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经济代写|微观经济学代写Microeconomics代考|The Non-uniqueness of Equilibrium
An equilibrium is composed of two ‘things’, an equilibrium allocation and an equilibrium relative prices vector. $\Lambda \mathrm{n}$ equilibrium is unique if both the equilib rium alluation and the equilibsium eclative prives valus ane miyuc. (Beluw I take it for granted that a numéraire has been chosen, so ‘different price vectors’ means non-proportional price vectors.) A unique equilibrium allocation may be supported by more than one relative prices vector, when indifference curves or isoquants have ‘kinks’ at the equilibrium allocation, such that-within limitsvariations of relative prices or of relative factor rentals do not induce changes in the agents’ decisions. But the more relevant cases are those of multiple equilibria differing in the equilibrium allocation.
Uniqueness of equilibrium requires restrictive assumptions, without which it is easy to produce examples with multiple equilibria. For example it is not difficult to draw an Edgeworth box with three equilibria, that is, three points other than the endowment point where the two choice curves cross, owing to the possible horseshoe-like shape of choice curves. The reader can try as an exercise to confirm, by drawing opportune maps of indifference curves that the choice curves can indeed have the shapes assumed in $\boldsymbol{-}$ Fig. 6.10.
In $\bullet$ Fig. $6.10$ the three slopes of the budget line that cause it to go through a point where the choice curves cross indicate the three equilibrium relative prices.
It is also possible that the two choice curves be tangent to each other, in the endowment point or elsewhere, cf. $\boldsymbol{F i g}$. 6.11; or that the two choice curves overlap over an entire stretch (cf. – Fig. 6.15), in which case there is a continuum of equilibria differing in relative price and in allocation-but these two cases are flukes that disappear with any small change in tastes or endowments.
The figures show that in a two-goods economy, if the choice curves cross each other three times, the equilibria are alternatively locally stable or unstable We can be content here with a simple intuitive description of the price adjustment process: a price tends to rise if a good is in excess demand, to decrease if in excess supply.
经济代写|微观经济学代写Microeconomics代考|Uniqueness Through Conditions on Excess Demand
The Sonnenschein-Mantel-Debreu result has caused great discomfort among the followers of the supply-and-demand approach, because of the indeterminateness it shows to be possible in the results of the equilibration process. But the damage would be considerably reduced if assumptions could be found, capable of avoiding multiple equilibria, and such that one could argue that they are nearly always satisfied in actual economies. I proceed to list the main assumptions so far discovered that ensure (i.e. are sufficient for) uniqueness and then to assess their plausibility.
Two types of assumptions have been explored in this respect: assumptions on $\mathbf{z}(\mathbf{p})$; and assumptions on the distribution of characteristics (preferences and endowments) of consumers. I list now the main results of the first type.
The oldest and most widely cited result is:
Proposition $6.5$ (Gross substitutes) Define the gross substitutes condition for consumers as follows: if the price of only one good varies, the consumer’s excess demands for all other goods vary in the same direction, and this is true whichever the price that varies. The gross substitutes condition holds for the market excess demand function of an exchange economy if in the above definition the market excess demands replace the consumer’s excess demands. It is then indicated as GS for brevity. If GS holds, then if the exchange economy has an equilibrium, this is unique.
More formally, GS states: the goods are all gross substitutes if, for any two price vectors $\mathbf{p}$ and $\mathbf{q}$ (not normalized to be in the unit simplex) such that $p_i=q_i$ except for one good, $j$, for which $q_j>p_j$, then $z_i(\mathbf{q})>z_i(\mathbf{p})$, $\forall i \neq j$.
The adjective ‘gross’ distinguishes this property from the usual, or Hicksian, definition of substitutes, which requires negative cross-derivatives of the compensated demand function.
In an exchange economy ${ }^{19} \mathbf{z}(\mathbf{p})$ is homogeneous of degree zero (because income derives from cndowments); then GS implics that the excess demand for a good decreases when its own price alone increases: the reason is that, because of the homogeneity of degree zero of excess demands, the increase of the sole jth price has the same effect on excess demands as a decrease in the same proportion of all other prices; and if we keep the jth price constant and let the other prices decrease one at a time, GS implies that at each step the excess demand for the jth good decreases.
Another way to define GS, for differentiable excess demands, is that it must be $\partial \mathrm{z}{\mathrm{i}}(\mathbf{p}) / \partial \mathrm{p}{\mathrm{j}}>0$ if $\mathrm{i} \neq \mathrm{j}$. This again implies that the demand for a good decreases when the price of that good increases, because it implies $\partial \mathrm{z} / \partial \mathrm{p}{\mathrm{j}}<0$ : the proof is that the homogeneity of degree zero of excess demand functions and Euler’s theorem on homogeneous functions imply $\sum{i=1}^n\left(\mathrm{p}i \cdot \partial \mathrm{z}{\mathrm{j}} / \partial \mathrm{p}_{\mathrm{i}}\right)=0$, and all terms where $\mathrm{i} \neq \mathrm{j}$ are positive by assumption.
