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经济代写|微观经济学代写Microeconomics代考|Survival Again and Subsistence
The three possible assumptions that surmount the zero-income problem do not avoid the survival problem: they ensure that the income of each consumer will not be zero, but not that it will be sufficient for survival.
On the other hand, the assumption that each consumer has an endowment sufficient for survival does not suffice to avoid discontinuities, because another form of the zero-income problem, again a discontinuity of demand when a price becomes zero, can arise.
Consider a consumer with strongly monotonic preferences, who has an endowment of two units of good 1 and one unit of good 2 and needs one unit of both goods for survival. Figure $6.7$ shows the consumption set defined as excluding non-survival baskets and the endowment $\omega=(2,1)$ of the representative consumer. At any positive $p_1 / p_2$ the consumer demands possibly less but never more than two units of good 1 because that would mean to consume less than one unit of good 2; when $\mathrm{p}_1=0$ she jumps to demanding an infinite amount of good 1.
Note that monotonic preferences are not sufficient to avoid this problem, unless there are consumers who have an income in excess of what they need for survival and therefore can have a demand for good 1 in excess of their subsistence needs when $\mathrm{p}_1$ approaches zero.
So some assumption ensuring no discontinuity at a zero price is needed in addition to something guaranteeing survival. There is no possibility here to illustrate the details of the literature on this issue (see Bryant 2010, Chap. 2), but it seems possible to say that, apart from a blunt assumption that each consumer’s income is always above what is needed to purchase a survival level of consumption but without indication of what is required to ensure this, the two assumptions which surmount this more general minimum-income problem are as follows:
Interiority Beyond Survival $\quad\left(\mathrm{B}^{\prime}\right)$ Each consumer has an endowment where all goods are in excess of survival needs ${ }^{10}$; this guarantees that the consumer, after setting aside enough of her endowment to ensure survival, remains with a strictly positive residual endowment of all goods and is therefore in the same condition relative to market interactions as she would be under condition B if she had zero survival necds;
经济代写|微观经济学代写Microeconomics代考|Existence of General Equilibrium of Exchange
We have already seen ( Sect. 4.7) that in the case of only two commodities at least one equilibrium certainly exists if:
- $\mathbf{z}(\mathbf{p})$ is a continuous function on the interior of the price simplex $\mathrm{S}^{\mathrm{n}-1}:=\left{\mathbf{p} \in \mathrm{R}^{\mathrm{n}}{ }{+}: \Sigma{\mathrm{i}} \mathrm{p}_{\mathrm{i}}=1\right}$
- some $z_i(\mathbf{p}) \rightarrow+\infty$ when some $p_j \rightarrow 0$, where it can be but it need not be $i=j$.
The proof that an equilibrium exists for a higher (but finite) number of commodities can be obtained, but the less restrictive the assumptions, the longer the proof and the more complex the mathematical tools. To go over the several possible proofs at different degrees of generality and with different methods would take an entire book. I present one very simple proof under restrictive assumptions and a less simple one to get a feeling of the kind of proof methods used in this area.
In all existence proofs it is assumed that of all goods of which a price is quoted there is a positive aggregate endowment. ${ }^{13}$
经济代写|微观经济学代写微观经济学代考|再次生存和自给
超越零收入问题的三个可能假设并没有避免生存问题:它们确保每个消费者的收入不会为零，但并不足以生存
另一方面，假设每个消费者都有足以生存的禀赋，并不足以避免不连续，因为零收入问题的另一种形式，也就是当价格变为零时需求的不连续会出现
考虑一个具有强烈单调偏好的消费者，他的禀赋是两单位商品1和一单位商品2，为了生存，他需要这两种商品各一单位。图$6.7$显示了定义为不包括非生存篮和代表性消费者的禀赋$\omega=(2,1)$的消费集。在任意正值$p_1 / p_2$时，消费者需求可能更少但永远不会超过2单位商品1因为这意味着消费少于1单位商品2;当$\mathrm{p}_1=0$她跳到要求无限数量的好1。
请注意，单调的偏好并不足以避免这个问题，除非有消费者的收入超过了他们的生存需要，因此当$\mathrm{p}_1$趋于0时，他们对商品1的需求会超过他们的生存需要
所以除了保证生存之外，还需要一些假设来确保在零价格时没有不连续。这里不可能说明关于这个问题的文献的细节(参见Bryant 2010，第2章)，但似乎可以这样说，除了一个简单的假设，即每个消费者的收入总是高于购买生存消费水平所需的收入，但没有说明需要什么来确保这一点之外，克服这个更普遍的最低收入问题的两个假设如下:生存之外的内在性$\quad\left(\mathrm{B}^{\prime}\right)$每个消费者都有一种禀赋，即所有商品都超过生存需要${ }^{10}$;这保证了消费者在留出足够的禀赋以确保生存之后，所有商品的剩余禀赋仍然是严格为正的，因此相对于市场互动，她处于与条件B相同的条件下，如果她的生存需求为零;
经济代写|微观经济学代写微观经济学代考|交换一般均衡的存在
我们已经看到(第4.7节)，在只有两种商品的情况下，如果:
- $\mathbf{z}(\mathbf{p})$是价格单纯形内部的一个连续函数$\mathrm{S}^{\mathrm{n}-1}:=\left{\mathbf{p} \in \mathrm{R}^{\mathrm{n}}{ }{+}: \Sigma{\mathrm{i}} \mathrm{p}_{\mathrm{i}}=1\right}$
- some $z_i(\mathbf{p}) \rightarrow+\infty$当some $p_j \rightarrow 0$，它可以是，但不一定是$i=j$
可以得到对较高(但有限)数量的商品存在均衡的证明，但假设的限制性越小，证明就越长，数学工具就越复杂。要用不同程度的普遍性和不同的方法来复习这几种可能的证明，就要花上整整一本书。我在限制性假设下提出了一个非常简单的证明和一个不那么简单的证明，以了解在这个领域中使用的证明方法。在所有的存在证明中，都假设所有报价的商品的总禀赋都是正的。${ }^{13}$
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