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经济代写|宏观经济学代写Macroeconomics代考|Pay-as-you-go pension system
To see the effect of this program on savings, insert $(9.2)$ into $(9.7)$ (paying attention to the appropriate time subscripts) to get
$$
s_t=\left(\frac{1}{2+\rho}\right) w_t-\frac{\left(1+r_{t+1}\right) d_t+(1+\rho)(1+n) d_{t+1}}{(2+\rho)\left(1+r_{t+1}\right)} .
$$
This is a rather complicated expression that depends on $d_t$ and $d_{t+1}$ – that is, on the size of the contributions made by each generation. But there is one case that lends itself to a simple interpretation. Assume $d_t=d_{t+1}=d$, so that contributions are the same per generation. Then equation (9.13) becomes
$$
s_t=\left(\frac{1}{2+\rho}\right) w_t-d\left[\frac{\left(1+r_{t+1}\right)+(1+\rho)(1+n)}{(2+\rho)\left(1+r_{t+1}\right)}\right] .
$$
Note that, from an individual’s perspective, the return on her contributions is given by $n$, and not $r$. This return depends on there being more individuals to make contributions to the pension system in each period – you can see how demographic dynamics play a crucial role here! From (9.14) we have
$$
\frac{\partial s_t}{\partial d_t}=-\frac{\left(1+r_{t+1}\right)+(1+\rho)(1+n)}{(2+\rho)\left(1+r_{t+1}\right)}<0 .
$$
We can see contributions decrease individual savings – and, in principle, aggregate savings, as here they coincide (see the caveat below). Why do private and aggregate savings coincide? Because the pension system here is a transfer scheme from young to old, and not an alternative savings scheme. The only source of capital is private savings $s_t$.
经济代写|宏观经济学代写Macroeconomics代考|How do pensions affect the capital stock
So far we have asked what happens to savings holding interest and wages constant – that is to say, the partial equilibrium effect of pensions. In the case of a fully funded system, that is of no consequence, since changes in contributions leave savings – and hence, capital accumulation, wages, and interest rates – unchanged. But it matters in the case of a pay-as-you-go system.
To examine the general equilibrium effects of changes in contributions within the latter system, recall that capital accumulation is given by
$$
k_{t+1}=\frac{s_t}{1+n} .
$$
Substituting (9.14) into this equation we have
$$
k_{t+1}=\left(\frac{1}{2+\rho}\right) \frac{w_t}{1+n}-h\left(k_{t+1}\right) d,
$$
where
$$
\begin{aligned}
h\left(k_{t+1}\right) &=\frac{1+(1+\rho)(1+n)\left(1+r_{t+1}\right)^{-1}}{(1+n)(2+\rho)}, \
&=\frac{1+(1+\rho)(1+n)\left(1+\alpha k_{t+1}^{a-1}\right)^{-1}}{(1+n)(2+\rho)},
\end{aligned}
$$
and where $h^{\prime}\left(k_{t+1}\right)>0$. (Note the use of $(9.8)$ above.)
Next, totally differentiating ( $9.17)$, holding $k_t$ constant, and rearranging, we have
$$
\frac{d k_{t+1}}{d d_t}=-\frac{h\left(k_{t+1}\right)}{1+h^{\prime}\left(k_{t+1}\right) d}<0 .
$$
Therefore, the effect of an increase in contributions in a pay-as-you-go system is to shift down the savings locus. The consequences appear in Figure 9.1. The new steady-state capital stock is lower. If the capital stock at the time of the policy shock is to the left of the new steady state, the economy continues to accumulate capital, but at a rate slower than before the change.
经济代写|宏观经济学代写宏观经济学代考|现收现付养老金制度
.
要看这个计划对储蓄的影响，把$(9.2)$插入$(9.7)$(注意适当的时间下标)，得到
$$
s_t=\left(\frac{1}{2+\rho}\right) w_t-\frac{\left(1+r_{t+1}\right) d_t+(1+\rho)(1+n) d_{t+1}}{(2+\rho)\left(1+r_{t+1}\right)} .
$$
这是一个相当复杂的表达式，取决于$d_t$和$d_{t+1}$——也就是说，取决于每一代人做出的贡献的大小。但有一种情况可以简单解释。假设$d_t=d_{t+1}=d$，这样每一代人的贡献是相同的。则式(9.13)变为
$$
s_t=\left(\frac{1}{2+\rho}\right) w_t-d\left[\frac{\left(1+r_{t+1}\right)+(1+\rho)(1+n)}{(2+\rho)\left(1+r_{t+1}\right)}\right] .
$$
请注意，从个人的角度来看，她的贡献的回报是由$n$给出的，而不是$r$。这种回报取决于每个时期有更多的人向养老金系统作出贡献——你可以看到人口动态在这里扮演了多么重要的角色!从(9.14)我们有
$$
\frac{\partial s_t}{\partial d_t}=-\frac{\left(1+r_{t+1}\right)+(1+\rho)(1+n)}{(2+\rho)\left(1+r_{t+1}\right)}<0 .
$$
我们可以看到贡献减少了个人储蓄-和，原则上，总储蓄，因为这里他们是一致的(见下面的警告)。为什么私人储蓄和总储蓄会重合?因为这里的养老金制度是一种从年轻人到老年人的转移计划，而不是一种替代储蓄计划。资本的唯一来源是私人储蓄$s_t$。
经济代写|宏观经济学代写宏观经济学代考|养老金如何影响资本存量
到目前为止，我们已经问了在保持利息和工资不变的情况下储蓄会发生什么——也就是说，养老金的部分均衡效应。在一个资金充足的系统中，这没有任何影响，因为缴款的变化使储蓄——进而使资本积累、工资和利率——保持不变。但在现收现付系统中，这一点很重要
为了检验后一种体系中缴款变化的一般均衡效应，回想一下资本积累是由
给出的$$
k_{t+1}=\frac{s_t}{1+n} .
$$把(9.14)代入这个方程，我们得到
$$
k_{t+1}=\left(\frac{1}{2+\rho}\right) \frac{w_t}{1+n}-h\left(k_{t+1}\right) d,
$$
where
$$
\begin{aligned}
h\left(k_{t+1}\right) &=\frac{1+(1+\rho)(1+n)\left(1+r_{t+1}\right)^{-1}}{(1+n)(2+\rho)}, \
&=\frac{1+(1+\rho)(1+n)\left(1+\alpha k_{t+1}^{a-1}\right)^{-1}}{(1+n)(2+\rho)},
\end{aligned}
$$
和where $h^{\prime}\left(k_{t+1}\right)>0$。(注意的用法 $(9.8)$
接下来，完全微分( $9.17)$，保持 $k_t$ 常量，重新排列，我们有
$$
\frac{d k_{t+1}}{d d_t}=-\frac{h\left(k_{t+1}\right)}{1+h^{\prime}\left(k_{t+1}\right) d}<0 .
$$因此，在现收现付制度中，增加缴款的影响是向下移动储蓄轨迹。结果如图9.1所示。新的稳定状态资本存量更低。如果政策冲击时的资本存量处于新的稳定状态的左侧，那么经济将继续积累资本，但速度比政策冲击前要慢
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