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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Weighted residual integral
Let us first define the residual of the governing equation. For example, the residual of Eq. (3.1) is defined as follows:
$$
R(u)=\mathcal{L}(u)-f=0 \text { in } \Omega
$$
Note that the residual, $R$ is zero, if the exact solution $u$ of the boundary value problem is known. Otherwise, if we have an approximate solution, the residual will have an error $\varepsilon$ which can be represented as follows:
$$
R(\tilde{u})=\varepsilon \neq 0
$$
The weighted-residual statement of the original differential equation or simply the weighted-residual integral (WRI) is a bilinear functional defined as follows:
$$
I(u, w)=\int_{\Omega} w R d \Omega=0
$$
where $w$ is a weight function. This can be any nonzero integrable function that helps to find an approximate solution to the problem.
For Eq. (3.3a), the residual becomes,
$$
R=\left[\frac{d}{d x}\left(a \frac{d u}{d x}\right)+c u+q\right]=0 \text { in } x_0<x<x_L
$$
and the corresponding weighted residual integral is,
$$
I(u, w)=\int_{x_0}^{x_L} w R d x=\int_{x_0}^{x_L} w\left[\frac{d}{d x}\left(a \frac{d u}{d x}\right)+c u+q\right] d x=0
$$
数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Boundary conditions
The order of differentiation of the dependent variable $u$ in the weighted residual statement can be reduced by using integration by parts until the differentiation is distributed evenly between the dependent variable $u$ and the weight function $w$. The boundary terms that results from integration by parts represent the admissible boundary conditions of the problem.
Let’s demonstrate this on the example boundary value problem whose weighted residual integral form is given by Eq. (3.52). In order to distribute the differentiation operator evenly between the weight function $w$ and the independent variable $u$ let’s use integration by parts on the first term,
$$
\begin{aligned}
&\int_{x_0}^{x_L}\left[w \frac{d}{d x}\left(a \frac{d u}{d x}\right)+c w u+w q\right] d x=0 \
&w\left(x_L\right)\left(a \frac{d u}{d x}\right){x_L}-w\left(x_0\right)\left(a \frac{d u}{d x}\right){x_0}-\int_{x_0}^{x_L}\left[a \frac{d u}{d x} \frac{d w}{d x}-c w u-w q\right] d x \equiv 0
\end{aligned}
$$
Note that in order for Eq. (3.53a) to be satisfied, each one of its terms must vanish separately. Thus it can be easily shown that on the boundaries the following conditions must be satisfied,
at $x=x_0$ : either $w\left(x_0\right)=0$
or
$$
\left.a\left(x_0\right) \frac{d u}{d x}\right|_{x_0}=0
$$ and
at $x=x_L$ : either $w\left(x_L\right)=0$
or
$$
\left.a\left(x_L\right) \frac{d u}{d x}\right|_{x_L}=0
$$
数学代写|有限元方法代写有限元法代考|加权残差积分
让我们先定义支配方程的残差。例如，Eq.(3.1)的残差定义如下:
$$
R(u)=\mathcal{L}(u)-f=0 \text { in } \Omega
$$
注意，如果边值问题的精确解$u$已知，残差$R$为零。否则，如果我们有一个近似解，残差将有一个误差$\varepsilon$，它可以表示为:
$$
R(\tilde{u})=\varepsilon \neq 0
$$
原始微分方程的加权残差语句或简单的加权残差积分(WRI)是一个定义如下的双线性泛函:
$$
I(u, w)=\int_{\Omega} w R d \Omega=0
$$
其中$w$是一个权重函数。它可以是任何有助于找到问题近似解的非零可积函数。对于Eq. (3.3a)，残差变为，
$$
R=\left[\frac{d}{d x}\left(a \frac{d u}{d x}\right)+c u+q\right]=0 \text { in } x_0<x<x_L
$$
，对应的加权残差积分为，
$$
I(u, w)=\int_{x_0}^{x_L} w R d x=\int_{x_0}^{x_L} w\left[\frac{d}{d x}\left(a \frac{d u}{d x}\right)+c u+q\right] d x=0
$$
数学代写|有限元方法代写有限元法代考|边界条件
加权残差语句中因变量$u$的微分级数可以通过分部积分来降低，直到微分在因变量$u$和权重函数$w$之间均匀分布。由分部积分得到的边界项表示问题的容许边界条件 让我们在加权残差积分形式由式(3.52)给出的样例边值问题上进行演示。为了在权重函数$w$和自变量$u$之间均匀地分配微分算子，让我们对第一项使用分部积分，
$$
\begin{aligned}
&\int_{x_0}^{x_L}\left[w \frac{d}{d x}\left(a \frac{d u}{d x}\right)+c w u+w q\right] d x=0 \
&w\left(x_L\right)\left(a \frac{d u}{d x}\right){x_L}-w\left(x_0\right)\left(a \frac{d u}{d x}\right){x_0}-\int_{x_0}^{x_L}\left[a \frac{d u}{d x} \frac{d w}{d x}-c w u-w q\right] d x \equiv 0
\end{aligned}
$$
注意，为了满足Eq. (3.53a)，它的每一项必须分别消失。因此，可以很容易地证明在边界上必须满足以下条件，
在$x=x_0$: $w\left(x_0\right)=0$
或
$$
\left.a\left(x_0\right) \frac{d u}{d x}\right|_{x_0}=0
$$和
在$x=x_L$: $w\left(x_L\right)=0$
或
$$
\left.a\left(x_L\right) \frac{d u}{d x}\right|_{x_L}=0
$$
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