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统计代写|概率与统计作业代写Probability and Statistics代考|Systematic Sampling

Recall that for systematic sampling we split our population into $n$ groups consisting of $m$ units, where from each group we select the $k$ th unit $(k \in{1,2, \ldots, m})$. Here we will assume that the ratio of the population size $N$ and sample size $n$ is an integer, i.e., $N / n=m \in{1,2,3, \ldots ., N}$ to keep calculations mathematically more simple. The population is now perfectly split into $n$ groups of size $m$. The sampling plan is $S_1$, $S_2, \ldots, S_m$, with $S_k={k, k+m, k+2 m, \ldots, k+(n-1) m}$, and each sample $S_k$ having probability $1 / m$ of being collected. The sample average can now be written as $\bar{x}k=\sum{i=1}^n x_{k+m(i-1)} / n$.

If the population can be perfectly split up into $n$ groups of $m$ units, the sample average $\bar{x}k$ is an unbiased estimator of the population mean $\mu=$ $\sum{h=1}^m \sum_{i=1}^n x_{h+m(i-1)} / N$, with $N=m n$. The mean square error is given by (see Table $2.2)$
$$
\sigma^2-\frac{1}{N} \sum_{h=1}^n \sum_{i=1}^m\left(x_{h+m(i-1)}-\bar{x}h\right)^2, $$ with $\sigma^2$ the population variance given by $\sigma^2=\sum{k=1}^m \sum_{i=1}^n\left(x_{k+m(i-1)}-\mu\right)^2 / N$ and with $\bar{x}_h$ the sample average for sample set $S_h$. It is obvious that the MSE of the sample average under systematic sampling is different from the MSE of the sample average under simple random sampling (just compare Eq. (2.4) with Eq. (2.2)). Systematic sampling can be more efficient than simple random sampling, in particular when the variance in the systematic samples is larger than the population variance (which is impossible to verify in practice).

统计代写|概率与统计作业代写Probability and Statistics代考|Stratified Sampling

To discuss the properties of the weighted sample average under stratified sampling we will change the notation for the index of units. Instead of using index $i$ for a unit in the population, we will use the indices ( $h, i)$ to indicate the unit $i \in\left{1,2, \ldots, N_h\right}$ for units in stratum $h \in{1,2, \ldots, M}$, and with $N_1+N_2+\cdots+N_M=N$ the total number of population units. Thus the variable $x_{h i}$ represents the value of unit $i$ in stratum $h$. The population mean can then be rewritten into
$$
\mu=\frac{1}{N} \sum_{h=1}^M \sum_{i=1}^n x_{h i}=\sum_{h=1}^m w_h \mu_h
$$
with $w_h=N_h / N$ and $\mu_h=\sum_{i=1}^{N_h} x_{h i} / N_h$ the population average in stratum $h$ or the strata mean. Note that the weights add up to one, i.e., $w_1+w_2+\cdots+w_M=1$. Thus the population mean is a weighted mean of the strata means $\mu_h$.

The variance $\sigma_h^2$ in stratum $h$ is defined as $\sigma_h^2=\sum_{i=1}^{N_h}\left(x_{h i}-\mu_h\right)^2 / N_h$. The relationship between the population variance and the strata variances is given by
$$
\sigma^2 \equiv \frac{1}{N} \sum_{h=1}^M \sum_{i=1}^{N_h}\left(x_{h i}-\mu\right)^2=\sum_{h=1}^M w_h \sigma_h^2+\sum_{h=1}^M w_h\left(\mu_h-\mu\right)^2
$$
Thus the population variance is the sum of two parts. The first part represents a weighted mean of the within strata variances and the second part represents a weighted mean of the squared distances of the strata means to the population mean. They may be referred to as within and between (strata) variances.

Now let’s assume that we have determined in some way the sample size $n_h$ in stratum $h$, such that the sum is equal to the total sample size $n=n_1+n_2+$ $\cdots+n_m$. In case we draw a simple random sample in each stratum, the possible samples for stratum $h$ are now denoted by $S_{h, 1}, S_{h, 2}, \ldots, S_{h, K_h}$, with $K_h=$ $N_{h} ! /\left[n_{h} !\left(N_h-n_h\right) !\right] . S_{h, k}$ is the collected sample in stratum $h$, the sample mean is given by $\bar{x}{h, k}-\sum{i \in S_{h, k}} x_{h i} / n_h$. The samplé variance in stratum $h_h$ is thên denoted by $s_{h, k}^2=\sum_{i \in S_{h, k}}\left(x_{h i}-\bar{x}_{h, k}\right)^2 /\left(n_h-1\right)$.

