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数学代写|代数学代写Algebra代考|Matrix Equations

One of the primary uses of matrices is that they give us a way of working with linear systems much more compactly and cleanly. In particular, any system of linear equations
$$
\begin{aligned}
a_{1,1} x_1+a_{1,2} x_2+\cdots+a_{1, n} x_n &=b_1 \
a_{2,1} x_1+a_{2,2} x_2+\cdots+a_{2, n} x_n &=b_2 \
& \vdots \
a_{m, 1} x_1+a_{m, 2} x_2+\cdots+a_{m, n} x_n &=b_m
\end{aligned}
$$
can be rewritten as the single matrix equation $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$, where $A \in \mathcal{M}{m, n}$ is the coefficient matrix whose $(i, j)$-entry is $a{i, j}, \mathbf{b}=\left(b_1, b_2, \ldots, b_m\right) \in \mathbb{R}^m$ is a vector containing the constants from the right-hand side, and $\mathbf{x}=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n$ is a vector containing the variables.

The advantage of writing linear systems in this way (beyond the fact that it requires less writing) is that we can now make use of the various properties of matrices and matrix multiplication that we already know to help us understand linear systems a bit better. For example, we can now prove the observation that we made earlier: every linear system has either zero, one, or infinitely many solutions.
Every system of linear equations has either
a) no solutions,
b) exactly one solution, or
c) infinitely many solutions.
Proof. Another way of phrasing this theorem is as follows: if a system of linear equations has at least two solutions then it must have infinitely many solutions. With this in mind, we start by assuming that there are two distinct solutions to the linear system.

If $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ is the matrix form of the linear system (where $A \in \mathcal{M}_{m, n}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$, and $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ ), then there existing two distinct solutions of the linear system means that there exist vectors $\mathbf{x}_1 \neq \mathbf{x}_2 \in \mathbb{R}^n$ such that $A \mathbf{x}_1=\mathbf{b}$ and $A \mathbf{x}_2=\mathbf{b}$. Then for any scalar $c \in \mathbb{R}$, it is the case that
$$
A\left((1-c) \mathbf{x}_1+c \mathbf{x}_2\right)=(1-c) A \mathbf{x}_1+c A \mathbf{x}_2=(1-c) \mathbf{b}+c \mathbf{b}=\mathbf{b},
$$
so every vector of the form $(1-c) \mathbf{x}_1+c \mathbf{x}_2$ is a solution of the linear system. Since there are infinitely many such vectors (one for each choice of $c \in \mathbb{R}$ ), the proof is complete.

数学代写|代数学代写Algebra代考|The Inverse of a Matrix

One of the nice features of the elementary matrices is that they are invertible: multiplication by them can be undone by multiplying by some other matrix. For example, if
$$
E_1=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
-3 & 0 & 1
\end{array}\right] \text { and } E_2=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
3 & 0 & 1
\end{array}\right] \text {, }
$$
then it is straightforward to check that $E_1 E_2=I$ and $E_2 E_1=I$. We thus say that $E_1$ and $E_2$ are inverses of each other, which makes sense in this case because $E_1$ is the elementary matrix corresponding to the elementary row operation $R_3-3 R_1$, and $E_2$ is the elementary matrix corresponding to the elementary row operation $R_3+3 R_1$, and performing these row operations one after another has the same effect as not doing anything at all.

It is also useful to talk about invertibility of (not necessarily elementary) matrices in general, and the idea is exactly the same – two matrices are inverses of each other if multiplying by one of them “undoes” the multiplication by the other.

A square matrix $A \in \mathcal{M}_n$ is called invertible if there exists a matrix, which we denote by $A^{-1}$ and call the inverse of $A$, such that
$$
A A^{-1}=A^{-1} A=I .
$$
In this definition, we referred to $A^{-1}$ as the inverse of $A$ (as opposed to an inverse of $A$ ). To justify this terminology, we should show that every matrix has at most one inverse. To see this, suppose for a moment that a matrix $A \in \mathcal{M}_n$ had two inverses $B, C \in \mathcal{M}_n$ (i.e., $A B=B A=I$ and $A C=C A=I$ ). It would then follow that
$$
B=I B=(C A) B=C(A B)=C I=C,
$$
so in fact these two inverses must be the same as each other. It follows that inverses (when they exist) are indeed unique.

Given a pair of matrices, it is straightforward to check whether or not they are inverses of each other-just multiply them together and see if we get the identity matrix.

数学代写|代数学代写Algebra代考|Math4120

代数学代考

数学代写|代数学代写Algebra代考|有向图与多重图

. . . . .


通常情况下,对象之间的关系不是完全对称的,当这种情况发生时,能够区分哪个对象与另一个对象相关是很有用的。例如,如果我们试图使用一个图来表示万维网的连通性(用顶点表示网页,用边表示网页之间的链接),我们会发现我们前面考虑的图类型是不够的。毕竟,网页A链接到网页B是完全有可能的,反之则不然——两个网页对应的顶点之间应该有一条边吗?


为了解决这种情况,我们使用有向图,它像以前一样由顶点和边组成,除了边从一个顶点指向另一个顶点(而在我们之前的无向设置中,它们只是连接了两个顶点)。一些例子如图1.29所示


幸运的是,在有向图中计算路径与在无向图中计算路径几乎没有什么不同——我们构建图的邻接矩阵,然后查看它的幂项。唯一的区别是,有向图的邻接矩阵的$(i, j)$条目中有一个1,如果图有一条从顶点$i$到顶点$j$的边,那么$a_{i, j}=a_{j, i}$不再是必然的情况


作为图的进一步概括,我们可以考虑多图,这是在同一对顶点之间允许多条边的图,甚至允许连接顶点与自身的边。例如,多重图可以用来表示连接城市的道路,毕竟,一对城市通常有不止一条道路连接它们


多图可以是有向的,也可以是无向的,如图1.30所示。在这两种情况下,使用邻接矩阵来计数顶点之间路径的方法仍然有效。与多图图的唯一区别是,邻接矩阵不再完全由$0 \mathrm{~s}$和$1 \mathrm{~s}$组成,而是它的条目$a_{i, j}$描述了从顶点$i$到顶点$j$有多少条边

数学代写|代数学代写Algebra代考|Systems of Linear equation

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线性代数的大部分内容都围绕着求解和操作现存最简单类型的方程——线性方程:


$n$变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$中的线性方程可以写成
$$
a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_n x_n=b,
$$
,其中$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b$是称为线性方程系数的常数。
注意,即使上面右上的方程不是定义2.1.1所描述的那种形式,但它可以重新排列成那种形式,所以它是线性的。特别地,它等价于方程$4 x-6 y=-3$,它是所期望的形式。此外,左下方和中下方的方程确实是线性的,因为平方根和三角函数只应用于方程中的系数(而不是变量)。相比之下,以下方程都不是线性的:


一般来说,一个方程是线性的,如果每个变量只乘以一个常数:变量不能乘以其他变量,它们不能被提为除1以外的指数,它们不能被应用其他函数。从几何上讲,我们可以把线性方程看作是线和平面(以及我们无法完全描绘的高维平面形状)的代表。例如,一条直线的一般方程是$a x+b y=c$,一个平面的一般方程是$a x+b y+c z=d$,都是线性方程(见图2.1)。

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