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统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Stochastische Zeitplanung
Zum Abschluss dieses Abschnitts sollen noch kurz stochastische Ereignisknotennetzpläne betrachtet werden, da sich die exakten Vorgangsdauern der einzelnen Vorgänge oftmals nur schwer vorhersagen lassen.
Die Methōde PERT berrücksichtigt diese Unsicherheit über die Dauer $d_i$ des Vorgangs $i$ durch
- $m_i$ : Schätzung der wahrscheinlichsten Dauer des Vorgangs,
- $a_i$ : eine optimistische Schätzung der Dauer,
- $b_i$ : eine pessimistische Schätzung der Dauer.
Hierzu interpretiert PERT die Dauer $d_i$ als Realisation einer Zufallsvariablen $D_i$ und passt die zugehörige Verteilung an die Parameter $m_i, a_i$ und $b_i$ an. Im Falle einer Dreiecksverteilung wählt man $a_i$ als den kleinsten, $b_i$ als den größten und $m_i$ als den häufigsten Wert (Modus).
Für die mittlere Vorgangsdauer $\mu_i:=E\left(D_i\right)$ ergibt sich dann die einfache Be ziehung
$$
\mu_i=\frac{a_i+m_i+b_i}{3}
$$
und damit $\mu_i$ als arithmetisches Mittel der drei Schätzwerte. Für die Varianz $\sigma_i^2:=$ $\operatorname{Var}\left(D_i\right)$ gilt
$$
\sigma_i^2=\frac{\left(a_i-b_i\right)^2-\left(m_i-a_i\right)\left(b_i-m_i\right)}{18} .
$$
In der Regel geht PERT jedoch nicht von einer Dreiecksverteilung, sondern einer Beta-Verteilung aus mit $a_i$ als kleinstem und $b_i$ als größtem Wert. Die beiden noch fehlenden Formparameter $\alpha_i$ und $\beta_i$ ergeben sich aus der Beziehung
$$
m_i=\frac{a_i\left(\beta_i-1\right)+b_i\left(\alpha_i-1\right)}{\alpha_i+\beta_i-2}
$$ und einer zusätzlichen Annahme über die Varianz von Di
.
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Kostenplanung
Neben den bisherigen zeitlichen Überlegungen lassen sich im Rahmen der Netzplantechnik auch Kostenaspekte in der Kostenplanung berücksichtigen. Diese erläutern wir nur für Vorgangspfeilnetzpläne. Für Vorgangsknotennetzpläne ist eine analoge Vorgehensweise möglich. Hierzu unterscheidet man zwei Kostenarten.
Vorgangskosten setzen sich vornehmlich aus den variablen Kosten zusammen, die für die Ausführung der Vorgänge benötigt werden und ergeben sich als Summe der Kosten für jeden Vorgang. Die Kosten für einen Vorgang wiederum sind vorgangsdauerabhängig: Im Gegensatz zur bisherigen Betrachtung wird für einen Vorgang $(i, j)$ nicht eine konstante Vorgangsdauer $d_{i j}$, sondern eine in gewissen Grenzen variable Vorgangsdauer angenommen, d.h $l_{i j} \leq d_{i j} \leq u_{i j}$. Typischerweise gehen mit fallender Vorgangsdauer (z.B. durch zusätzlichen Ressourceneinsatz wie Überstunden, leistungsfähigere Anlagen) höhere Bearbeitungskosten einher, wie folgende Abbildung zeigt.
Die Steigung $b_{i j}$ der Kostenfunktion nennt man Beschleunigungskosten von Vorgang $(i, j)$, da sie angibt, welche zusätzlichen Kosten bei Verringerung (also
Beschleunigung) der Vorgangsdauer um eine Zeiteinheit entstehen. Die Kosten für einen Vorgang $(i, j)$ werden mit dem Ordinatenabschnitt $a_{i j}>0$ somit linear zu
$$
F_{V_{i j}}=a_{i j}-b_{i j} d_{i j}
$$
mit $l_{i j} \leq d_{i j} \leq u_{i j}$ modelliert. Die Vorgangskosten ergeben sich dann insgesamt zu
$$
F_V=\sum_{(i, j) \in E} F_{V_{i j}}=\sum_{(i, j) \in E}\left(a_{i j}-b_{i j} d_{i j}\right) .
