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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Connectivity and Paths
Now that we have some familiarity with connectivity, we turn to its relationship to paths within a graph. Note that for the remainder of this section, we will assume the graphs are connected, as otherwise the results are trivial. We begin by relating cut-vertices and bridges to paths. You should notice that almost every result for vertices has an edge analog. We begin with the most simple results relating a cut-vertex or a bridge to its presence on a path.
Theorem 4.6 A vertex $v$ is a cut-vertex of a graph $G$ if and only if there exist vertices $x$ and $y$ such that $v$ is on every $x-y$ path.
Proof: First suppose $v$ is a cut-vertex in a graph $G$. Then $G-v$ must have at least two components. Let $x$ and $y$ be vertices in different components of $G-v$. Since $G$ is connected, we know there must exist an $x-y$ path in $G$ that does not exist in $G-v$. Thus $v$ must lie on this path. Conversely, let $v$ be a vertex and suppose there exist vertices $x$ and $y$ such that $v$ is on every $x-y$ path. Then none of these paths exist in $G-v$, and so $x$ and $y$ cannot be in the same component of $G-v$. Thus $G$ must have at least two components and so $v$ is a cut-vertex.
Below is the edge version of the result above, the proof of which appears in Exercise 4.17.
Theorem 4.7 An edge $e$ is a bridge of $G$ if and only if there exist vertices $x$ and $y$ such that $e$ is on every $x-y$ path.
The theorem to follow has a similar feel to that about leaves and trees (see Exercise 3.18) and allows us to know we can pick some vertex of a graph not to be a cut-vertex. The second theorem listed below relates bridges to cycles. It should be obvious that any edge along a cycle cannot be a bridge since its removal will only break the cycle, not disconnect the graph; perhaps more surprising is that all edges not on a cycle are in fact bridges. The proof of these results appear in Exercise $4.18$ and $4.19$.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|2-Connected Graphs
As we have already seen, 1-connected graphs are simply those graphs that we more commonly call connected and $k$-connected graphs can be described in terms of $k$ number of paths between two vertices. So why then do we single out 2-connected graphs? This is in part because they hold a special area in the study of connectivity – they are known to be connected and as we will see cannot contain any cut-vertices. The class of 2-connected graphs provide both some easy results and some more technical and complex areas of study. We begin with a review of our graphs $G_2$ and $G_3$ from page 169, reproduced below.
Recall that we showed $\kappa\left(G_2\right)-2-\kappa^{\prime}\left(G_2\right)$ but that $\kappa\left(G_3\right)-1$ and $\kappa^{\prime}\left(G_3\right)=2$. So what is the structural difference between $G_2$ and $G_3$ that provides the difference in the connectivity measures? Obviously, we can describe it in terms of internally disjoint paths, but there must be some more basic property that separates them. In particular, notice how vertex $c$ seems to be the connecting point between the two halves of $G_3$; that it, $c$ is a cut-vertex.
Theorem 4.17 A graph $G$ with at least 3 vertices is 2-connected if and only if $G$ is connected and does not have any cut-vertices.
Proof: Assume $G$ is 2-connected. Then any cut-set of $G$ must be of size at least 2. Therefore $G$ must be connected and cannot have a cut-vertex, as in either of these situations we would have a cut-set of size less than 2 .
Convèrsëly, suppóse $G$ is not 2-connèctèd. Thẻn èithèr $G$ is discoñnected or by Menger’s Theorem there exist two non-adjacent vertices $x$ and $y$ for which there is exactly one path between them. Removing any vertex along this path will disconnect $x$ and $y$, and so that vertex serves
In Exercise $3.19$ we proved that every non-leaf of a tree is a cut-vertex. Therefore no tree is 2-connected and so every 2-connected graph must contain a cycle, or more specifically every vertex lies on a cycle. The proof of the fóllowing corollary appeảars in Exercisése $4.21$.
数学代写|图论作业代写图论代考|连通性和路径
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既然我们已经对连通性有了一些熟悉，我们就来看看它与图中路径的关系。注意，在本节的其余部分中，我们将假设图是连接的，否则结果是微不足道的。我们首先将切点和桥与路径联系起来。您应该注意到，几乎每个顶点的结果都有一个边模拟。我们从最简单的结果开始，将切点或桥与它在路径上的存在联系起来。
定理4.6顶点$v$是图$G$的切顶点，当且仅当存在顶点$x$和$y$，使得$v$在每一条$x-y$路径上。
证明:首先假设$v$是图$G$中的一个切顶点。那么$G-v$必须至少有两个组件。设$x$和$y$是$G-v$的不同组件中的顶点。因为$G$是连接的，我们知道在$G$中一定存在一个$x-y$路径，而在$G-v$中不存在。因此$v$必须在这条道路上。相反，设$v$是一个顶点，并假设存在顶点$x$和$y$，这样$v$在每个$x-y$路径上。那么这些路径在$G-v$中都不存在，因此$x$和$y$不能在$G-v$的同一个组件中。因此$G$必须至少有两个组件，因此$v$是一个切顶点。
下面是上面结果的边缘版本，其证明见练习4.17
定理4.7边$e$是$G$的桥，当且仅当存在顶点$x$和$y$，使得$e$位于每一条$x-y$路径上 下面要遵循的定理与关于树叶和树的定理有类似的感觉(参见练习3.18)，它让我们知道我们可以选择图中的某个顶点，而不是切顶点。下面列出的第二个定理将桥与循环联系起来。显然，沿循环的任何边都不可能是桥，因为移除它只会打破循环，而不会断开图;也许更令人惊讶的是，所有不在循环上的边实际上都是桥。这些结果的证明出现在练习$4.18$和$4.19$ .
数学代写|图论作业代写图论代考|2-连通图
正如我们已经看到的，1连通图就是那些我们通常称为连通的图，$k$ -连通图可以用两个顶点之间的路径数$k$来描述。那么为什么我们要选出两个连通图呢?这部分是因为它们在连通性研究中占据了一个特殊的领域——它们被认为是连通的，正如我们将看到的，它们不包含任何切点。二连通图类既提供了一些简单的结果，也提供了一些更技术性和更复杂的研究领域。我们首先回顾第169页中的图表$G_2$和$G_3$(见下文)
回想一下，我们展示的是$\kappa\left(G_2\right)-2-\kappa^{\prime}\left(G_2\right)$，但是$\kappa\left(G_3\right)-1$和$\kappa^{\prime}\left(G_3\right)=2$。那么，$G_2$和$G_3$之间的结构差异是什么，导致了连接度量的差异?显然，我们可以用内部不相交的路径来描述它，但是必须有一些更基本的性质把它们分开。特别要注意的是，顶点$c$似乎是$G_3$的两个部分之间的连接点;也就是说，$c$是一个切点。
定理4.17一个至少有3个顶点的图$G$是2连通的，当且仅当$G$是连通的并且没有任何切顶点
证明:假设 $G$ 是2-连通的。然后是任意的裁剪 $G$ 必须至少有2个大小。因此 $G$
Convèrsëly, suppóse $G$ 不是2-connèctèd。Thẻn èithèr $G$ 是discoñnected还是根据门格尔定理存在两个不相邻顶点 $x$ 和 $y$ 它们之间只有一条路。沿着这条路径移除任何顶点都会断开连接 $x$ 和 $y$，因此在练习中，顶点服务
$3.19$ 我们证明了树的每一个非叶都是一个切顶点。因此，没有树是二连通的，所以每个二连通图必须包含一个循环，或者更确切地说，每个顶点都位于一个循环上。fóllowing推论的证明出现在Exercisése中 $4.21$.
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