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统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|DETERMINING THE LAG ORDER OF A VECTOR AUTOREGRESSION

13.8 To enable the VAR to become operational the lag order $p$, which will typically be unknown, needs to be determined empirically. A traditional way of selecting the lag order is to use a sequential testing procedure. Consider the model (13.3) with error covariance matrix $\Omega_p=E\left(\mathbf{u}t \mathbf{u}_t^{\prime}\right)$, where a $p$ subscript is included to emphasize that the matrix is related to a $\operatorname{VAR}(p)$. An estimate of this matrix is given by: $$ \hat{\boldsymbol{\Omega}}_p=(T-p)^{-1} \hat{\mathbf{U}}_p \hat{\mathbf{U}}_p^{\prime} $$ where $\hat{\mathbf{U}}_p=\left(\hat{\mathbf{u}}{p, 1}^{\prime}, \ldots, \hat{\mathbf{u}}{p, n}^{\prime}\right)^{\prime}$ is the matrix of residuals obtained by OLS estimation of the $\operatorname{VAR}(p), \hat{\mathbf{u}}{p, r}=\left(\hat{u}{r, p+1}, \ldots, \hat{u}{r, T}\right)^{\prime}$ being the residual vector from the $r$ th equation (noting that with a sample of size $T, p$ observations will be lost through lagging). A likelihood ratio (LR) statistic for testing the order $p$ against the order $m, m<p$, is
$$
L R(p, m)=(T-n p) \log \left(\frac{\left|\hat{\boldsymbol{\Omega}}m\right|}{\left|\hat{\boldsymbol{\Omega}}_p\right|}\right) \sim \chi{n^2(p-m)}^2
$$
Thus, if $L R(p, m)$ exceeds the $\alpha$ critical value of the $\chi^2$ distribution with $n^2(p-m)$ degrees of freedom, then the hypothesis that the VAR order is $m$ is rejected at the $\alpha$ level of significance in favor of the higher order $p$. The statistic uses the scaling factor $T-n p$ rather than $T-p$ to account for possible small sample bias.

The statistic (13.4) may then be used sequentially beginning with a maximum value of $p, p_{\max }$ say, testing first $p_{\max }$ against $p_{\max }-1$ using $L R\left(p_{\max }, p_{\max }-1\right)$ and, if this statistic is not significant, then testing $p_{\max }-1$ against $p_{\max }-2$ using $L R\left(p_{\max }-1, p_{\max }-2\right)$, continuing until a significant test is obtained.

Alternatively, some type of information criterion can be minimized. These are essentially multivariate extensions of those initially introduced in §3.35: for example, the multivariate AIC and BIC criteria are defined as:
$\operatorname{MAIC}(p)=\log \left|\hat{\boldsymbol{\Omega}}p\right|+\left(2+n^2 p\right) T^{-1}$ $\operatorname{MBIC}(p)=\log \left|\hat{\Omega}_p\right|+n^2 p T^{-1} \ln T \quad p=0,1, \ldots, p{\max }$

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|VARIANCE DECOMPOSITIONS AND INNOVATION ACCOUNTING

13.10 While the estimated coefficients of a VAR(1) are relatively easy to interpret, this quickly hecomes problematic for higher order VARs hecause not only do the number of coefficients increase rapidly (each additional lag introduces a further $n^2$ coefficients), but many of these coefficients will be imprecisely estimated and highly intercorrelated, so becoming statistically insignificant. This can be seen in the estimated VAR(2) of Example 13.1, where only $\hat{a}{22,2}$ in $\hat{\mathbf{A}}_2$ is significant. 13.11 This has led to the development of several techniques for examining the “information content” of a VAR that are based on the vector moving average representation (VMA) of $\mathbf{y}_t$. Suppose that the VAR is written in lag operator form as $$ \mathbf{A}(B) \mathbf{y}_t=\mathbf{u}_t $$ where, as in $\S$ 13.4, $$ \mathbf{A}(B)=\mathbf{I}_n-\mathbf{A}_1 B-\cdots-\mathbf{A}_p B^p $$ is a matrix polynomial in $B$. Analogous to the univariate case (recall $\S \S \mathbf{3 . 8}-\mathbf{3 . 9}$ ), the (infinite order) VMA representation is $$ \mathbf{y}_t=\mathbf{A}^{-1}(B) \mathbf{u}_t=\boldsymbol{\Psi}(B) \mathbf{u}_t=\mathbf{u}_t+\sum{i=1}^{\infty} \Psi_i \mathbf{u}{t-i} $$ where $$ \boldsymbol{\Psi}_i=\sum{j=1}^i \mathbf{A}j \boldsymbol{\Psi}{i-j} \quad \boldsymbol{\Psi}_0=\mathbf{I}_n \quad \boldsymbol{\Psi}_i=\mathbf{0} \quad i<0
$$
this recursion being obtained by equating coefficients of $B$ in $\Psi(B) \mathbf{A}(B)=\mathbf{I}_n$.

