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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Centrality Measures
As we have already seen, we measure connectivity of a graph in terms of the number of distinct paths between two vertices or by the number of vertices (or edges) needed to disconnect the graph. This section will investigate an-other method for evaluating the underlying structure of a graph by identifying central vertices.
In Definition 2.29, we define a vertex to be central if its eccentricity equals the radius of the graph. Recall the eccentricity of a vertex $x$ is the maximum distance from $x$ to any other vertex in $G$; that is $\epsilon(x)=\max {y \in V(G)} d(x, y)$ and the radius of a graph is the minimum eccentricity among all vertices; that is $\operatorname{rad}(G)=\min {x \in V(G)} \epsilon(x)$. These are useful measures for identifying vertices within short distance of most other vertices, but does that really explain how connected or important a single vertex is to the rest of the graph?
Instead of only relying on path distance, we may want to characterize vertices based on other metrics indicating their relative importance within a graph. These measures are often called network centralities, where network here simply means a connected graph.
Consider, for example, your network of friends. If each person were a vertex and an edge represented a friendship, then some of your friends would naturally be friends with each other, and you might find clumps in the vertices, maybe your math major friends, intermural soccer friends, or friends from your dorm; some of these clumps may overlap, so you are not the only connection from these groups of people.
We will use graph $G_{10}$ above as an example for the various centrality measures. However, in most applications we would be working with graphs containing many more vertices (think in the range of a few hundred to many millions) and our analysis would be done using computer software and the adjacency matrix; one such example is shown at the conclusion of this section.
Using a friend network as motivation, how might we identify a central vertex? Perhaps the person with the most friends? This is called the degree centrality.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Matching and Factors
In Chapter 4, we focused on the underlying structure of a graph in terms of its connectivity. In this chapter we again focus on the structure of the graph but from the viewpoint of grouping vertices based on a variety of criteria, mainly in terms of making viable pairings. In the next chapter, we will again group vertices (or edges) together in order to avoid conflict. To begin this chapter, we investigate the optimization of pairings through the use of edge-matchings within a graph, more commonly known as a matching.
Definition 5.1 Given a graph $G=(V, E)$, a matching $M$ is a subset of the edges of $G$ so that no two edges share an endpoint. The size of a matching, denoted $|M|$, is the number of edges in the matching.
Recall that when two edges do not share an endpoint, we call them independent edges, so a matching is just a set of independent edges within a graph.
The most common application of matchings is the pairing of people, usually described in terms of marriages. Other applications of a graph matching are task assignment, distinct representatives, and roommate selection.
Example 5.1 The Vermont Maple Factory just received a rush order for 6-dozen boxes of maple cookies, 3-dozen bags of maple candy, and 10dozen bottles of maple syrup. Some employees have volunteered to stay late tonight to help finish the orders. In the chart below, each employee is shown along with the jobs for which he or she is qualified. Draw a graph to model this situation and find a matching.
数学代写|图论作业代写图论代考|中心性度量
正如我们已经看到的，我们根据两个顶点之间不同路径的数量或断开图所需要的顶点(或边)的数量来度量图的连通性。本节将研究通过识别中心顶点来评估图的底层结构的另一种方法
在定义2.29中，我们定义一个顶点为中心，如果它的偏心距等于图形的半径。回想一下顶点$x$的偏心距是$x$到$G$中任何其他顶点的最大距离;即$\epsilon(x)=\max {y \in V(G)} d(x, y)$，图的半径是所有顶点中的最小偏心量;网址是$\operatorname{rad}(G)=\min {x \in V(G)} \epsilon(x)$。这些都是很有用的方法，可以用来识别与大多数其他顶点短距离内的顶点，但这真的能解释单个顶点与图的其余部分之间的联系或重要性吗?
与其只依赖路径距离，我们可能想要基于其他指标来描述顶点，这些指标表示它们在图中的相对重要性。这些度量通常被称为网络中心性，这里的网络仅仅意味着一个连通的图
例如，考虑一下你的朋友圈。如果每个人都是一个顶点，而一条边代表一段友谊，那么你的一些朋友就会自然而然地成为彼此的朋友，你可能会在顶点中发现一些团块，可能是你数学专业的朋友，可能是你的足球朋友，或者是你宿舍的朋友;这些群体中的一些可能会重叠，所以你不是这些群体中唯一的联系
我们将使用上面的图$G_{10}$作为各种中心性度量的示例。然而，在大多数应用中，我们将处理包含更多顶点的图(考虑到几百到数百万个的范围)，我们的分析将使用计算机软件和邻接矩阵;本节的最后给出了一个这样的例子。使用朋友网络作为动机，我们如何识别中心顶点?也许是朋友最多的人?这叫做度中心性。
数学代写|图论作业代写图论代考|匹配与因子
在第4章中，我们从连通性的角度关注了图的底层结构。在这一章中，我们再次关注图的结构，但从基于各种标准的顶点分组的角度出发，主要是在生成可行的配对方面。在下一章中，我们将再次将顶点(或边)分组在一起，以避免冲突。在本章的开始，我们研究了通过在图中使用边匹配来优化配对，更常见的说法是匹配
给定一个图$G=(V, E)$，一个匹配的$M$是$G$边的子集，因此没有两条边共享一个端点。标记为$|M|$的匹配的大小是匹配中的边的数量
回想一下，当两条边不共享端点时，我们称它们为独立边，因此匹配只是图中独立边的集合
配对最常见的应用是人的配对，通常用婚姻来描述。图匹配的其他应用包括任务分配、不同代表和室友选择
佛蒙特枫糖工厂刚刚收到一份紧急订单，需要6打枫饼干，3打枫糖和10打枫糖浆。一些员工自愿今晚加班帮助完成订单。在下面的图表中，每个雇员都列出了他或她能胜任的工作。画一个图来模拟这种情况并找到匹配
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