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统计代写|抽样理论作业代写sampling theory代考|Definitions and Basic Relationships

In a complex subject such as heterogeneity, it does not take long before the reader encounters notation difficulties; for quick and easy reference we conveniently summarized all notations pertaining to this chapter in Table 6.1.

We would like to mention again that in this chapter, all units make up a population in which their order is not taken into consideration, which means that all units within the lot are strictly considered as a random population. On the contrary, in Chapter 7 the order of the units is taken into account, and the lot is considered as a chronological series.

Now let us consider $L$ as a given lot of material made of discrete units, $N_u$ as the number of these units, and $U_m$ as the current unit of $L$ with $m=1,2, \ldots, N_u$. By definition, in a zero-dimensional lot, these units constitute a population in which there is no obvious order. These units can be made of fragments of particulate material (e.g., particles of minerals or solid chemicals, grains of a cereal, fruits, seeds, etc.), or groups of neighboring fragments, or transportation units (e.g., railroad cars, trucks, barrels, bags, jars, shovels, etc.). In all of these cases, as far as the heterogeneity carried out by one component of interest is concerned, the material making up one unit $U_m$ is completely defined by three parameters that can be called its descriptors:
$M_{m r}$ : the total weight of the active components in $U_m$
$A_m$ : the weight of the component of interest (also called critical component) in $U_m$ $a_m$ : the component of interest content (also called critical content) in $U_m$

These three descriptors are related as follows:
$$
A_m=a_m M_m
$$
The three parameters $A, a$, and $M$ are related by one equality, and only two of them are sufficient to completely define the unit under consideration. Often, we choose the total weight $M$ and the critical content $a$; thus, we define units with two descriptors.
Now, let us suppose that one of these two parameters is practically constant in all the units of the population; therefore, only one descriptor is necessary to completely define the unit under consideration. Thus, we define units with one descriptor. In the same manner, a lot $\mathrm{L}$ is completely defined by the three descriptors $M_L A_L$, and $a_L$, which are themselves defined by the following relations:
$$
\begin{gathered}
M_L=\sum_m M_m \
A_L=\sum_m A_m \
a_L=\frac{A_L}{M_L}
\end{gathered}
$$

统计代写|抽样理论作业代写sampling theory代考|The Intrinsic Heterogeneity of the Fragments Making Up the Lot

As defined by equation (6.18). the Constitution Heterogeneity $\mathrm{CH}_L$ is not easy to calculate in most of the real cases in which we are interested. Part of the reason is the difficulty or impossibility in estimating $N_F$, which is usually very large.

In practice, we need to be able to calculate in all cases, and at the cost of some approximations if necessary, the characteristic of the material making up the lot, and this characteristic shall be independent of the size of the lot (i.e., suppressing the need to estimate $N_F$ ).

This can be done by multiplying $\mathrm{CH}_L$ by the term $\mathrm{M}_L / N_F$ which is nothing more than the average weight $\bar{M}_i$ of a fragment. Therefore, we may define the Intrinsic Heterogeneity $I_L$ by the following extremely important relation:
$$
I H_L=\frac{C H_L M_L}{N_F}=C H_L \overline{M_i}=\sum_i \frac{\left(a_i-a_L\right)^2}{a_L^2} \cdot \frac{M_i^2}{M_L}
$$
The larger font used for this critically important equation is to emphasize its importance for all the work we are going to do for the Fundamental Sampling Error FSE and for the Grouping and Segregation Error GSE. Many practitioners refer to Gy’s formula by using the wrong formula. If there is such a thing as a Gy’s formula, equation (6.20) is the one, and no one describes it as such.

Because $\mathrm{CH}{\mathrm{L}}$ is dimensionless, $\mathrm{IH}{\mathrm{L}}$ has the dimension of a weight. Now we are going to find out why $I H_L$ deserves the name of Intrinsic Heterogeneity.

统计代写|抽样理论作业代写sampling theory代考|STAT41020

抽样理论代考

统计代写|抽样理论作业代写采样理论代考|定义和基本关系

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在像异质性这样复杂的主题中,读者很快就会遇到记号的困难;为了方便快捷,我们在表6.1中总结了与本章相关的所有符号

我们想在这一章中再次提到,所有的单位组成一个不考虑其顺序的总体,这意味着在lot中的所有单位都被严格地认为是一个随机总体。相反,在第7章中考虑了单位的顺序,并将地段视为一个时间序列 现在让我们考虑$L$是由离散单元构成的给定数量的材料,$N_u$是这些单元的数量,$U_m$是$L$和$m=1,2, \ldots, N_u$的当前单位。根据定义,在零维群体中,这些单位构成了一个没有明显顺序的群体。这些单位可以是颗粒材料的碎片(如矿物或固体化学物质的颗粒,谷物的颗粒,水果,种子等),或相邻碎片的组,或运输单位(如铁路车厢,卡车,桶,袋,罐,铲子等)。在所有这些情况下,就一个感兴趣的组分所进行的异质性而言,组成一个单位$U_m$的材料完全由三个参数定义,可以称为其描述符:
$M_{m r}$: $U_m$中活性组分的总权重
$A_m$: $U_m$$a_m$中感兴趣的组分(也称为临界组分)的权重:$U_m$中兴趣内容(也称为关键内容)的组成部分

这三个描述符的关系如下:
$$
A_m=a_m M_m
$$
$A, a$和$M$这三个参数之间有一个相等的关系,只有其中两个参数足以完全定义所考虑的单位。通常,我们选择总权重$M$和关键内容$a$;因此,我们用两个描述符来定义单元。现在,让我们假设这两个参数中的一个在总体的所有单位中实际上是恒定的;因此,只需要一个描述符就可以完全定义考虑中的单元。因此,我们用一个描述符来定义单元。以同样的方式,很多$\mathrm{L}$完全由三个描述符$M_L A_L$和$a_L$定义,它们本身由以下关系定义:
$$
\begin{gathered}
M_L=\sum_m M_m \
A_L=\sum_m A_m \
a_L=\frac{A_L}{M_L}
\end{gathered}
$$

统计代写|抽样理论作业代写采样理论代考|组成批次的碎片的内在异质性

由式(6.18)定义。宪法异质性$\mathrm{CH}_L$在我们感兴趣的大多数实际案例中并不容易计算。部分原因是很难或不可能估计$N_F$,这通常是非常大的 在实践中,我们需要能够在所有情况下计算,并在必要时以一些近似为代价,计算组成批量的材料的特性,而该特性应与批量的大小无关(即抑制估计$N_F$的需要) 这可以通过将$\mathrm{CH}_L$乘以术语$\mathrm{M}_L / N_F$来实现,这仅仅是一个片段的平均权重$\bar{M}_i$。因此,我们可以通过以下极其重要的关系来定义内在异质性$I_L$:
$$
I H_L=\frac{C H_L M_L}{N_F}=C H_L \overline{M_i}=\sum_i \frac{\left(a_i-a_L\right)^2}{a_L^2} \cdot \frac{M_i^2}{M_L}
$$
这个极其重要的方程使用较大的字体是为了强调它对于我们将要进行的基本抽样误差FSE和分组和分离误差GSE的所有工作的重要性。许多实践者用错误的公式引用Gy的公式。如果存在一个Gy公式,那么(6.20)式就是其中之一,而且没有人这样描述它 因为$\mathrm{CH}{\mathrm{L}}$是无量纲的,所以$\mathrm{IH}{\mathrm{L}}$有一个权重的量纲。现在我们来看看为什么$I H_L$值得被称为内在异质性。

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