概率与统计代考

统计代写|概率与统计作业代写概率统计代考|系统抽样

回想一下，为了进行系统抽样，我们将人口分为$n$组，每组包含$m$个单位，从每组中选择第$k$个单位$(k \in{1,2, \ldots, m})$。这里我们假设人口规模$N$和样本规模$n$的比值是一个整数，即$N / n=m \in{1,2,3, \ldots ., N}$，以便在数学上计算更简单。人口现在完美地分成了$n$个规模为$m$的群体。抽样方案为$S_1$, $S_2, \ldots, S_m$，其中$S_k={k, k+m, k+2 m, \ldots, k+(n-1) m}$，每个样本$S_k$被采集的概率为$1 / m$。样本平均值现在可以写成$\bar{x}k=\sum{i=1}^n x_{k+m(i-1)} / n$ .

如果总体可以完美地分为$m$单位的$n$组，则样本平均值$\bar{x}k$是总体平均值$\mu=$$\sum{h=1}^m \sum_{i=1}^n x_{h+m(i-1)} / N$的无偏估计量，其中$N=m n$。均方误差由(见表$2.2)$
$$
\sigma^2-\frac{1}{N} \sum_{h=1}^n \sum_{i=1}^m\left(x_{h+m(i-1)}-\bar{x}h\right)^2, $$，其中$\sigma^2$给出总体方差由$\sigma^2=\sum{k=1}^m \sum_{i=1}^n\left(x_{k+m(i-1)}-\mu\right)^2 / N$给出，而$\bar{x}_h$给出样本集的样本平均值$S_h$。很明显，系统抽样下样本均值的MSE与简单随机抽样下样本均值的MSE不同(只需将Eq.(2.4)与Eq.(2.2)进行比较)。系统抽样可能比简单随机抽样更有效，特别是当系统样本的方差大于总体方差(这在实践中是不可能验证的)时

统计代写|概率与统计作业代写概率与统计代考|分层抽样

为了讨论分层抽样下加权样本平均的性质，我们将改变单位指数的符号。我们不使用指数$i$表示人口中的一个单位，而是使用指数($h, i)$表示$h \in{1,2, \ldots, M}$阶层中的单位为单位$i \in\left{1,2, \ldots, N_h\right}$, $N_1+N_2+\cdots+N_M=N$表示人口单位总数。因此，变量$x_{h i}$表示$h$地层中单位$i$的值。人口平均值可以改写为
$$
\mu=\frac{1}{N} \sum_{h=1}^M \sum_{i=1}^n x_{h i}=\sum_{h=1}^m w_h \mu_h
$$
加上$w_h=N_h / N$和$\mu_h=\sum_{i=1}^{N_h} x_{h i} / N_h$，即$h$层的人口平均值或层的平均值。注意，权重加起来为1，即$w_1+w_2+\cdots+w_M=1$。因此，总体平均值是各层平均值的加权平均值$\mu_h$

地层$h$中的方差$\sigma_h^2$定义为$\sigma_h^2=\sum_{i=1}^{N_h}\left(x_{h i}-\mu_h\right)^2 / N_h$。总体方差与地层方差之间的关系由
$$
\sigma^2 \equiv \frac{1}{N} \sum_{h=1}^M \sum_{i=1}^{N_h}\left(x_{h i}-\mu\right)^2=\sum_{h=1}^M w_h \sigma_h^2+\sum_{h=1}^M w_h\left(\mu_h-\mu\right)^2
$$
给出，因此总体方差是两部分的和。第一部分表示层内方差的加权平均值，第二部分表示层均值与总体均值之间距离的平方的加权平均值。它们可被称为(层)内差异和层间差异

现在让我们假设我们已经以某种方式确定了$h$地层的样本容量$n_h$，这样的总和等于总样本容量$n=n_1+n_2+$$\cdots+n_m$。如果我们在每个地层中抽取一个简单的随机样本，则$h$地层的可能样本用$S_{h, 1}, S_{h, 2}, \ldots, S_{h, K_h}$表示，其中$K_h=$$N_{h} ! /\left[n_{h} !\left(N_h-n_h\right) !\right] . S_{h, k}$为$h$地层中收集的样本，样本均值用$\bar{x}{h, k}-\sum{i \in S_{h, k}} x_{h i} / n_h$表示。$h_h$地层的samplé方差为thên，用$s_{h, k}^2=\sum_{i \in S_{h, k}}\left(x_{h i}-\bar{x}_{h, k}\right)^2 /\left(n_h-1\right)$表示。

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