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数学代写|微积分代写Calculus代写|Euler’s Gamma Function

Since $e^{-t} t^x$ vanishes at $t=0$ and $t=\infty$ for $x>0$ fixed, and the integrands are positive, by the fundamental theorem, we obtain
$$
\begin{aligned}
\Gamma(x+1) &=\int_0^{\infty} e^{-t} t^x d t \
&=-\left.e^{-t} t^x\right|_0 ^{\infty}+x \int_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t \
&=0+x \Gamma(x)=x \Gamma(x) .
\end{aligned}
$$
Note that this identity is true whether or not $\Gamma(x)$ is finite. We derive $\Gamma(n)=$ $(n-1)$ ! by induction. The statement is true for $n=1$ since $\Gamma(1)=1$ from above. Assuming the statement is true for $n, \Gamma(n+1)=n \Gamma(n)=n(n-1) !=n$ !. Hence, the statement is true for all $n \geq 1$. Now, we show that $\Gamma(x)$ is finite for all $x>0$. Since the integral $\int_0^1 e^{-t} t^{x-1} d t \leq \int_0^1 t^{x-1} d t=1 / x$ is finite for $x>0$, it is enough to verify integrability of $e^{-t} t^{x-1}$ over $(1, \infty)$. Over this interval, $e^{-t} t^{x-1}$ increases with $x$, hence, $\int_1^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t \leq \int_1^{\infty} e^{-t} t^{n-1} d t \leq \Gamma(n)$ for any natural $n \geq x$. But we already know that $\Gamma(n)=(n-1) !<\infty$, hence, the result.

Because of this result, we define $x !=\Gamma(x+1)$ for $x>-1$. For example, in Exercise 5.4.1, we obtain $(1 / 2) !=\sqrt{\pi} / 2$.

We already know (linearity $\S 4.4$ ) that the integral of a finite sum of continuous functions is the sum of their integrals. To obtain linearity for infinite sums, we first derive the following.

Theorem 5.1.2 (Monotone Convergence Theorem (For Integrals)). Let $0 \leq f_1 \leq f_2 \leq f_3 \leq \ldots$ be an increasing sequence of nonnegative functions ${ }^1$, all defined on an interval $(a, b)$. If
$$
\lim {n>\infty} f_n(x)=f(x), \quad a{n / \infty} \int_a^b f_n(x) d x=\int_a^b \lim _{n / \infty} f_n(x) d x=\int_a^b f(x) d x
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Gauss’ Arithmetic-Geometric Mean

Given $a>b>0$, their arithmetic mean is given by
$$
a^{\prime}=\frac{a+b}{2}
$$
and their geometric mean by
$$
b^{\prime}=\sqrt{a b}
$$
Since
$$
a^{\prime}-b^{\prime}=\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>0,
$$
these equations transform the pair $(a, b), a>b>0$, into a pair $\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$, $a^{\prime}>b^{\prime}>0$. Gauss discovered that iterating this transformation leads to a limit with striking properties.

To begin, since $a$ is the larger of $a$ and $b$ and $a^{\prime}$ is their arithmetic mean, $a^{\prime}b$. Thus, $bb>0$, this gives a strictly decreasing sequence $\left(a_n\right)$ and a strictly increasing sequence $\left(b_n\right)$ with all the $a$ ‘s greater than all the $b$ ‘s. Thus, both sequences converge (Figure 5.3) to finite positive limits $a_, b^$ with $a_* \geq b^>0$. Fig. 5.3. The AGM iteration. Letting $n \nearrow \infty$ in (5.3.2), we see that $a_=\left(a_+b^\right) / 2$ which yields $a_=b^$. Thus, both sequences converge to a common limit, the arithmetic-geometric mean (AGM) of $(a, b)$, which we denote
$$
M(a, b)=\lim {n \nearrow \infty} a_n=\lim {n \nearrow \infty} b_n .
$$
If $\left(a_n^{\prime}\right),\left(b_n^{\prime}\right)$ are the sequences associated with $a^{\prime}=t a$ and $b^{\prime}=t b$, then, from (5.3.2) and (5.3.3), $a_n^{\prime}=t a_n$, and $b_n^{\prime}=t b_n, n \geq 1, t>0$. This implies that $M$ is homogeneous in $(a, b)$,
$$
M(t a, t b)=t \cdot M(a, b), \quad t>0
$$