经济代写|微观经济学代写微观经济学代考|均衡的非唯一性
一个均衡由两个“东西”组成，一个均衡分配和一个均衡相对价格向量。$\Lambda \mathrm{n}$如果均衡的估价和均衡的估价都具有价值，那么均衡就是唯一的。(我想当然地认为numéraire已经被选中，所以“不同的价格向量”意味着非比例的价格向量。)当无差异曲线或等量曲线在均衡配置处有“纠结”时，一个独特的均衡配置可能由多个相对价格向量支持，这样在一定范围内，相对价格或相对要素租金的变化不会导致代理人的决策发生变化。但更相关的情况是那些在均衡分配中存在差异的多个均衡
平衡的唯一性需要限制性假设，没有限制性假设，很容易产生具有多个平衡的例子。例如，由于选择曲线可能呈马蹄形，画出具有三个均衡的埃奇沃斯盒并不困难，也就是说，除了两个选择曲线相交的禀赋点之外，还有三个点。读者可以试着作为练习，通过绘制无差异曲线的适当映射，来确认选择曲线确实可以具有$\boldsymbol{-}$图6.10中所假设的形状
在$\bullet$图$6.10$中，预算线经过选择曲线相交点的三条斜率表示三个均衡相对价格。
也有可能两条选择曲线在赋值点或其他地方彼此相切，参看$\boldsymbol{F i g}$。6.11;或者两条选择曲线在一段时间内重叠(参见图6.15)，在这种情况下存在一个相对价格和分配不同的均衡连续统——但这两种情况都是侥幸，它们会随着品味或禀赋的任何微小变化而消失
这些数字表明，在一个两种商品的经济中，如果选择曲线相互交叉三次，均衡要么是局部稳定的，要么是不稳定的。我们可以满足于对价格调整过程的一个简单直观的描述:如果一种商品需求过剩，价格倾向于上涨，如果供应过剩，价格倾向于下降。
经济代写|微观经济学代写微观经济学代考|通过过度需求条件的唯一性
Sonnenschein-Mantel-Debreu结果在供求方法的追随者中引起了极大的不适，因为它显示了平衡过程结果中可能存在的不确定性。但是，如果能够找到能够避免多重均衡的假设，并且人们可以辩称，这些假设在实际经济中几乎总是能得到满足，那么损失就会大大减少。我继续列出目前发现的确保(即足以)唯一性的主要假设，然后评估它们的合理性
在这方面研究了两种类型的假设:对$\mathbf{z}(\mathbf{p})$的假设;以及关于消费者特征(偏好和禀赋)分布的假设。我现在列出第一种类型的主要结果。
命题$6.5$(总替代)为消费者定义总替代条件如下:如果只有一种商品的价格变化，那么消费者对所有其他商品的超额需求将沿同一方向变化，无论价格如何变化，这都是正确的。如果在上述定义中，市场超额需求取代了消费者超额需求，则交换经济的市场超额需求函数的总替代条件成立。为简洁起见，将其表示为GS。如果GS成立，那么如果交换经济有一个均衡，这是唯一的
更正式的说法是，GS指出:如果对于任意两个价格向量$\mathbf{p}$和$\mathbf{q}$(不归一化为单形单位)，使得$p_i=q_i$除了一个商品$j$，那么对于$q_j>p_j$，那么$z_i(\mathbf{q})>z_i(\mathbf{p})$, $\forall i \neq j$，所有商品都是总替代品 形容词“gross”将这一性质与通常的或希克斯替代品定义区别开来，后者要求补偿需求函数的负交叉导数 在交换经济中，${ }^{19} \mathbf{z}(\mathbf{p})$是零次的齐次(因为收入来自于cndowments);那么GS暗示，当一种商品本身的价格单独上升时，它的超额需求减少:原因是，由于超额需求的程度为零的同质性，唯一的第j种价格的上升对超额需求的影响与其他所有价格相同比例的下降相同;如果保持第j种价格不变，其他价格每次降低一个，则GS表示每一步对第j种商品的超额需求都会减少。对于可微超额需求，另一种定义GS的方法是:如果$\mathrm{i} \neq \mathrm{j}$，则GS必须为$\partial \mathrm{z}{\mathrm{i}}(\mathbf{p}) / \partial \mathrm{p}{\mathrm{j}}>0$。这再次表明，当一种商品的价格上升时，对该商品的需求下降，因为它暗示了$\partial \mathrm{z} / \partial \mathrm{p}{\mathrm{j}}<0$:证明是，超额需求函数的零次同质性和齐次函数的欧拉定理暗示了$\sum{i=1}^n\left(\mathrm{p}i \cdot \partial \mathrm{z}{\mathrm{j}} / \partial \mathrm{p}_{\mathrm{i}}\right)=0$，并且假设$\mathrm{i} \neq \mathrm{j}$的所有项都是正的。
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