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统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Alternative Nebenbedingungen

Die zulässige Menge eines linearen Problems ist durch eine Menge von Nebenbedingungen definiert, die alle gleichzeitig erfüllt sein müssen. In einigen Fällen wird jedoch eine Modellierung eines „Entweder-Oder”-Zusammenhangs gefordert: Ein zulässiger Punkt soll dann genau eine von zwei alternativen Nebenbedingungen erfüllen. Abbildung $5.7$ zeigt z.B. eine zulässige Menge, die aus allen Punkten besteht, die entweder $x_2 \leq x_1$ oder $x_2 \geq x_1+1$ erfüllen.

Um dennoch eine Optimierung auf dieser nicht-konvexen zulässigen Menge durchzuführen, können wir eine binäre Indikatorvaribale $y$ einführen, die formal eine Fallunterscheidung vollzieht:

$$
y= \begin{cases}1, & \text { wenn } x_2 \leq x_1 \ 0, & \text { sonst. }\end{cases}
$$
Durch Einführung einer hinreichend großen Zahl $M$ ist man dann in der Lage, die zulässige Menge durch zwei gleichzeitig geltende Nebenbedingungen zu formulieren. Der Trick besteht darin, diejenige der beiden ursprünglichen Nebenbedingungen, die in einem zulässigen Punkt nicht erfüllt war, durch einen von $M$ und $y$ abhängigen Term zu einer erfüllten Nebenbedingung zu machen; $x_2 \geq x_1+1$ wird in $M y+x_2 \geq x_1+1$ umgewandelt, und $x_2 \leq x_1$ wird in $-M(1-y)+x_2 \leq x_1$ umgewandelt. Es sei angemerkt, dass auf diese Weise ein lineares Problem in ein gemischt-ganzzahliges Problem transformiert wird.

统计代写|运筹学作业代写operational research代考|Rechenaufwand von Algorithmen

Der Rechenanfwand eines Algorithmus wird anhand der elementaren Rechenschritte, die im Algorithmus auszuführen sind, bestimmt. Beispiele für elementare Rechenschritte sind die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), Vergleiche und Sprünge oder elementare Speicheroperationen. Einem elementaren Rechenschritt kommt somit bei der Berechnung der Zeitkomplexität die Rolle einer Zeiteinheit zu.

Die Anzahl der Rechenschritte hängt von der Probleminstanz und insbesondere von der Größe der zu lösenden Instanz ab. Beispielsweise lässt sich ein Traveling Salesman Problem durch die Anzahl der Städte beschreiben, ein Rucksackproblem durch die Anzahl der Gegenstände. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Problemgröße nur durch einen Parameter $n$ beschrieben wird. In manchen Fällen macht man die Problemgröße auch von den Eingabedaten insgesamt abhängig. Hiermit wird eine Betrachtung des schlechtesten Falls möglich.

Zur weiteren Beschreibung der Komplexität eines Algorithmus benötigt man einige Definitionen: Der Rechenaufwand oder die Zeitkomplexität $T_A(n)$ eines Algorithmus $A$ zur Lösung eines Problems ist die maximale Anzahl elementarer Rechenschritte, die $A$ zur Bearbeitung einer beliebigen Probleminstanz der Größe von höchstens $n$ benötigt. Sei $g(n): \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}{+}$. Ein Algorithmus $A$ hat die Komplexität oder die (Größen-) Ordnung $O\left(g(n)\right.$ ), wenn zwei Konstanten $c, n_0 \in \mathbb{R}{+}$existieren, so dass für $n \geq n_0$ die Ungleichung $T_A(n) \leq c \cdot g(n)$ erfüllt ist (s. Abb. 5.8). Einen Algorithmus $A$ nennt man polynomial oder effizient, wenn $T_A(n) \in O(g(n))$ und $g(n)$ ein Polynom ist, ansonsten nennt man $A$ exponentiell.

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统计代写|运筹学作业代写operational research代考|其他限制因素

线性问题的可行集由一组约束定义,所有这些约束必须同时满足。然而,在某些情况下,需要对“非此即彼” 关系进行建模: 一个允许的点应该恰好满足两个替代约束之一。揷图5.7例如显示一个可行集,包括所有点 $x_2 \leq x_1$ 或者 $x_2 \geq x_1+1$ 实现。
然而,为了对这个非凸可行集进行优化,我们可以使用二元指示变量 $y$ 引入,正式区分大小写:
$y=\left{1, \quad\right.$ wenn $x_2 \leq x_1 0, \quad$ sonst.
通过引入足够大的数 M然后,一个人可以通过同时适用的两个次要条件来制定允许数量。诀空是将可行点 中不满足的两个原始约束之一替换为 $M$ 和 $y$ 使从属项成为满足的约束; $x_2 \geq x_1+1$ 在
$M y+x_2 \geq x_1+1$ 转换,并且 $x_2 \leq x_1$ 在 $-M(1-y)+x_2 \leq x_1$ 转变。需要注意的是,这样一来,线 性问题就变成了混合整数问题。

统计代写|运筹学作业代写operational research代考|算法的计算工作量

算法的计算工作量由算法中要执行的基本计算步骤决定。基本计算步㝡的示例是基本算术运算 (加法、减 法、乘法、除法) 、比较和跳转或基本存储操作。在计算时间复杂度时,一个基本的计算步骤具有时间单 位的作用。
计算步乑的数量取决于问题实例,特别是要解决的实例的大小。例如,旅行商问题可以用城市数量来描 述,背包问题可以用物体数量来描述。为简单起见,我们假设问题大小仅由一个参数定义 $n$ 被描述。在某些 情况下,问题的大小也取决于整个输入数据。这使得可以考虑最坏的情况。
为了进一步描述算法的复杂性,需要一些定义:计算量或时间复杂度 $T_A(n)$ 一种算法 $A$ 解决问题的基本计 算步骤的最大数量 $A$ 最多处理任何大小的问题实例 $n$ 需要。是 $g(n): \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}+$. 一种算法 $A$ 具有复杂性或 (数量级) 顺序 $O(g(n))$ 如果有两个常数 $c, n_0 \in \mathbb{R}$ +存在,所以对于 $n \geq n_0$ 不平等 $T_A(n) \leq c \cdot g(n)$ 满 足 (见图 5.8) 。一种算法 $A$ 称为多项式或有效的,如果 $T_A(n) \in O(g(n))$ 和 $g(n)$ 是多项式,否则称为 $A$ 成倍增长。

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