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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|A more thorough treatment of random variables
In earlier sections of this chapter we refer rather vaguely to conditions on a set $B$ for $\mathrm{P}(X \in B)$ to be well defined and conditions on a function $g$ for $g(X)$ to be a random variable. We also suggest that we are not really interested in random variables as maps and that, for many situations, the notion of an underlying sample space is not particularly useful. In this section, we attempt to provide some justification for these assertions. The material here is technical and may be excluded without affecting understanding of other parts of the text. We start by providing an alternative definition of a random variable. This is equivalent to Definition 3.1.2 but uses more abstract concepts; key among them is the Borel $\sigma$-algebra.
Definition 3.8.1 (Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$ )
Let $C$ be the collection of all open intervals of $\mathbb{R}$. The Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$ is the (unique) smallest $\sigma$-algebra that contains $C$. We denote the Borel $\sigma$-algebra on $\mathbb{R}$ by $\mathcal{B}$. An element of $\mathcal{B}$ is referred to as a Borel set.
From the definition it is clear that any open interval $(x, y)$ is a Borel set. It is also the case that closed intervals $[x, y]$. half-open intervals $(x, y]$ and $[x, y)$, and finite unions of interval are all Borel sets in $\mathbb{R}$. In fact, sets that are not Borel sets are hard to construct; any subset of $\mathbb{R}$ that you come across in a practical problem is likely to be a Borel set. Clearly, since $\mathcal{B}$ is a $\sigma$-algebra, $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ is a measurable space. The term measurable can also be applied to functions.
Definition 3.8.2 (Measurable function)
Consider measurable spaces $(\Omega, \mathcal{F})$ and $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$. We say that a function $h: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ is $\mathcal{F}$-measurable if $h^{-1}(R) \in \mathcal{F}$ for all $B \in \mathcal{B}$.
We can now give an alternative definition of a random variable.
Definition 3.8.3 (Random variable)
For a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ and measurable space $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$, a random variable, $X$, is a measurable function $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$.
For every random variable. $X$, we can define a measure on $\mathbb{R}$ that completely characterises the distribution of probability associated with $X$. This measure is sometimes referred to as the law of $X$; a non-rigorous account follows. Suppose that we have a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ and that $B$ is a Borel set, that is, $B \subseteq \mathbb{R}$ and $B \in \mathcal{B}$. Our definition of a random variable ensures that the inverse image of $B$ under $X$ is an event, that is, $X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$. As such, it makes sense to talk about the probability of the inverse image,
$$
\mathrm{P}\left(X^{-1}(B)\right)=\mathrm{P}({\omega \in \Omega: X(\omega) \in B}=\mathrm{P}(X \in B) .
$$
If we define $Q_X(B)=\mathrm{P}(X \in B)$, then $Q_X: \mathcal{B} \rightarrow[0,1]$ and $Q_X$ inherits the properties of a probability measure from $\mathrm{P}$. Thus, $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}, Q_X\right)$ is a probability space for any random variable $X$. The probability measure $Q_X$ is referred to as the law of $X$. The following definition summarises.
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Joint and marginal distributions
The cumulative distribution function for a collection of random variables is referred to as the joint cumulative distribution function. This is a function of several variables.
Definition 4.1.1 (General joint cumulative distribution function)
If $X_1, \ldots, X_n$ are random variables, the joint cumulative distribution function is a function $F_{X_1, \ldots, X_n}: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1]$ given by
$$
F_{X_1, \ldots, X_n}\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \ldots, X_n \leq x_n\right) .
$$
The notation associated with the general case of $n$ variables rapidly becomes rather cumbersome. Most of the ideas associated with multivariate distributions are entirely explained by looking at the two-dimensional case, that is, the bivariate distribution. The generalisations to $n$ dimensions are usually obvious algebraically, although $n$ dimensional distributions are considerably more difficult to visualise. The definition of a bivariate cumulative distribution function is an immediate consequence of Definition $4.1 .1$.
Definition 4.1.2 (Bivariate joint cumulative distribution function)
For two random variables $X$ and $Y$, the joint cumulative distribution function is a function $F_{X, Y}: \mathbb{R}^2 \rightarrow[0,1]$ given by
$$
F_{X, Y}(x, y)=\mathrm{P}(X \leq x, Y \leq y) .
$$
Notice that there is an implicit $\cap$ in the statement $\mathrm{P}(X \leq x, Y \leq y)$, so $F_{X, Y}(x, y)$ should be interpreted as the probability that $X \leq x$ and $Y \leq y$. The elementary properties of bivariate distributions are given by Claim 4.1.3 below. Part of Exercise $4.1$ is to generalise these to the $n$-dimensional case.
Claim 4.1.3 (Elementary properties of joint cumulative distribution functions)
Suppose that $X$ and $Y$ are random variables. If $F_{X, Y}$ is the joint cumulative distribution function of $X$ and $Y$, then $F_{X, Y}$ has the following properties:
i. $F_{X, Y}(-\infty, y)=\lim {x \rightarrow-\infty} F{X, Y}(x, y)=0$,
$F_{X, Y}(x,-\infty)=\lim {y \rightarrow-\infty} F{X, Y}(x, y)=0$, $F_{X, Y}(\infty, \infty)=\lim {x \rightarrow \infty, y \rightarrow \infty} F{X, Y}(x, y)=1$.
ii. Right-continuous in $x$ : $\lim {h \downarrow 0} F{X, Y}(x+h, y)=F_{X, Y}(x, y)$,
Right-continuous in $y: \lim {h \downarrow 0} F{X, Y}(x, y+h)=F_{X, Y}(x, y)$.