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|欧拉函数

由于$x>0$固定时$e^{-t} t^x$在$t=0$处消失，$t=\infty$处被积函数为正，根据基本定理，我们得到
$$
\begin{aligned}
\Gamma(x+1) &=\int_0^{\infty} e^{-t} t^x d t \
&=-\left.e^{-t} t^x\right|_0 ^{\infty}+x \int_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t \
&=0+x \Gamma(x)=x \Gamma(x) .
\end{aligned}
$$
注意，无论$\Gamma(x)$是否有限，这个恒等式都是成立的。我们派生出$\Gamma(n)=$$(n-1)$ !通过归纳法。这句话对于$n=1$是正确的，因为上面提到了$\Gamma(1)=1$。假设这个声明对于$n, \Gamma(n+1)=n \Gamma(n)=n(n-1) !=n$ !是正确的。因此，该声明对所有$n \geq 1$都是正确的。现在，我们证明$\Gamma(x)$对于所有$x>0$是有限的。由于$x>0$的积分$\int_0^1 e^{-t} t^{x-1} d t \leq \int_0^1 t^{x-1} d t=1 / x$是有限的，足以验证$e^{-t} t^{x-1}$除以$(1, \infty)$的可积性。在这个间隔内，$e^{-t} t^{x-1}$随着$x$的增加而增加，因此，任何自然的$n \geq x$都是$\int_1^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t \leq \int_1^{\infty} e^{-t} t^{n-1} d t \leq \Gamma(n)$。但我们已经知道$\Gamma(n)=(n-1) !<\infty$，因此，结果。

由于这个结果，我们为$x>-1$定义$x !=\Gamma(x+1)$。例如，在练习5.4.1中，我们得到$(1 / 2) !=\sqrt{\pi} / 2$ .

我们已经知道(线性$\S 4.4$)连续函数的有限和的积分是它们的积分的和。为了得到无限和的线性，我们首先推导出以下式子

定理5.1.2(单调收敛定理(积分))。设$0 \leq f_1 \leq f_2 \leq f_3 \leq \ldots$是非负函数${ }^1$的递增序列，所有函数都定义在区间$(a, b)$上。如果
$$
\lim {n>\infty} f_n(x)=f(x), \quad a{n / \infty} \int_a^b f_n(x) d x=\int_a^b \lim _{n / \infty} f_n(x) d x=\int_a^b f(x) d x
$$

数学代写|微积分代写微积分代写|高斯的算术几何平均值

. .

给定$a>b>0$，它们的算术平均值由
$$
a^{\prime}=\frac{a+b}{2}
$$
给出，几何平均值由
$$
b^{\prime}=\sqrt{a b}
$$
由于
$$
a^{\prime}-b^{\prime}=\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>0,
$$
这些方程将$(a, b), a>b>0$对转换为一对$\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)$, $a^{\prime}>b^{\prime}>0$。高斯发现迭代这个转换会导致一个具有惊人属性的极限 首先，因为$a$是$a$和$b$中较大的，而$a^{\prime}$是它们的算术平均值$a^{\prime}b$。因此，$bb>0$，它给出了一个严格递减序列$\left(a_n\right)$和一个严格递增序列$\left(b_n\right)$，其中所有$a$的大于所有$b$的。因此，两个序列都收敛于有限正极限$a_, b^$和$a_* \geq b^>0$(图5.3)。图5.3。AGM迭代。让$n \nearrow \infty$进入(5.3.2)，我们看到$a_=\left(a_+b^\right) / 2$产生$a_=b^$。因此，两个序列都收敛到一个共同的极限，即$(a, b)$的算术几何平均值(AGM)，我们表示
$$
M(a, b)=\lim {n \nearrow \infty} a_n=\lim {n \nearrow \infty} b_n .
$$
如果$\left(a_n^{\prime}\right),\left(b_n^{\prime}\right)$是与$a^{\prime}=t a$和$b^{\prime}=t b$相关的序列，那么，从(5.3.2)和(5.3.3)，$a_n^{\prime}=t a_n$和$b_n^{\prime}=t b_n, n \geq 1, t>0$。这意味着$M$在$(a, b)$中是齐次的，
$$
M(t a, t b)=t \cdot M(a, b), \quad t>0
$$

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