F_c$ is continuous. Here, we show that $F_c$ is differentiable and $F_c^{\prime}(x)=f(x)$ on $(a, b)$ (Figure 4.27). We will need the modulus of continuity $\mu_x(\S 2.3)$ of $f$ at $x$. To begin, by additivity, $F_c(y)-$ $F_c(x)=F_x(y)-F_x(x)$ for any two points $x, y$ in $(a, b)$, whether they are to the right or the left of $c$.

Then, for $a<x<t<y<b,|f(t)-f(x)| \leq \mu_x(y-x)$. Thus, $f(t) \leq$ $f(x)+\mu_x(y-x)$. Hence,
$$
\begin{aligned}
\frac{F_c(y)-F_c(x)}{y-x} &=\frac{F_x(y)-F_x(x)}{y-x} \
&=\frac{1}{y-x} \int_x^y f(t) d t \
& \leq \frac{1}{y \quad x} \int_x^y\left[f(x)+\mu_x(y-x)\right] d t=f(x)+\mu_x(y-x) .
\end{aligned}
$$
Similnrly, since $a<x<t<y<b$ implins $f(x) \quad \mu_x(y \quad x) \leq f(t)$
$$
\frac{F_c(y)-F_c(x)}{y-x} \geq f(x)-\mu_x(y-x) .
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|The Method of Exhaustion

In this section, we compute the area of the unit disk $D$ via the Method of Exhaustion.

For $n \geq 3$, let $P_k=(\cos (2 \pi k / n), \sin (2 \pi k / n)), 0 \leq k \leq n$. Then, the points $P_k$ are evenly spaced about the unit circle $\left{(x, y): x^2+y^2=1\right}$, and $P_n=P_0$. Let $D_n \subset D$ be the interior of the inscribed regular $n$-sided polygon obtained by joining the points $P_0, P_1, \ldots, P_n$ (we do not include the edges of $D_n$ in the definition of $D_n$ ). Then (Exercise 4.2.13),

$$
\text { area }\left(D_n\right)=\frac{n}{2} \sin (2 \pi / n)=\pi \cdot \frac{\sin (2 \pi / n)}{2 \pi / n} \text {. }
$$
Since $\lim {x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=\sin ^{\prime} 0=\cos 0=1$, we obtain $$ \lim {n \zeta \infty} \operatorname{area}\left(D_n\right)=\pi .
$$
Since
$$
D_4 \subset D_8 \subset D_{16} \subset \ldots, \quad \text { and } \quad D=\bigcup_{n=2}^{\infty} D_{2^n},
$$
it is reasonable to make the guess that
$$
\operatorname{area}(D)=\lim {n>\infty} \operatorname{area}\left(D{2^n}\right),
$$
and, hence, conclude that area $(D)=\pi$. The reasoning that leads from (4.5.2) to (4.5.3) is generally correct. The result is called the Method of Exhaustion. Although area $(D)$ was computed in the previous section using the fundamental theorem, in Chapter 5 we will need the Method to compute other areas.

We say that a sequence of sets $\left(A_n\right)$ is increasing (Figure 4.29) if $A_1 \subset$ $A_2 \subset A_3 \subset \ldots$

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|微积分基本定理

通过构造适当的覆盖物，阿基米德能够计算特定情况下的面积和积分。例如，他知道$\int_0^1 x^2 d x=1 / 3$。另一方面，阿基米德还能计算出某些曲线和曲面的切线。然而，他显然不知道，通过微积分基本定理，这两个过程是密切相关的。正是在17世纪，基本定理的发现，使面积的计算从一个谜变成了一个简单而直接的现实

在本节中，所有函数都是连续的。由于我们将重复使用$f^{+}$和$f^{-}$，因此必须注意，如果函数的正负部分都是连续的，则$(\S 2.3)$是连续的

让 $f$ 坚持不懈 $(a, b)$，让 $[c, d]$ 是一个紧的子区间。由于(§2.3)连续函数映射紧区间到紧区间， $f$ 是有界的 $[c, d]$因此，可积除以 $(c, d)$.
让 $f$ 坚持不懈 $(a, b)$，修复 $a<c<b$，设置
$$
F_c(x)=\left{\begin{array}{lc}
\int_c^x f(t) d t, & c \leq x<b, \
-\int_x^c f(t) d t, & a<x \leq c .
\end{array}\right.
$$
根据上一段， $F_c(x)$ 对所有的都是有限的 $a<x<b$。从上一节中，我们知道这一点 $F_c$ 是连续的。在这里，我们展示一下 $F_c$ 是可微的 $F_c^{\prime}(x)=f(x)$ 在 $(a, b)$ (图4.27)。我们需要连续性模量 $\mu_x(\S 2.3)$ 的 $f$ 在 $x$。首先，通过加法， $F_c(y)-$ $F_c(x)=F_x(y)-F_x(x)$ 对于任意两点 $x, y$ 在 $(a, b)$无论他们是在的右边还是左边 $c$.

Then, for $a<x<t<y<b,|f(t)-f(x)| \leq \mu_x(y-x)$。因此，$f(t) \leq$$f(x)+\mu_x(y-x)$。因此，
$$
\begin{aligned}
\frac{F_c(y)-F_c(x)}{y-x} &=\frac{F_x(y)-F_x(x)}{y-x} \
&=\frac{1}{y-x} \int_x^y f(t) d t \
& \leq \frac{1}{y \quad x} \int_x^y\left[f(x)+\mu_x(y-x)\right] d t=f(x)+\mu_x(y-x) .
\end{aligned}
$$
同样，因为$a<x<t<y<b$隐含$f(x) \quad \mu_x(y \quad x) \leq f(t)$
$$
\frac{F_c(y)-F_c(x)}{y-x} \geq f(x)-\mu_x(y-x) .
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|The Method of depletion

在本节中，我们通过用尽法计算单位硬盘的面积$D$

对于$n \geq 3$，让$P_k=(\cos (2 \pi k / n), \sin (2 \pi k / n)), 0 \leq k \leq n$。然后，点$P_k$围绕单位圆$\left{(x, y): x^2+y^2=1\right}$和$P_n=P_0$均匀间隔。设$D_n \subset D$是通过连接$P_0, P_1, \ldots, P_n$点(我们在$D_n$的定义中不包括$D_n$的边)获得的$n$边正多边形的内部。然后(练习4.2.13)，

$$
\text { area }\left(D_n\right)=\frac{n}{2} \sin (2 \pi / n)=\pi \cdot \frac{\sin (2 \pi / n)}{2 \pi / n} \text {. }
$$
由于$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=\sin ^{\prime} 0=\cos 0=1$，我们得到$$ \lim {n \zeta \infty} \operatorname{area}\left(D_n\right)=\pi .
$$
由于
$$
D_4 \subset D_8 \subset D_{16} \subset \ldots, \quad \text { and } \quad D=\bigcup_{n=2}^{\infty} D_{2^n},
$$
，可以合理地作出猜测，
$$
\operatorname{area}(D)=\lim {n>\infty} \operatorname{area}\left(D{2^n}\right),
$$
，因此，得出结论，区域$(D)=\pi$。从(4.5.2)到(4.5.3)的推理一般是正确的。其结果被称为用尽法。虽然在上一节中使用基本定理计算了区域$(D)$，但在第5章中我们将需要该方法来计算其他区域 如果$A_1 \subset$$A_2 \subset A_3 \subset \ldots$

，我们说集合的序列$\left(A_n\right)$正在增加(图4.29)

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