统计代写|时间序列分析代写Time-Series Analysis代考|STAT510

统计代写|时间序列分析代写时间序列分析代考|确定向量自回归的滞后顺序


13.8为了使VAR成为可操作的延迟订单 $p$,这通常是未知的,需要通过经验来确定。选择滞后顺序的传统方法是使用顺序测试程序。考虑具有误差协方差矩阵的模型(13.3) $\Omega_p=E\left(\mathbf{u}t \mathbf{u}_t^{\prime}\right)$,其中 $p$ 加上下标是为了强调矩阵与a有关 $\operatorname{VAR}(p)$。这个矩阵的估计值由: $$ \hat{\boldsymbol{\Omega}}_p=(T-p)^{-1} \hat{\mathbf{U}}_p \hat{\mathbf{U}}_p^{\prime} $$ 哪里 $\hat{\mathbf{U}}_p=\left(\hat{\mathbf{u}}{p, 1}^{\prime}, \ldots, \hat{\mathbf{u}}{p, n}^{\prime}\right)^{\prime}$ 的OLS估计得到的残差矩阵为 $\operatorname{VAR}(p), \hat{\mathbf{u}}{p, r}=\left(\hat{u}{r, p+1}, \ldots, \hat{u}{r, T}\right)^{\prime}$ 是残差向量 $r$ Th方程(注意在样本大小 $T, p$ 观测结果将因滞后而丢失)。用于检验顺序的似然比(LR)统计量 $p$ 违反命令 $m, m<p$,为
$$
L R(p, m)=(T-n p) \log \left(\frac{\left|\hat{\boldsymbol{\Omega}}m\right|}{\left|\hat{\boldsymbol{\Omega}}_p\right|}\right) \sim \chi{n^2(p-m)}^2
$$
因此,如果 $L R(p, m)$ 超过 $\alpha$ 的临界值 $\chi^2$ 与 $n^2(p-m)$ 自由度,那么VAR阶数的假设是 $m$ 被拒绝 $\alpha$ 有利于高阶的重要程度 $p$。统计数据使用了比例因子 $T-n p$ 而不是 $T-p$ 解释可能的小样本偏差。

统计数据(13.4)可以从最大值$p, p_{\max }$开始依次使用,例如,首先使用$L R\left(p_{\max }, p_{\max }-1\right)$对$p_{\max }-1$测试$p_{\max }$,如果这个统计数据不显著,然后使用$L R\left(p_{\max }-1, p_{\max }-2\right)$对$p_{\max }-2$测试$p_{\max }-1$,一直持续到得到显著的测试。


或者,某些类型的信息条件可以最小化。这些实质上是§3.35中最初介绍的多元扩展:例如,多元AIC和BIC标准被定义为:
$\operatorname{MAIC}(p)=\log \left|\hat{\boldsymbol{\Omega}}p\right|+\left(2+n^2 p\right) T^{-1}$$\operatorname{MBIC}(p)=\log \left|\hat{\Omega}_p\right|+n^2 p T^{-1} \ln T \quad p=0,1, \ldots, p{\max }$

统计代写|时间序列分析代写时间序列分析代考|方差分解和创新会计


虽然VAR(1)的估计系数相对容易解释,但对于高阶VAR,这很快就会出现问题,因为不仅系数的数量迅速增加(每一个额外的滞后引入一个进一步的$n^2$系数),而且这些系数中的许多将被不精确地估计和高度相关,因此在统计上变得不重要。这可以从例13.1的估计VAR(2)中看出,其中$\hat{\mathbf{A}}_2$中只有$\hat{a}{22,2}$是显著的。13.11这导致了基于$\mathbf{y}_t$的矢量移动平均表示(VMA)来检查VAR的“信息内容”的几种技术的发展。假设VAR以滞后算符形式写成$$ \mathbf{A}(B) \mathbf{y}_t=\mathbf{u}_t $$,其中如$\S$ 13.4所示,$$ \mathbf{A}(B)=\mathbf{I}_n-\mathbf{A}_1 B-\cdots-\mathbf{A}_p B^p $$是$B$中的一个矩阵多项式。类似于单变量情况(回想一下$\S \S \mathbf{3 . 8}-\mathbf{3 . 9}$),(无限阶)VMA表示为$$ \mathbf{y}_t=\mathbf{A}^{-1}(B) \mathbf{u}_t=\boldsymbol{\Psi}(B) \mathbf{u}_t=\mathbf{u}_t+\sum{i=1}^{\infty} \Psi_i \mathbf{u}{t-i} $$,其中$$ \boldsymbol{\Psi}_i=\sum{j=1}^i \mathbf{A}j \boldsymbol{\Psi}{i-j} \quad \boldsymbol{\Psi}_0=\mathbf{I}_n \quad \boldsymbol{\Psi}_i=\mathbf{0} \quad i<0
$$
这个递归是通过将$\Psi(B) \mathbf{A}(B)=\mathbf{I}_n$中$B$的系数相等得到的

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