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In Kapitel 1 und 2 haben wir uns im Rahmen der linearen Optimierung mit Problemstellungen beschäftigt, bei denen die Entscheidungsvariablen beliebige reelle Werte annehmen konnten, sofern sie alle Nebenbedingungen erfüllten. In vielen praktischen Problemstellungen wird jedoch gefordert, dass die Variablen nur ganzzahlige, natürliche oder binäre Werte annehmen. Die ganzzahlige (lineare) Optimierung (engl.: integer (linear) programming) beschäftigt sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer Menge, die durch lineare Gleichungen und Ungleichungen eingeschränkt ist. Dürfen alle Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen, so spricht man von (rein-)ganzzahliger Optimierung (engl.: integer programming); treten sowohl ganzzahlige als auch kontinuierliche Variablen auf, so spricht man von gemischt-ganzzahliger Optimierung (engl.: mixed integer programming). Das (rein-)ganzzahlige (lineare) Optimierungsproblem lautet in seiner allgemeinen Form
$P_0: \quad \max c^{\top} x$ s.t. $A x \leq b, \quad x \in \mathbb{Z}^n$
mit $c \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^m$ und der (m,n)-Matrix $A$. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nimmt man oft $x_i \in \mathbb{N}_0$ oder $x_i \in{0,1}$ für $i=1, \ldots, n$ an.
Da die zulässige Menge eine endliche oder abzählbar unendliche diskrete Struktur besitzt, spricht man auch von kombinatorischen Optimierungsproblemen. Wir gehen im Folgenden zusätzlich davon aus, dass sich der zulässige Bereich als eine nichtleere und endliche Menge von Punkten darstellen lässt. Hierdurch ist die Existenz mindestens eines optimalen Punktes gesichert.
Die folgenden Beispiele verdeutlichen die praktische Bedeutung der ganzzahligen Optimierung in vielen Anwendungsgebieten. Danach werden wir sehen, dass ganzzahlige Variablen als Hilfsmittel zur Modellierung logischer Verknüpfungen und Mengenheriehungen herangezngen werden können. 7war hefinden sich hei der ganzzahligen Optimierung alle zulässigen Punkte – genau wie bei der linearen Optimierung – innerhalb eines konvexen Polyeders, jedoch lässt sich die zulässige Menge nicht als Schnitt endlich vieler Halbräume beschreiben.
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Mengenbeziehungen
Eng mit der Modellierung logischer Zusammenhänge geht die Modellierung von Mengenbeziehungen einher. Hierzu sei $y \in{0,1}$ eine Indikatorvariable, die angibt, ob eine bestimmte Aussage wahr ist. Beispielsweise kann $y$ anzeigen, ob in einer bestimmten Periode produziert wird oder nicht. In der Praxis sind Ja/NeinEntscheidungen oft mit mengenbezogenen Konsequenzen verbunden: Wird in einer bestimmten Periode produziert, so möchte man als nächstes natürlich wissen, wie viel produziert wird. Hierzu führt man nun eine Mengenvariable $x$ ein. Der Wertebereich von $x$ ist von der Problemstellung abhängig. Häufig verwendet wird $x \geq 0$ (z.B. für das Produktionsvolumen einer Flüssigkeit) oder $x \in \mathbb{N}_0$ (z.B. für die Herstellung von Fertigeinheiten).
Stehen $x$ und $y$ in logischem Zusammenhang, so wäre es nicht sinnvoll, wenn $y=0$ und $x>0$ gleichzeitig gelten würde. Aus diesem Grund muss für $y=0$ stets $x=0$ sein. Die Nebenbedingung $x \leq y$ würde dies zusichern. Allerdings würde hieraus folgen, dass $x$ sich nur in Intervall $[0,1]$ aufhalten kann, da $y \in$ ${0,1}$ ist. Um $x$ für den Fall $y=1$ beliebige Werte zukommen zu lassen, führt man deshalb eine hinreichend große Zahl $M$ (engl.: Big $M$ ) ein und erweitert die Nebenbedingung zu $x \leq M y$. Nun ist weiterhin $x=0$, wenn $y=0$ ist, und zusätzlich kann $x \in[0, M]$ sein, wenn $y=1$ ist. In Anwendungen sollte $M$ so groß wie nötig und so klein wie möglich gewählt werden: $M$ stellt also eine obere Schranke für $x$ dar. Im Produktionsbeispiel wäre die kleinste obere Schranke die maximale Produktionsmenge.
