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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Information Loss Due to Superposition

The assumption that the a priori PDF $\mu_{k-1}(x)$ is the same for all objects is a radical change. It profoundly alters the role of the prior. With the new assumption, one prior must serve for all $N$ objects simultaneously, and not just one, as previously had been the case.

To justify using one prior, recall the AC interpretation of the classic Bayes-Markov filter, wherein the object state is interpreted as a sample in a histogram with cell probabilities determined by the prior. The histogram model still holds, but now there are $N$ objects. Before superposition, $N$ object-specific histograms have one sample each. After superposition, one histogram has all $N$ samples. Objects are independent and, by assumption, the prior PDF is the same for all objects, so that one histogram is the count record of $N$ IID samples from the prior PDF.

Said differently, object superposition is the equivalent of pooling and IID sampling “with replacement.” Well-separated objects are therefore represented by a multimodal prior, that is, by a prior with one mode for each object. Multimodality is one reason why superposition is effective.

On the other hand, IID sampling with replacement is a problem for object tracking because more than one of the $N$ IID samples can be from the same mode, thereby violating the at most one measurement per object rule. To ensure objects are properly “present and accounted for,” the sampling procedure should be without replacement. Superposition loses information because, implicitly, it is based on sampling with replacement.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Generating Functional of the Bayes Posterior

Given the “sameness” assumption, $\Psi_k^{\mathrm{BMD}(\omega)}(h, g) \equiv \Psi_k^{\mathrm{BMD}}(h, g)$ and the GFL of the superposition is
$$
\Psi_k^{\text {JDns }}(h, g)=\Psi_k^{\mathrm{c}}(g)\left(\Psi_k^{\mathrm{BMD}}(h, g)\right)^N,
$$
where $\Psi_k^{\mathrm{BMD}}(h, g)$ is identical to (2.19), repeated here for easy reference:
$$
\Psi_k^{\operatorname{and}}(h, g)=\int_X h(x) \mu_k^{-}(x)\left(1-P d_k(x)+P d_k(x) \int_y g(y) p_k(y \mid x) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x .
$$
Defining $\Psi_k^{\text {JPDs }}(h, \beta)=\Psi_k^{\text {JPAs }}\left(h, g_\delta\right)$, where $g_\delta$ is given by (4.3), and rearranging terms gives
$$
\begin{aligned}
&\Psi_k^{\mathrm{IPDAS}}(h, \beta)=\exp \left(-\lambda_k^c+\sum_{m=1}^M \beta_m \lambda_k^c p_k^c\left(y_m\right)\right) \
&\times\left(\int_X h(x) \mu_k^{-}(x)\left(1-P d_k(x)\right) \mathrm{d} x+\sum_{m=1}^M \beta_m \int_X h(x) \mu_k^{-}(x) P d_k(x) p_k\left(y_m \mid x\right) \mathrm{d} x\right)^N .
\end{aligned}
$$
This expression is the product of an exponential of a linear function of $\beta$ andbecause the object models are identical – the $N$ th power of a linear function of $\beta$. Its cross-derivative is given by Eq. (C.47) in Appendix C. As a shorthand notation, let
$$
\begin{aligned}
A(x) &=\mu_k^{-}(x)\left(1-P d_k(x)\right) \
B\left(x ; y_m\right) &=\frac{\mu_k^{-}(x) P d_k(x) p_k\left(y_m \mid x\right)}{\lambda_k^c p_k^c\left(y_m\right)}, \quad m=1, \ldots, M .
\end{aligned}
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|MATH482

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|由于叠加导致的信息丢失

.信息丢失 .数学代写|组合学代写Combinatorics代考|


假设先验PDF $\mu_{k-1}(x)$对所有对象都是相同的,这是一个根本的改变。它深刻地改变了前任的角色。在新的假设下,一个先验必须同时服务于所有$N$对象,而不是像以前那样只有一个


为了证明使用一个先验,回想一下经典贝叶斯-马尔可夫滤波器的AC解释,其中对象状态被解释为直方图中的样本,单元概率由先验决定。直方图模型仍然成立,但是现在有了$N$对象。在叠加之前,$N$对象特定直方图各有一个样本。叠加后,一个直方图有全部$N$样本。对象是独立的,并且假设先前的PDF对所有对象都是相同的,因此一个直方图是来自先前PDF的$N$ IID样本的计数记录


换句话说,对象叠加相当于池化和“带替换”的IID采样。因此,分离良好的对象由多模态先验表示,即由每个对象具有一种模态的先验表示。多模态是叠加有效的原因之一


另一方面,带有替换的IID采样对于对象跟踪来说是一个问题,因为$N$ IID样本中的多个样本可能来自同一模式,从而违反了每个对象最多一次测量的规则。为了确保对象正确地“存在和解释”,采样程序应该没有替换。叠加会丢失信息,因为它隐含地基于带有替换的采样

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|贝叶斯后验的生成函数


给定”相同”的假设, $\Psi_k^{\mathrm{BMD}(\omega)}(h, g) \equiv \Psi_k^{\mathrm{BMD}}(h, g)$ 叠加态的GFL
$$
\Psi_k^{\text {JDns }}(h, g)=\Psi_k^{\mathrm{c}}(g)\left(\Psi_k^{\mathrm{BMD}}(h, g)\right)^N,
$$
where $\Psi_k^{\mathrm{BMD}}(h, g)$ 与(2.19)相同,在此重复以方便参考:
$$
\Psi_k^{\operatorname{and}}(h, g)=\int_X h(x) \mu_k^{-}(x)\left(1-P d_k(x)+P d_k(x) \int_y g(y) p_k(y \mid x) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x .
$$
定义 $\Psi_k^{\text {JPDs }}(h, \beta)=\Psi_k^{\text {JPAs }}\left(h, g_\delta\right)$,其中 $g_\delta$ 由(4.3)给出,并且重新排列terms得到
$$
\begin{aligned}
&\Psi_k^{\mathrm{IPDAS}}(h, \beta)=\exp \left(-\lambda_k^c+\sum_{m=1}^M \beta_m \lambda_k^c p_k^c\left(y_m\right)\right) \
&\times\left(\int_X h(x) \mu_k^{-}(x)\left(1-P d_k(x)\right) \mathrm{d} x+\sum_{m=1}^M \beta_m \int_X h(x) \mu_k^{-}(x) P d_k(x) p_k\left(y_m \mid x\right) \mathrm{d} x\right)^N .
\end{aligned}
$$这个表达式是的线性函数的指数的乘积 $\beta$ 因为对象模型是相同的 $N$ 的线性函数的次幂 $\beta$。它的交叉导数由附录c中的Eq. (C.47)给出,作为速记符号,令
$$
\begin{aligned}
A(x) &=\mu_k^{-}(x)\left(1-P d_k(x)\right) \
B\left(x ; y_m\right) &=\frac{\mu_k^{-}(x) P d_k(x) p_k\left(y_m \mid x\right)}{\lambda_k^c p_k^c\left(y_m\right)}, \quad m=1, \ldots, M .
\end{aligned}
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考

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