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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Superposition of Multiple Object States

Superposing object states onto a common space is a familiar practice in many fieldsthink of the theater-level plotting tables that display the geographic distribution of a diversity of objects, for example. The basic concept assumes that object state spaces are copies of a common state space, $\mathcal{X}$. When the spaces are incommensurate, e.g., they have different dimensionalities, it is necessary to map object states to points in $X$ in order to superpose them.

The superposition of the object states defines the multiobject state. The points in the superposition are unlabeled, that is, which point corresponds to the state of which object is unknown. The multiobject state is, therefore, inherently less informative than the list of object-specific states.

The multiobject state space is the grand canonical ensemble (GCE) of all multiobject states; see (B.15) in Appendix B. It is denoted by $\mathcal{E}(\mathcal{X})$. Random variables whose realizations are in the GCE event space are termed finite point processes.

Probability distributions for a finite point process are defined over the events in $\mathcal{E}(X)$. The goal of Bayesian analysis is, therefore, to determine the posterior PDF of a finite point process on the GCE, $\mathcal{E}(X)$, conditioned on a set of sensor point measurements in the measurement space $y$.

The dimensionality of the GCE is so large that the PDF on this space is represented by one or more summary statistics. The most commonly used statistics are the intensity and the pair correlation functions (see Appendix B). These statistics support the intuition that superposed processes are often good representations of the multiobject state. In contrast, marginalized processes (see Sect. B.9) can conflate the distributional support of well-separated objects.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Superposition with Non-identical Object Models

Recall that the GFL of the JPDA filter for $N$ objects with clutter is, from (3.2),
$$
\Psi_k^{\mathrm{JPDA}}\left(h^{1: N}, g\right)=\Psi_k^{\mathrm{c}}(g) \prod_{n=1}^N \Psi_k^{\mathrm{BMD}(n)}\left(h^n, g\right),
$$
where $\Psi_k^{\mathrm{c}}(g)$ is the GFL (2.20) of the Poisson clutter process and $\Psi_k^{\mathrm{BMD}(n)}\left(h^n, g\right)$ is the GFL (3.1) of the BMD process of object $n$. It is assumed here that the state space of all $N$ objects is $\mathcal{X}$, but the JPDA models are otherwise unchanged. It allows different objects, so the transition (motion) functions, measurement likelihoods, detection probability functions, and prior PDFs depend on $n$, the object index, and the scan index $k$, e.g., the prior PDF is $\mu_{k-1}^n(x), n=1, \ldots, N$.

For a general discussion of superposition, see (B.72) of Appendix B. The GFL of the superposed process is found by setting $h^n(x)=h(x), n=1, \ldots, N$, in the GFL of the unsuperposed process. Let
$$
\begin{aligned}
\Psi_k^{\mathrm{JPD} M s}(h, g) & \equiv \Psi_k^{\mathrm{JPD}}(h, \ldots, h, g) \
&=\Psi_k^{\mathrm{c}}(g) \prod_{n=1}^N \Psi_k^{\mathrm{BMD}(n)}(h, g) .
\end{aligned}
$$
Given the scan measurement set $\mathbf{y}k=\left{y_1, y_2, \ldots, y_M\right}, M \geq 1$, and the Dirac delta train (cf. Eq. (2.22)), $$ g\delta(y)=\sum_{m=1}^M \beta_m \delta_{y_m}(y), \quad y \in \mathcal{Y}, \quad \beta=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_M\right) \in \mathbb{R}^M,
$$
the GFL of the Bayes posterior process is the normalized cross-derivative,
$$
\Psi_k^{\mathrm{JPD} \mu \mathrm{s}}\left(h \mid \mathbf{y}k\right)=\frac{\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \beta} \Psi_k^{\mathrm{JPDM \xi}}(h, \beta)\right|{\beta=0}}{\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \beta} \Psi_k^{\mathrm{JPDMk}}(\mathbf{1}, \beta)\right|_{\beta=0}}
$$

where $\Psi_k^{\mathrm{IPDMk}}(h, \beta) \equiv \Psi_k^{\mathrm{IPD} / \xi}\left(h, g_\delta\right)$ is a secularized function, and the notation $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \beta} \equiv$ $\frac{\mathrm{d}^M}{\mathrm{~d} \beta_1 \cdots d \beta_M}$ is used for enhanced readability. Explicitly,
$$
\begin{aligned}
&\Psi_k^{\text {IPDn) }}(h, \beta)=\exp \left(-\lambda_k^c+\lambda_k^c \sum_{m-1}^M \beta_m p_k^c\left(y_m\right)\right) \
&\quad \times \prod_{n=1}^N\left[\int_X h(x) \mu_k^{n-}(x)\left(1-P d_k^n(x)+P d_k^n(x) \sum_{m=1}^M \beta_m p_k\left(y_m \mid x\right)\right) \mathrm{d} x\right] .
\end{aligned}
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|MATH393

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|多对象状态叠加

.