统计推断代考
统计代写|统计推断代写统计推断代考|更彻底的随机变量处理
在本章的前几节中，我们相当模糊地提到了一个集合的条件$B$, $\mathrm{P}(X \in B)$是一个定义良好的集合，以及一个函数$g$, $g(X)$是一个随机变量。我们还认为，我们并不是真的对随机变量的映射感兴趣，而且在许多情况下，底层样本空间的概念并不是特别有用。在本节中，我们试图为这些断言提供一些理由。这里的材料是技术性的，可以在不影响理解文本其他部分的情况下删除。我们首先提供随机变量的另一种定义。这相当于定义3.1.2，但使用了更抽象的概念;其中关键是Borel $\sigma$ -algebra。
定义3.8.1 (Borel $\sigma$ -algebra on $\mathbb{R}$)
设$C$为$\mathbb{R}$的所有开区间的集合。$\mathbb{R}$上的Borel $\sigma$ -代数是包含$C$的(唯一的)最小的$\sigma$ -代数。我们用$\mathcal{B}$表示$\mathbb{R}$上的Borel $\sigma$ -代数。$\mathcal{B}$的元素被称为Borel集。
从定义可以清楚地看出，任何开区间$(x, y)$都是一个Borel集。闭合间隔$[x, y]$也是如此。半开区间$(x, y]$和$[x, y)$以及区间的有限并集都是$\mathbb{R}$中的Borel集。事实上，非波雷尔集的集合很难构造;在实际问题中遇到的$\mathbb{R}$的任何子集都可能是波雷尔集。显然，由于$\mathcal{B}$是$\sigma$ -代数，因此$(\mathbb{R}, \mathcal{B})$是一个可测量空间。可测量的术语也可以应用于函数。3.8.2(可度量函数)
考虑可度量空间$(\Omega, \mathcal{F})$和$(\mathbb{R}, \mathcal{B})$。我们说一个函数$h: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$是$\mathcal{F}$ -可测量的，如果$h^{-1}(R) \in \mathcal{F}$对所有$B \in \mathcal{B}$ .
我们现在可以给出一个随机变量的另一个定义
定义3.8.3(随机变量)
对于概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$和可测空间$(\mathbb{R}, \mathcal{B})$，一个随机变量$X$是一个可测函数$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$
对于每个随机变量。 $X$，我们可以定义一个测量 $\mathbb{R}$ 这完全刻画了概率分布的特征 $X$。这一措施有时被称为 $X$;下面是一个不严谨的描述。假设我们有一个概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ 那就是 $B$ 是波莱尔集合，即， $B \subseteq \mathbb{R}$ 和 $B \in \mathcal{B}$。我们对随机变量的定义保证了的逆像 $B$ 在 $X$ 是一个事件，即， $X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$。因此，讨论逆图像
的概率是有意义的$$
\mathrm{P}\left(X^{-1}(B)\right)=\mathrm{P}({\omega \in \Omega: X(\omega) \in B}=\mathrm{P}(X \in B) .
$$
$Q_X(B)=\mathrm{P}(X \in B)$，那么 $Q_X: \mathcal{B} \rightarrow[0,1]$ 和 $Q_X$ 继承概率度量的属性 $\mathrm{P}$。因此， $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}, Q_X\right)$ 是任意随机变量的概率空间吗 $X$。概率度量 $Q_X$ 被称为法则 $X$。
统计代写|统计推断代写统计推断代考|联合和边际分布
.
随机变量集合的累积分布函数称为联合累积分布函数。这是一个多元函数。4.1.1(一般关节累积分布函数)
$X_1, \ldots, X_n$ 是随机变量，联合累积分布函数是一个函数吗 $F_{X_1, \ldots, X_n}: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1]$ 由
给出$$
F_{X_1, \ldots, X_n}\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \ldots, X_n \leq x_n\right) .
$$
与一般情况相关的符号 $n$ 变量很快就变得相当麻烦。与多元分布相关的大多数思想都可以通过观察二维的情况来完全解释，即二元分布。概括到 $n$ 维数通常在代数上是很明显的 $n$ 维度分布相当难以可视化。二元累积分布函数的定义是定义的直接结果 $4.1 .1$4.1.2(双变量联合累积分布函数)
对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$，联合累积分布函数是一个函数 $F_{X, Y}: \mathbb{R}^2 \rightarrow[0,1]$ 由
给出$$
F_{X, Y}(x, y)=\mathrm{P}(X \leq x, Y \leq y) .
$$
注意这里有一个隐式 $\cap$ 在声明中 $\mathrm{P}(X \leq x, Y \leq y)$，所以 $F_{X, Y}(x, y)$ 应该被解释为 $X \leq x$ 和 $Y \leq y$。二元分布的基本性质由下面的权利要求4.1.3给出。锻炼的一部分 $4.1$ 将这些概括为 $n$-维情况。
权利要求4.1.3(联合累积分布函数的基本性质)
假设 $X$ 和 $Y$ 是随机变量。如果 $F_{X, Y}$ 的联合累积分布函数是 $X$ 和 $Y$，那么 $F_{X, Y}$ 具有以下属性:
i。 $F_{X, Y}(-\infty, y)=\lim {x \rightarrow-\infty} F{X, Y}(x, y)=0$，
$F_{X, Y}(x,-\infty)=\lim {y \rightarrow-\infty} F{X, Y}(x, y)=0$， $F_{X, Y}(\infty, \infty)=\lim {x \rightarrow \infty, y \rightarrow \infty} F{X, Y}(x, y)=1$.
右连续入 $x$ : $\lim {h \downarrow 0} F{X, Y}(x+h, y)=F_{X, Y}(x, y)$，
右连续 $y: \lim {h \downarrow 0} F{X, Y}(x, y+h)=F_{X, Y}(x, y)$.
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