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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Probability Distribution
The PDF of JPDAS is defined on the Cartesian product space $\mathcal{X}^N$. It is evaluated by substituting a weighted Dirac delta train for $h(x)$ and taking the cross-derivative. (See Sect. B.5 of Appendix B.) As noted above, exactly $N$ objects are present with probability one, so delta trains of length less than or greater than $N$ yield zero probabilities. Let $\left{x_1, \ldots, x_N\right}$ denote a set of object states. For $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_N\right)$, let
$$
h_\delta(\alpha)=\sum_{n=1}^N \alpha_n \delta_{x_n}(x) .
$$
Substituting into (4.11) gives the secular function; it is a multivariate polynomial in the components of $\alpha$,
$$
\begin{aligned}
\Psi_k^{\text {JPDAs }}\left(\alpha \mid \mathbf{y}k\right)=& \frac{c\left(\mathbf{y}_k\right)}{C_k(M, N)} \sum{\kappa=0}^{\min [N, M]}(N)\kappa\left(\sum{n=1}^N \alpha_n A\left(x_n\right)\right)^{N-\kappa} \
& \times S_\kappa^{(M)}\left(\sum_{n=1}^N \alpha_n B\left(x_n ; y_1\right), \ldots, \sum_{n=1}^N \alpha_n B\left(x_n ; y_M\right)\right) .
\end{aligned}
$$
The coefficient of the monomial $\prod_{n=1}^N \alpha_n=\alpha_1 \cdots \alpha_N$ is the conditional probability:
$$
p_k\left(\left{x_1, \ldots, x_N\right} \mid \mathbf{y}_k\right)=\left[\alpha_1 \cdots \alpha_N\right] \Psi_k^{\text {JPDAs }}\left(\alpha \mid \mathbf{y}_k\right) .
$$
The general expression for the coefficient is complicated and of little interest here, so it is omitted.
Example $1 M=1$. In this case, $\mathbf{y}k=\left{y_1\right}$ and $c\left(\mathbf{y}_k\right)=\exp \left(-\lambda_k^c\right) \lambda_k^c p_k^c\left(y_1\right)$. Since $\min {N, M}=1$, the coefficient (4.16) is the sum of two terms whose ESPs are $S_0^{(1)}(x)=1$ and $S_1^{(1)}(x)=x$. The normalization constant is $$ \begin{aligned} C_k(1, N) &=\left(\exp \left(-\lambda_k^c\right) \lambda_k^c p_k^c\left(y_1\right)\right)\left(\int_X A(x) \mathrm{d} x\right)^N \ &+N\left(\exp \left(-\lambda_k^c\right) \lambda_k^c p_k^c\left(y_1\right)\right)\left(\int_X A(x) \mathrm{d} x\right)^{N-1}\left(\int_X B\left(x ; y_1\right) \mathrm{d} x\right) . \end{aligned} $$ The $\kappa=0$ term, without $C_k(1, N)$, is $$ \begin{aligned} T_k(0) & \equiv\left[\alpha_1 \cdots \alpha_N\right] c\left(\mathbf{y}_k\right)(N)_0\left(\sum{n=1}^N \alpha_n A\left(x_n\right)\right)^N \
&=\left(\exp \left(-\lambda_k^c\right) \lambda_k^c p_k^c\left(y_1\right)\right) N ! \prod_{n=1}^N A\left(x_n\right)
\end{aligned}
$$
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Intensity Function and Closing the Bayesian Recursion
Summary statistics for the superposed process are the same as for any single point process. The most commonly used statistic is the “count density” function, often termed the intensity function. The intensity is the expected number of objects per unit state space at each point $\bar{x} \in \mathcal{X}$. It has the same units as a probability density on $X$, but it is a very different function. This important distinction is discussed in Sect. B.6 of Appendix B.
