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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|2-Edge-Connected

Based on previous discussions, it shouldn’t be surprising that there are similar notions for graphs that are 2-edge-connected, which can be described as those graphs that are connected but without a bridge. In particular, we extend the ear decomposition idea into its edge analog, called a closed-ear decomposition.
Definition 4.25 A closed-ear in a graph $G$ is a cycle where all vertices have degree 2 in $G$ except for one vertex on the cycle. A closed-ear decomposition is a collection $P_0, P_1, \ldots P_k$ so that $P_0$ is a cycle, $P_i$ is either an ear or closed-ear of $P_0 \cup \cdots \cup P_{i-1}$ for all $i \geq 1$, and all edges and vertices are included in the collection.

The small change in our definition between an ear and closed-ear can most easily be attributed to graphs that are 2-edge-connected, but not 2-connected. Consider the graph from Example 4.4. This graph is 2-edge-connected since it does not have a bridge. Thus the same decomposition we had above still works (since we are allowed to use ears in a closed-ear decomposition). In contrast, the graph $G_7$ below (sometimes called the bow-tie graph) is 2-edge-connected but not 2-connected since $c$ is a cut-vertex. If we tried to find a regular ear decomposition for $G_7$ then we would run into a problem in finding $P_1$ since once the first cycle has been chosen (for example $P_0$ below) then the remaining portion of the graph would only consist of another 3-cycle. But allowing $P_1$ to be a closed-ear, we find our closed-ear decomposition.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Network Flow

Digraphs have appeared throughout this text to model asymmetric relationships. For example, at the beginning of Chapter 1, we described game wins as a directed edge in a tournament, and in Chapter 2 we looked at when digraphs, more specifically tournaments, were hamiltonian. This section will focus on a new application for digraphs, one in which items are sent through a network. These networks often model physical systems, such as sending water through pipelines or information through a computer network. The digraphs we investigate will need a starting and ending location, though there is no requirement for the network to be acyclic. In this section, we will need some specialized terminology, in particular, what we mean by a network.

Definition 4.27 A network is a digraph where each arc $e$ has an associated nonnegative integer $c(e)$, called a capacity. In addition, the network has a designated starting vertex $s$, called the source, and a designated ending vertex $t$, called the sink. A flow $f$ is a function that assigns a value $f(e)$ to each arc of the network.

Below is an example of a network. Each arc is given a two-part label. The first component is the flow along the arc and the second component is the capacity.The names of the starting and ending vertices are reminiscent of a system of pipes with water coming from the source, traveling through some configuration of the piping to arrive at the sink (ending vertex). Using this analogy further, we can see that some restraints need to be placed on the flow along an arc. For example, flow should travel in the indicated direction of the arcs, no arc can carry more than its capacity, and the amount entering a junction point (a vertex) should equal the amount leaving. These rules are more formally stated in the following definitions.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|MS-E1050

数学代写|图论作业代写图论代考|2-Edge-Connected

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根据前面的讨论,对于2-边连通的图也有类似的概念,这并不奇怪,它们可以被描述为那些连通但没有桥的图。特别地,我们将耳分解思想扩展到它的边缘模拟,称为闭耳分解。图$G$中的闭耳是一个循环,其中除了循环上的一个顶点外,所有顶点在$G$中都具有2次。闭耳分解是一个集合$P_0, P_1, \ldots P_k$,因此$P_0$是一个循环,$P_i$是所有$i \geq 1$的$P_0 \cup \cdots \cup P_{i-1}$的一个耳或闭耳,并且所有的边和顶点都包含在集合中


我们在耳朵和闭耳之间定义的微小变化最容易归因于两边连通图,但不是两边连通图。考虑例4.4中的图。这个图是2边连通的,因为它没有桥。因此,我们上面所做的相同的分解仍然有效(因为我们被允许在闭耳分解中使用耳朵)。相比之下,下面的图$G_7$(有时称为蝴蝶结图)是2边连通的,但不是2连通的,因为$c$是一个切点。如果我们试图为$G_7$找到一个规则的耳分解,那么在找到$P_1$时就会遇到问题,因为一旦选择了第一个循环(例如下面的$P_0$),那么图的其余部分将只由另一个3个循环组成。但是如果让$P_1$成为一个闭塞的人,我们就会发现闭塞的分解

数学代写|图论作业代写图论代考|网络流

有向图出现在整个文本模型的非对称关系。例如,在第一章的开头,我们将游戏胜利描述为锦标赛中的有向优势,在第二章中,我们研究了有向图(更具体地说,锦标赛)何时是哈密顿的。本节将重点介绍有向图的一个新应用程序,其中项通过网络发送。这些网络通常为物理系统建模,例如通过管道输水或通过计算机网络发送信息。我们研究的有向图将需要一个起始和结束位置,尽管没有要求网络是非循环的。在本节中,我们将需要一些专门的术语,特别是网络的含义


网络是有向图,其中每个弧$e$都有一个相关的非负整数$c(e)$,称为容量。此外,网络有一个指定的起始顶点$s$,称为源,和一个指定的结束顶点$t$,称为汇。流$f$是一个函数,它为网络的每个弧赋值$f(e)$


下面是一个网络的例子。每个弧都有一个由两部分组成的标签。第一个分量是沿弧线的流量,第二个分量是容量。起始点和结束点的名称让人想起一个管道系统,水从源头流出,通过管道的某些配置到达水池(结束点)。进一步使用这个类比,我们可以看到需要对沿弧线流动施加一些限制。例如,流体应该沿着弧线的指定方向流动,任何弧线的承载能力都不能超过它的承载能力,进入一个结点(顶点)的流量应该等于离开的流量。这些规则在以下定义中有更正式的说明

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