$$
Projektkosten sind alle Kosten, die im Projektablauf unabhängig von den Vorgängen anfallen. Hierzu zählen z.B. projektdauerunabhängige Fixkosten oder projektdauerabhängige Opportunitätskosten, Mietkosten und Konventionalstrafen. Je schneller das Projekt beendet ist, desto niedriger sind diese Kosten. Aus diesem Grund werden die Projektkosten häufig als affine Funktion mit Fixkostenanteil $f$ und zusätzlichen Kosten $g$ je Zeiteinheit in Abhängigkeit von der Projektdauer $D$ zu
$$
F_P=f+g D
$$
modelliert.
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Stochastische Zeitplanung
在本节的最后，应简要考虑随机事件节点网络计划，因为单个过程的确切过程持续时间通常难以预测。
PERT 方法会随着时间的推移考虑这种不确定性 $d_i$ 过程的 $i$ 通过
- $m_i$ ：估计最可能的操作持续时间，
- $a_i$ : 对持续时间的乐观估计，
- $b_i$ ：对持续时间的悲观估计。
为此，PERT 解释持续时间 $d_i$ 作为随机变量的实现 $D_i$ 并将相关分布拟合到参数 $m_i, a_i$ 和 $b_i$ 上。在三角分 布的情况下，选择 $a_i$ 作为最小的 $b_i$ 作为最大和 $m_i$ 作为最常见的值 (模式)。
对于平均任务持续时间 $\mu_i:=E\left(D_i\right)$ 简单的关系然后结果
$$
\mu_i=\frac{a_i+m_i+b_i}{3}
$$
因此 $\mu_i$ 作为三个估计值的算术平均值。对于方差 $\sigma_i^2:=\operatorname{Var}\left(D_i\right)$ 适用
$$
\sigma_i^2=\frac{\left(a_i-b_i\right)^2-\left(m_i-a_i\right)\left(b_i-m_i\right)}{18} .
$$
然而，作为一项规则，PERT 不假设一个三角形分布，而是一个 beta 分布 $a_i$ 作为最小和 $b_i$ 作为最大的价 值。两个缺失的形状参数 $\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 从关系中产生
$$
m_i=\frac{a_i\left(\beta_i-1\right)+b_i\left(\alpha_i-1\right)}{\alpha_i+\beta_i-2}
$$
以及关于 Di 方差的附加假设
统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Kostenplanung
除了先前的时间考虑之外，在网络规划技术的框架内的成本规划中也可以考虑成本方面。我们仅对流程箭 头网络计划进行解释。对于活动节点网络，类似的过程是可能的。区分两种类型的成本。
流程成本主要由执行流程所需的可变成本组成，并且是每个流程成本的总和。一个过程的成本又取决于过 程持续时间：与之前的考虑相比，对于一个过程 $(i, j)$ 不是恒定的任务持续时间 $d_{i j}$ ，但假定过程持续时间 在一定范围内可变，即 $l_{i j} \leq d_{i j} \leq u_{i j}$. 通常，随着流程持续时间的缩短（例如，由于使用了额外的资源， 例如加班、更高效的系统)，会产生更高的处理成本，如下图所示。
斜坡 $b_{i j}$ 成本函数的值称为过程的加速成本 $(i, j)$ ，因为它表示减少的额外成本 (即
加速) 过程持续时间一个时间单位。一次手术的费用 $(i, j)$ 与纵坐标截距变为 $a_{i j}>0$ 因此线性到
$$
F_{V_{i j}}=a_{i j}-b_{i j} d_{i j}
$$
和 $l_{i j} \leq d_{i j} \leq u_{i j}$ 建模。然后计算总交易成本
$$
F_V=\sum_{(i, j) \in E} F_{V_{i j}}=\sum_{(i, j) \in E}\left(a_{i j}-b_{i j} d_{i j}\right) .
$$
项目成本是在项目过程中发生的所有成本，与活动无关。例如，这些包括与项目工期无关的固定成本或与 项目工期有关的机会成本、租金成本和合同罚款。项目完成得越快，这些成本就越低。因此，项目成本通 常用作具有固定成本成分的仿射函数 $f$ 和额外费用 $g$ 每个时间单位取决于项目持续时间 $D$ 至
$$
F_P=f+g D
$$
建模。
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