As noted in Sect. B.6 of Appendix B, the intensity function at an arbitrarily specified point $\bar{x} \in X$ is the derivative of the GFL at $\bar{x}$ evaluated at one, not zero, so the secular function for the intensity at $\bar{x}$ employs the Dirac delta $h_\delta(x)=1+$ $\bar{\alpha} \delta_{\bar{x}}(x), \bar{\alpha} \in \mathbb{R}$. Using it in (4.11) gives
$$
\begin{aligned}
\Psi_k^{\mathrm{JPD} A S} &\left(\bar{\alpha} \mid \mathbf{y}k\right)=\Psi_k^{\mathrm{JPD} A S}\left(1+\bar{\alpha} \delta{\bar{x}} \mid \mathbf{y}k\right) \ =& \frac{c\left(\mathbf{y}_k\right)}{C_k(M, N)} \sum{\kappa=0}^{\min [N, M]}(N)k\left(\bar{\alpha} A(\bar{x})+\int{\mathcal{X}} A(x) \mathrm{d} x\right)^{N-\kappa} \
& \times S_k^{(M)}\left(\bar{\alpha} B\left(\bar{x} ; y_1\right)+\int_{\mathcal{X}} B\left(x ; y_1\right) \mathrm{d} x, \ldots, \bar{\alpha} B\left(\bar{x} ; y_M\right)+\int_X B\left(x ; y_M\right) \mathrm{d} x\right) .
\end{aligned}
$$
By inspection, this secular function is a (univariate) polynomial in $\bar{\alpha}$. The intensity at the point $\bar{x} \in \mathcal{X}$ is the coefficient of the linear term,
$$
I_k^{\mathrm{JPDAS}}\left(\bar{x} \mid \mathbf{y}k\right)=[\bar{\alpha}] \Psi_k^{\mathrm{JPDAS}}\left(\bar{\alpha} \mid \mathbf{y}_k\right) $$ The general analytic expression for this coefficient is cumbersome and is omitted. The intensity function simplifies to $$ I_k^{\text {JPDAs }}\left(\bar{x} \mid \mathbf{y}_k=\varnothing\right)=\frac{N \mu_k^{-}(\bar{x})\left(1-P d_k(\bar{x})\right)}{\int\chi \mu_k^{-}(x)\left(1-P d_k(x)\right) \mathrm{d} x}
$$
when the scan measurement set is empty.
Since $\int_X I_k^{\text {JPDAS }}\left(x \mid \mathbf{y}_k\right) \mathrm{d} x=N$, dividing by $N$ gives the exact Bayes updated PDF as
$$
\mu_k^{\mathrm{JPDSS}}\left(x \mid \mathbf{y}_k\right)=\frac{1}{N} I_k^{\mathrm{PPD} A}\left(x \mid \mathbf{y}_k\right) .
$$
This step closes the Bayesian recursion for JPDAS.
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|概率分布
JPDAS的PDF定义在笛卡尔积空间$\mathcal{X}^N$上。通过将$h(x)$替换为一个加权狄拉克δ列并取交叉导数来评估它。(见附录b B.5节)如上所述，恰好$N$对象的出现概率为1，因此长度小于或大于$N$的增量序列产生的概率为0。让$\left{x_1, \ldots, x_N\right}$表示一组对象状态。对于$\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_N\right)$，令
$$
h_\delta(\alpha)=\sum_{n=1}^N \alpha_n \delta_{x_n}(x) .
$$
代入(4.11)得到长期函数;它是$\alpha$分量中的多元多项式，
$$
\begin{aligned}
\Psi_k^{\text {JPDAs }}\left(\alpha \mid \mathbf{y}k\right)=& \frac{c\left(\mathbf{y}_k\right)}{C_k(M, N)} \sum{\kappa=0}^{\min [N, M]}(N)\kappa\left(\sum{n=1}^N \alpha_n A\left(x_n\right)\right)^{N-\kappa} \
& \times S_\kappa^{(M)}\left(\sum_{n=1}^N \alpha_n B\left(x_n ; y_1\right), \ldots, \sum_{n=1}^N \alpha_n B\left(x_n ; y_M\right)\right) .
\end{aligned}
$$
单项的系数$\prod_{n=1}^N \alpha_n=\alpha_1 \cdots \alpha_N$是条件概率:
$$
p_k\left(\left{x_1, \ldots, x_N\right} \mid \mathbf{y}_k\right)=\left[\alpha_1 \cdots \alpha_N\right] \Psi_k^{\text {JPDAs }}\left(\alpha \mid \mathbf{y}_k\right) .
