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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Expectation and joint moments

We often encounter situations where we are interested in a function of several random variables. Consider the following illustration: let $X_1, \ldots, X_5$ represent our models for the total rainfall in December at five locations around the UK. Functions that may be of interest include:

• the mean across locations, $\frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 X_i$.
• the maximum across locations, $\max _i\left(X_i\right)$.
• the mean of the four rainiest locations, $\frac{1}{4}\left[\sum_{i=1}^5 X_i-\min _i\left(X_i\right)\right]$.
  As a function of random variables, each of these is itself a random variable. In the situations that we will consider, if $X_1, \ldots, X_n$ are random variables and $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is a function of $n$ variables, then $g\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ is also a random variable. In many instances, the distribution of $g\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ is of interest; this topic is tackled in section 4.6. We start with something more straightforward: calculation of the mean.

The expected value of a function of two random variables is given by an extension of Theorem 3.4.4.
Proposition 4.3.1 (Expectation of a function of two random variables)
If $g$ is a well-behaved, real-valued function of two variables, $g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$, and $X$ and $Y$ are random variables with joint mass/density function $f_{X, Y}$, then
$$
\mathbb{E}[g(X, Y)]= \begin{cases}\sum_y \sum_x g(x, y) f_{X, Y}(x, y) & \text { (discrete case) } \ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, y) f_{X, Y}(x, y) d x d y & \text { (continuous case) }\end{cases}
$$
An example using the simple polynomial density function of $4.2 .10$ follows.
Example 4.3.2 (Expectation of a product for simple polynomial density) Consider random variables $X$ and $Y$ with joint density function $f_{X, Y}(x, y)=x+y$ for $0<x<1$ and $0<y<1$. Suppose we are interested in calculating the expectation of the product of $X$ and $Y$, that is, $\mathbb{E}(X Y)$. Using Proposition 4.3.1 with $g(X, Y)=X Y$ we have
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}(X Y) &=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x y f_{X, Y}(x, y) d x d y \
&=\int_0^1 \int_0^1 x y(x+y) d x d y \
&-\int_0^1\left[\frac{x^3}{3} y+\frac{x^2}{2} y^2\right]_{x=0}^{x=1} d y-\int_0^1\left(\frac{1}{3} y+\frac{1}{2} y^2\right) d y \
&=\left[\frac{1}{6} y^2+\frac{1}{6} y^3\right]_0^1=\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Covariance and correlation

In the univariate case, we discussed the use of single-number summaries for the features of a distribution. For example, we might use the mean as a measure of central tendency and the variance as a measure of spread. In the multivariate case we might, in addition, be interested in summarising the dependence between random variables. For a pair of random variables, a commonly used quantity for measuring the degree of (linear) association is correlation. The starting point for the definition of correlation is the notion of covariance.
Definition 4.3.5 (Covariance)
For random variables $X$ and $Y$, the covariance between $X$ and $Y$ is defined as
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))] .
$$
An alternative form for the covariance is
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}(X Y)-\mathbb{B}(X) \mathbb{E}(Y) .
$$
Proving the equivalence of these two forms is part of Exercise 4.3. Covariance has a number of properties that are immediate consequences of its definition as an expectation.
Claim 4.3.6 (Properties of covariance)
For random variables $X, Y, U$, and $V$ the covariance has the following properties.
i. Symmetry: $\operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Cov}(Y, X)$.

统计推断代考

统计代写|统计推断代写统计推断代考|期望和关节力矩

我们经常遇到这样的情况，我们感兴趣的是一个由几个随机变量组成的函数。考虑下面的例子:让$X_1, \ldots, X_5$代表我们在英国各地5个地点的12月总降雨量的模型。您可能感兴趣的函数包括:

• 跨地点的平均值，$\frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 X_i$ .
• 跨地点的最大值，$\max _i\left(X_i\right)$ .
• 四个多雨地点的平均值，$\frac{1}{4}\left[\sum_{i=1}^5 X_i-\min _i\left(X_i\right)\right]$ .
  作为随机变量的函数，每一个它们本身都是一个随机变量。在我们将要考虑的情况下，如果$X_1, \ldots, X_n$是随机变量，$g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$是$n$变量的函数，那么$g\left(X_1, \ldots, X_n\right)$也是一个随机变量。在许多情况下，$g\left(X_1, \ldots, X_n\right)$的分布是令人感兴趣的;这个主题将在第4.6节中讨论。我们从更直接的开始:计算平均值。

由定理3.4.4的推广给出了两个随机变量函数的期望值。命题4.3.1(两个随机变量函数的期望)
如果$g$是一个良好的双变量实值函数，$g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$，以及$X$和$Y$是具有联合质量/密度函数$f_{X, Y}$的随机变量，那么
$$
\mathbb{E}[g(X, Y)]= \begin{cases}\sum_y \sum_x g(x, y) f_{X, Y}(x, y) & \text { (discrete case) } \ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, y) f_{X, Y}(x, y) d x d y & \text { (continuous case) }\end{cases}
$$
下面是使用$4.2 .10$的简单多项式密度函数的例子。例4.3.2(简单多项式密度的乘积的期望)考虑随机变量$X$和$Y$, $0<x<1$和$0<y<1$有联合密度函数$f_{X, Y}(x, y)=x+y$。假设我们对计算$X$和$Y$的乘积的期望感兴趣，即$\mathbb{E}(X Y)$。使用命题4.3.1和$g(X, Y)=X Y$我们有
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}(X Y) &=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x y f_{X, Y}(x, y) d x d y \
&=\int_0^1 \int_0^1 x y(x+y) d x d y \
&-\int_0^1\left[\frac{x^3}{3} y+\frac{x^2}{2} y^2\right]_{x=0}^{x=1} d y-\int_0^1\left(\frac{1}{3} y+\frac{1}{2} y^2\right) d y \
&=\left[\frac{1}{6} y^2+\frac{1}{6} y^3\right]_0^1=\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$

统计代写|统计推断代写统计推断代考|协方差和相关性

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在单变量情况下，我们讨论了对分布特征使用单数字摘要。例如，我们可以用均值来衡量集中趋势，用方差来衡量价差。此外，在多变量情况下，我们可能对总结随机变量之间的依赖性感兴趣。对于一对随机变量，通常用来衡量(线性)关联程度的量是相关性。相关性定义的出发点是协方差的概念。对于随机变量$X$和$Y$, $X$和$Y$之间的协方差定义为
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))] .
$$
协方差的另一种形式是
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}(X Y)-\mathbb{B}(X) \mathbb{E}(Y) .
$$
证明这两种形式的等价性是练习4.3的一部分。协方差有许多特性，这些特性是它作为期望定义的直接结果。
声明4.3.6(协方差的性质)
对于随机变量$X, Y, U$和$V$协方差具有以下性质。对称性:$\operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Cov}(Y, X)$ .

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