在许多领域,将物体的状态叠加到一个公共空间上是一种常见的做法——例如,想想显示物体多样性地理分布的剧院级别的绘图表。基本概念假设对象状态空间是公共状态空间$\mathcal{X}$的副本。当空间不相称时,例如,它们具有不同的维数,有必要将对象状态映射到$X$中的点,以便叠加它们


对象状态的叠加定义了多对象状态。叠加中的点是没有标记的,也就是说,哪个点对应于哪个物体的状态是未知的。因此,多对象状态本身的信息量就不如对象特定的状态列表


多目标状态空间是所有多目标状态的大正则集合(GCE);见附录b (B.15),用$\mathcal{E}(\mathcal{X})$表示。在GCE事件空间中实现的随机变量称为有限点过程


有限点过程的概率分布定义在$\mathcal{E}(X)$中的事件上。因此,贝叶斯分析的目标是确定GCE $\mathcal{E}(X)$上有限点过程的后验PDF,条件是测量空间$y$中的一组传感器点测量。


GCE的维度非常大,以至于该空间上的PDF由一个或多个汇总统计信息表示。最常用的统计信息是强度和对相关函数(见附录B)。这些统计信息支持这样一种直觉,即叠加过程通常是多目标状态的良好表示。相比之下,边缘进程(见B.9节)可以合并分离良好的对象的分布支持

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|与非相同对象模型的叠加


回想一下,对于$N$具有杂波的对象,JPDA滤波器的GFL是(3.2)
$$
\Psi_k^{\mathrm{JPDA}}\left(h^{1: N}, g\right)=\Psi_k^{\mathrm{c}}(g) \prod_{n=1}^N \Psi_k^{\mathrm{BMD}(n)}\left(h^n, g\right),
$$
,其中$\Psi_k^{\mathrm{c}}(g)$是泊松杂波过程的GFL (2.20), $\Psi_k^{\mathrm{BMD}(n)}\left(h^n, g\right)$是对象$n$的BMD过程的GFL(3.1)。这里假设所有$N$对象的状态空间是$\mathcal{X}$,但JPDA模型在其他方面是不变的。它允许不同的对象,因此转换(运动)函数、测量可能性、检测概率函数和先验PDF依赖于$n$、对象索引和扫描索引$k$,例如,先验PDF为$\mu_{k-1}^n(x), n=1, \ldots, N$。


关于叠加的一般讨论,见附录b的(B.72)。在未叠加过程的总长度中,通过设置$h^n(x)=h(x), n=1, \ldots, N$可以找到叠加过程的总长度。设
$$
\begin{aligned}
\Psi_k^{\mathrm{JPD} M s}(h, g) & \equiv \Psi_k^{\mathrm{JPD}}(h, \ldots, h, g) \
&=\Psi_k^{\mathrm{c}}(g) \prod_{n=1}^N \Psi_k^{\mathrm{BMD}(n)}(h, g) .
\end{aligned}
$$
给定扫描测量集$\mathbf{y}k=\left{y_1, y_2, \ldots, y_M\right}, M \geq 1$,并且Dirac delta列(cf. Eq. (2.22)), $$ g\delta(y)=\sum_{m=1}^M \beta_m \delta_{y_m}(y), \quad y \in \mathcal{Y}, \quad \beta=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_M\right) \in \mathbb{R}^M,
$$
贝叶斯后突的GFL是归一化交叉导数,
$$
\Psi_k^{\mathrm{JPD} \mu \mathrm{s}}\left(h \mid \mathbf{y}k\right)=\frac{\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \beta} \Psi_k^{\mathrm{JPDM \xi}}(h, \beta)\right|{\beta=0}}{\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \beta} \Psi_k^{\mathrm{JPDMk}}(\mathbf{1}, \beta)\right|_{\beta=0}}
$$

其中$\Psi_k^{\mathrm{IPDMk}}(h, \beta) \equiv \Psi_k^{\mathrm{IPD} / \xi}\left(h, g_\delta\right)$是一个世俗化的函数,符号$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \beta} \equiv$$\frac{\mathrm{d}^M}{\mathrm{~d} \beta_1 \cdots d \beta_M}$用于增强可读性。显式地,
$$
\begin{aligned}
&\Psi_k^{\text {IPDn) }}(h, \beta)=\exp \left(-\lambda_k^c+\lambda_k^c \sum_{m-1}^M \beta_m p_k^c\left(y_m\right)\right) \
&\quad \times \prod_{n=1}^N\left[\int_X h(x) \mu_k^{n-}(x)\left(1-P d_k^n(x)+P d_k^n(x) \sum_{m=1}^M \beta_m p_k\left(y_m \mid x\right)\right) \mathrm{d} x\right] .
\end{aligned}
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考

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