$$
系数的一般表达式很复杂，在这里没有什么意义，所以省略了
示例:$1 M=1$。在本例中是$\mathbf{y}k=\left{y_1\right}$和$c\left(\mathbf{y}_k\right)=\exp \left(-\lambda_k^c\right) \lambda_k^c p_k^c\left(y_1\right)$。因为$\min {N, M}=1$，系数(4.16)是两个esp分别为$S_0^{(1)}(x)=1$和$S_1^{(1)}(x)=x$的项的和。正常化常数是$$ \begin{aligned} C_k(1, N) &=\left(\exp \left(-\lambda_k^c\right) \lambda_k^c p_k^c\left(y_1\right)\right)\left(\int_X A(x) \mathrm{d} x\right)^N \ &+N\left(\exp \left(-\lambda_k^c\right) \lambda_k^c p_k^c\left(y_1\right)\right)\left(\int_X A(x) \mathrm{d} x\right)^{N-1}\left(\int_X B\left(x ; y_1\right) \mathrm{d} x\right) . \end{aligned} $$$\kappa=0$项，不包括$C_k(1, N)$，是$$ \begin{aligned} T_k(0) & \equiv\left[\alpha_1 \cdots \alpha_N\right] c\left(\mathbf{y}_k\right)(N)_0\left(\sum{n=1}^N \alpha_n A\left(x_n\right)\right)^N \
&=\left(\exp \left(-\lambda_k^c\right) \lambda_k^c p_k^c\left(y_1\right)\right) N ! \prod_{n=1}^N A\left(x_n\right)
\end{aligned}
$$
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|强度函数和关闭贝叶斯递归
叠加进程的汇总统计信息与任何单点进程相同。最常用的统计是“计数密度”函数，通常称为强度函数。强度是每个点$\bar{x} \in \mathcal{X}$上每个单位状态空间的期望对象数。它的单位与$X$上的概率密度相同，但它是一个非常不同的函数。这个重要的区别在附录b的B.6节中有讨论
如附录B B.6节所述，任意指定点$\bar{x} \in X$处的强度函数是$\bar{x}$处GFL在1处的导数，而不是0处的值，因此$\bar{x}$处强度的长期函数采用狄拉克δ $h_\delta(x)=1+$$\bar{\alpha} \delta_{\bar{x}}(x), \bar{\alpha} \in \mathbb{R}$。在(4.11)中使用它得到
$$
\begin{aligned}
\Psi_k^{\mathrm{JPD} A S} &\left(\bar{\alpha} \mid \mathbf{y}k\right)=\Psi_k^{\mathrm{JPD} A S}\left(1+\bar{\alpha} \delta{\bar{x}} \mid \mathbf{y}k\right) \ =& \frac{c\left(\mathbf{y}k\right)}{C_k(M, N)} \sum{\kappa=0}^{\min [N, M]}(N)k\left(\bar{\alpha} A(\bar{x})+\int{\mathcal{X}} A(x) \mathrm{d} x\right)^{N-\kappa} \
& \times S_k^{(M)}\left(\bar{\alpha} B\left(\bar{x} ; y_1\right)+\int{\mathcal{X}} B\left(x ; y_1\right) \mathrm{d} x, \ldots, \bar{\alpha} B\left(\bar{x} ; y_M\right)+\int_X B\left(x ; y_M\right) \mathrm{d} x\right) .
\end{aligned}
$$
通过检验，这个长期函数是$\bar{\alpha}$中的一个(单变量)多项式。在$\bar{x} \in \mathcal{X}$点的强度是线性项的系数，
$$
I_k^{\mathrm{JPDAS}}\left(\bar{x} \mid \mathbf{y}k\right)=[\bar{\alpha}] \Psi_k^{\mathrm{JPDAS}}\left(\bar{\alpha} \mid \mathbf{y}_k\right) $$这个系数的一般解析表达式很麻烦，省略了。当扫描测量集为空时，强度函数简化为$$ I_k^{\text {JPDAs }}\left(\bar{x} \mid \mathbf{y}_k=\varnothing\right)=\frac{N \mu_k^{-}(\bar{x})\left(1-P d_k(\bar{x})\right)}{\int\chi \mu_k^{-}(x)\left(1-P d_k(x)\right) \mathrm{d} x}
$$
。
由于$\int_X I_k^{\text {JPDAS }}\left(x \mid \mathbf{y}_k\right) \mathrm{d} x=N$，除以$N$得到准确的贝叶斯更新PDF为
$$
\mu_k^{\mathrm{JPDSS}}\left(x \mid \mathbf{y}_k\right)=\frac{1}{N} I_k^{\mathrm{PPD} A}\left(x \mid \mathbf{y}_k\right) .
$$
这一步关闭JPDAS的贝叶斯递归
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