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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Method of weighted residuals
We now turn our attention to finding approximate solutions to boundary value problems. In particular, the method of weighted residuals describes a group of solution methods to obtain approximate solutions to an integral equation expressed in the form of Eq. (3.50).
We will seek an approximate solution $\tilde{u}$ for the problem. We chose this approximate solution as a superposition of certain basis functions $\phi_j(x)$, as follows:
$$
\tilde{u}(x)=\phi_0(x)+c_1 \phi_1(x)+c_2 \phi_2(x)+\ldots+c_N \phi_N(x)=\phi_0(x)+\sum_{j=1}^N c_j \phi_j(x)
$$
where $c_j$ are unknown coefficients. Note that Eq. (3.88) represents a finite series with $N+1$ basis functions. In order to find the $N$ unknown coefficients Eq. (3.50) is generalized by using $N$ weight functions $w_i$,
$$
\int_{\Omega} w_i R(\tilde{u}) d \Omega=0 \text { for } i=1, \ldots N
$$
The choices for the basis and weight functions are not arbitrary. The following conditions should be followed, in choosing the basis and weight functions.
Basis functions: The basis functions $\phi_0, \phi_i$, should be chosen such that:
(i) The approximate solution $\tilde{u}$ satisfies the boundary conditions of the problem.
(ii) The approximate solution $\tilde{u}$ is as many times differentiable as required by the original differential equation.
(iii) The basis functions $\phi_0, \phi_j$ are linearly independent.
Weight functions: The choice of the weight functions, $w_i$, depends on the method used.
These methods are the Rayleigh-Ritz, Galerkin, Petrov-Galerkin, leastsquares, and collocation methods. The finite element method also uses a variational (weighted residual) approach. As we will see later, the choice of basis functions in the FEM are different from that of classical variational methods. In these notes we only introduce the Rayleigh-Ritz and the Galerkin methods. Detailed discussion of the other methods can be found for example in reference [1].
数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Rayleigh–Ritz method
The Rayleigh-Ritz method seeks an approximate solution of the form given in Eq. (3.88) to the weak form of the boundary value problem. For example, the weak form of Example-3.1 is approximated as follows:
$$
w_i\left(x_L\right) Q_L-\int_{x_0}^{x_L}\left[a \frac{d \tilde{u}}{d x} \frac{d w_i}{d x}-c w_i \tilde{u}-w_i q\right] d x=0 \text { for } i=1 . . N
$$
where $w_i(x)$ are the weight functions. An approximate solution of the form,
$$
\tilde{u}(x)=\phi_0(x)+\sum_{j=1}^N C_j \phi_j(x)
$$
is sought, where $C_j$ are the coefficients to be determined, $\phi_0(x)$ and $\phi_j(x)$ are the basis functions.
The weak form of the boundary value problem has certain advantages that are helpful in the selection of the basis functions. First, the natural boundary conditions of the problem are included in the weak form. This means that the natural boundary conditions can be approximately satisfied, if we happen to pick an approximate solution satisfying only the essential boundary conditions of the problem. Therefore, the condition (C1) can be relaxed. Second, the weak form has a reduced order of differentiation. Therefore, the continuity requirement stated in condition (C2) is reduced. With these caveats, the following conditions should be followed to pick the basis functions for the Rayleigh-Ritz method:
Basis functions: The basis functions $\phi_0, \phi_j$ must be chosen such that:
i. The approximate solution $\tilde{u}$ satisfies at least the essential boundary conditions of the problem
(C4)
ii. The approximate solution $\tilde{u}$ is as many times differentiable as required by the weak form integral
(C5)
iii. The basis functions must be $\phi_0, \phi_j$ linearly independent
(C3)
Weight functions: In the Rayleigh-Ritz method, the weight functions are chosen as the same functions as the basis functions (i.e., $w_i=\phi_i$ ).
数学代写|有限元方法代写有限元法代考|加权残差法
我们现在把注意力转向寻找边值问题的近似解。其中加权残差法描述了一组求解方法，以求得式(3.50)表示的积分方程的近似解。
我们将为这个问题寻求一个近似解$\tilde{u}$。我们选择这个近似解作为若干基函数$\phi_j(x)$的叠加，如下:
$$
\tilde{u}(x)=\phi_0(x)+c_1 \phi_1(x)+c_2 \phi_2(x)+\ldots+c_N \phi_N(x)=\phi_0(x)+\sum_{j=1}^N c_j \phi_j(x)
$$
其中$c_j$为未知系数。注意，式(3.88)表示一个具有$N+1$基函数的有限级数。为了找到$N$未知系数，将Eq.(3.50)推广为$N$权函数$w_i$，
$$
\int_{\Omega} w_i R(\tilde{u}) d \Omega=0 \text { for } i=1, \ldots N
$$
基函数和权函数的选择不是任意的。在选择基函数和权函数时，应遵循以下条件。
基函数:基函数$\phi_0, \phi_i$，应选择如下:
(i)近似解$\tilde{u}$满足问题的边界条件
(ii)近似解$\tilde{u}$是原微分方程要求的可微倍数
(iii)基函数$\phi_0, \phi_j$是线性无关的。
权重函数:权重函数$w_i$的选择取决于所使用的方法
这些方法是瑞利-里兹法、伽辽金法、彼得罗夫-伽辽金法、最小二乘法和搭配法。有限元法还采用了变分(加权残差)方法。正如我们稍后将看到的，在FEM中基函数的选择不同于经典的变分方法。在这些笔记中，我们只介绍瑞利-里兹法和伽辽金法。其他方法的详细讨论可以在参考文献[1]中找到
数学代写|有限元方法代写有限元法代考|瑞利-里兹法
.有限元法
瑞利-里兹方法寻求式(3.88)中给出的形式对边值问题弱形式的近似解。例如，example -3.1的弱形式近似如下:
$$
w_i\left(x_L\right) Q_L-\int_{x_0}^{x_L}\left[a \frac{d \tilde{u}}{d x} \frac{d w_i}{d x}-c w_i \tilde{u}-w_i q\right] d x=0 \text { for } i=1 . . N
$$
其中$w_i(x)$是权重函数。求得形式
$$
\tilde{u}(x)=\phi_0(x)+\sum_{j=1}^N C_j \phi_j(x)
$$
的近似解，其中$C_j$是待确定的系数，$\phi_0(x)$和$\phi_j(x)$是基函数
边值问题的弱形式有一定的优点，有助于基函数的选择。首先将问题的自然边界条件包含在弱形式中。这意味着，如果我们碰巧选择了一个只满足问题基本边界条件的近似解，自然边界条件可以近似满足。因此，可以放宽条件(C1)。第二，弱形式的分化顺序降低。因此，降低了条件(C2)中规定的连续性要求。有了这些注意事项，在为瑞利-里兹方法选择基函数时应遵循以下条件:
基函数:基函数 $\phi_0, \phi_j$ 必须这样选择:
i。近似解 $\tilde{u}$ 至少满足问题的基本边界条件
(C4)
ii。近似解 $\tilde{u}$ 可微的次数等于弱形式积分
(C5)
iii所要求的次数。基函数必须是 $\phi_0, \phi_j$ 权重函数:在瑞利-里兹方法中，权重函数被选为与基函数相同的函数(即 $w_i=\phi_i$ ).
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