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数学代写|代数学代写Algebra代考|Directed Graphs and Multigraphs
It is often the case that the relationship between objects is not entirely symmetric, and when this happens it is useful to be able to distinguish which object is related to the other one. For example, if we try to use a graph to represent the connectivity of the World Wide Web (with vertices representing web pages and edges representing links between web pages), we find that the types of graphs that we considered earlier do not suffice. After all, it is entirely possible that Web Page A links to Web Page B, but not vice-versa-should there be an edge between the two vertices corresponding to those web pages?
To address situations like this, we use directed graphs, which consist of vertices and edges just like before, except the edges point from one vertex to another (whereas they just connected two vertices in our previous undirected setup). Some examples are displayed in Figure 1.29.
Fortunately, counting paths in directed graphs is barely any different from doing so in undirected graphs – we construct the adjacency matrix of the graph and then look at the entries of its powers. The only difference is that the adjacency matrix of a directed graph has a 1 in its $(i, j)$-entry if the graph has an edge going from vertex $i$ to vertex $j$, so it is no longer necessarily the case that $a_{i, j}=a_{j, i}$.
As an even further generalization of graphs, we can consider multigraphs, which are graphs that allow multiple edges between the same pair of vertices, and even allow edges that connect a vertex to itself. Multigraphs could be used to represent roads connecting cities, for example-after all, a pair of cities often has more than just one road connecting them.
Multigraphs can be either directed or undirected, as illustrated in Figure 1.30. In either case, the method of using the adjacency matrix to count paths between vertices still works. The only difference with multigraphs is that the adjacency matrix no longer consists entirely of $0 \mathrm{~s}$ and $1 \mathrm{~s}$, but rather its entries $a_{i, j}$ describe how many edges there are from vertex $i$ to vertex $j$.
数学代写|代数学代写Algebra代考|Systems of Linear Equations
Much of linear algebra revolves around solving and manipulating the simplest types of equations that exist-linear equations:
A linear equation in $n$ variables $x_1, x_2, \ldots, x_n$ is an equation that can be written in the form
$$
a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_n x_n=b,
$$
where $a_1, a_2, \ldots, a_n$ and $b$ are constants called the coefficients of the linear equation.
For example, the following equations are all linear:
Note that even though the top-right equation above is not quite in the form described by Definition 2.1.1, it can be rearranged so as to be in that form, so it is linear. In particular, it is equivalent to the equation $4 x-6 y=-3$, which is in the desired form. Also, the bottom-left and bottom-middle equations are indeed linear since the square root and trigonometric functions are only applied to the coefficients (not the variables) in the equations. By contrast, the following equations are all not linear:
In general, an equation is linear if each variable is only multiplied by a constant: variables cannot be multiplied by other variables, they cannot be raised to an exponent other than 1 , and they cannot have other functions applied to them.
Geometrically, we can think of linear equations as representing lines and planes (and higher-dimensional flat shapes that we cannot quite picture). For example, the general equation of a line is $a x+b y=c$, and the general equation of a plane is $a x+b y+c z=d$, both of which are linear equations (see Figure 2.1).
代数学代考
数学代写|代数学代写Algebra代考|有向图与多重图
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通常情况下，对象之间的关系不是完全对称的，当这种情况发生时，能够区分哪个对象与另一个对象相关是很有用的。例如，如果我们试图使用一个图来表示万维网的连通性(用顶点表示网页，用边表示网页之间的链接)，我们会发现我们前面考虑的图类型是不够的。毕竟，网页A链接到网页B是完全有可能的，反之则不然——两个网页对应的顶点之间应该有一条边吗?
为了解决这种情况，我们使用有向图，它像以前一样由顶点和边组成，除了边从一个顶点指向另一个顶点(而在我们之前的无向设置中，它们只是连接了两个顶点)。一些例子如图1.29所示
幸运的是，在有向图中计算路径与在无向图中计算路径几乎没有什么不同——我们构建图的邻接矩阵，然后查看它的幂项。唯一的区别是，有向图的邻接矩阵的$(i, j)$条目中有一个1，如果图有一条从顶点$i$到顶点$j$的边，那么$a_{i, j}=a_{j, i}$不再是必然的情况
作为图的进一步概括，我们可以考虑多图，这是在同一对顶点之间允许多条边的图，甚至允许连接顶点与自身的边。例如，多重图可以用来表示连接城市的道路，毕竟，一对城市通常有不止一条道路连接它们
多图可以是有向的，也可以是无向的，如图1.30所示。在这两种情况下，使用邻接矩阵来计数顶点之间路径的方法仍然有效。与多图图的唯一区别是，邻接矩阵不再完全由$0 \mathrm{~s}$和$1 \mathrm{~s}$组成，而是它的条目$a_{i, j}$描述了从顶点$i$到顶点$j$有多少条边
数学代写|代数学代写Algebra代考|Systems of Linear equation
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线性代数的大部分内容都围绕着求解和操作现存最简单类型的方程——线性方程:
$n$变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$中的线性方程可以写成
$$
a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_n x_n=b,
$$
，其中$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b$是称为线性方程系数的常数。
注意，即使上面右上的方程不是定义2.1.1所描述的那种形式，但它可以重新排列成那种形式，所以它是线性的。特别地，它等价于方程$4 x-6 y=-3$，它是所期望的形式。此外，左下方和中下方的方程确实是线性的，因为平方根和三角函数只应用于方程中的系数(而不是变量)。相比之下，以下方程都不是线性的:
一般来说，一个方程是线性的，如果每个变量只乘以一个常数:变量不能乘以其他变量，它们不能被提为除1以外的指数，它们不能被应用其他函数。从几何上讲，我们可以把线性方程看作是线和平面(以及我们无法完全描绘的高维平面形状)的代表。例如，一条直线的一般方程是$a x+b y=c$，一个平面的一般方程是$a x+b y+c z=d$，都是线性方程(见图2.1)。
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