Eine alternative Modellierungsmöglichkeit, die auf die Einführung von $M$ verzichtet, ist die Gleichung $(1-y) \cdot x=0$. Im Rahmen der ganzzahligen linearen Optimierung ist hier der wesentliche Nachteil, dass die Kopplung von $x$ und $y$ nichtlinear ist.
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在第 1 章和第 2 章中，我们处理了线性优化背景下的问题，其中决策变量可以假设任何实际值，只要它们 满足所有约束条件。然而，在许多实际问题中，要求变量只接受整数、自然值或二进制值。整数（线性) 规划处理受线性方程和不等式约束的集合上的线性目标函数的优化。如果所有变量只允许接受整数值，这 称为 (纯) 整数编程; 如果整数和连续变量都出现，则称为混合整数优化。混合整数规划)。（纯）整数 (线性) 优化问题的一般形式
$P_0: \quad \max c^{\top} x$ 英石 $A x \leq b, \quad x \in \mathbb{Z}^n$
和 $c \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^m$ 和 $(m, n)$ 矩阵 $A$. 不失一般性，通常取 $x_i \in \mathbb{N}_0$ 或者 $x_i \in 0,1$ 为了 $i=1, \ldots, n$ 一个。
由于可容许集具有有限或可数无限离散结构，因此也有人谈到组合优化问题。在下文中，我们还假设允许 范围可以表示为非空的有限点集。这确保了至少一个最佳点的存在。
以下示例说明了整数优化在许多应用领域中的实际重要性。之后，我们将看到整数变量可以用作建模逻辑 运算和设置增量的工具。在整数优化的情况下，所有允许的点都在凸多面体中，就像在线性优化中一样。 但是，允许集不能苗述为有限多个半空间的交集。
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数量关系的建模与逻辑关系的建模密切相关。为此 $y \in 0,1$ 指示给定语句是否为真的指示变量。例如，可以 $y$ 指示生产是否在某个时期进行。在实践中，是/否决定通常与与数量相关的后果相关联: 如果生产发生在 某个时期，那么您自然想知道的下一件事就是生产了多少。为此，我们现在引入一个数量变量 $x$ 一。取值 范围 $x$ 取决于问题。常用 $x \geq 0$ (例如，用于液体的生产量) 或 $x \in \mathbb{N}_0$ (例如，用于生产成品)。
站立 $x$ 和 $y$ 在逻辑上下文中，如果 $y=0$ 和 $x>0$ 将同时适用。为此必须为 $y=0$ 总是 $x=0$ 是。约束 $x \leq y$ 会保证这一点。然而，这将遵循 $x$ 只在区间 $[0,1]$ 可以停在那里 $y \in 0,1$ 是。大约 $x$ 在这种情况下 $y=1$ 分配 任何值，因此有一个足够大的数字 $M$ (英文: 大 $M$ ) 并将约束扩展到 $x \leq M y$. 现在是继续 $x=0$ ，如果 $y=0$ 是，而且还可以 $x \in[0, M]$ 如果 $y=1$ 是。在应用程序应该 $M$ 尽可能大和尽可能小: $M$ 因此代表一 个上限 $x$ 在生产示例中，最小上限将是最大生产数量。
基于引入的替代建模可能性 $M$ 省略了等式 $(1-y) \cdot x=0$. 在整数线性优化的上下文中，这里的主要缺点 是耦合 $x$ 和 $y$ 是非线性的。
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