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If the expected value $\mu=E(v, \pi)$ is a measure for the degree of activity of $\mathfrak{S}$ relative to the probability distribution $\pi$ and the potential $v$, there may nevertheless be other probability distributions $\pi^{\prime}$ with the same expected value
$$
E(v, \pi)=\mu=E\left(v, \pi^{\prime}\right) .
$$
The idea is now to derive a canonical probability distribution $\beta$ with a given expected value $\mu$. To this end, we select $\beta$ as the distribution with the largest entropy:
$$
H(\beta)=\max {H(\pi) \mid E(v, \pi)=\mu} .
$$
As it turns out (Lemma $7.1$ below), every other probability distribution $\pi$ yielding the same expected value $\mu$ of $v$ will have a strictly smaller entropy $H(\pi)<H(\beta)$, which means that its specification would require more information. In this sense, $\beta$ is the unique “freest” (i.e., least biased) distribution with expectation $\mu$.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|BOLTZMANN distributions

Given the potential $v: \mathfrak{S} \rightarrow \mathbb{R}$ with values $v_\sigma=v(\sigma)$, any $t \in \mathbb{R}$ defines a related BoLTZMANN ${ }^1$ (probability) distribution $\beta(t)$ on $\mathfrak{S}$ with the components
$$
\beta_\sigma(t)=\frac{e^{v_\sigma t}}{Z(t)} \quad \text { where } \quad Z(t)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} e^{v_\sigma t}>0 .
$$
REMARK 7.1. The distributions $\beta(t)$ are also known as BoLTZMANN-GIBBS ${ }^2$ distributions. The function $Z(t)$ is the associated so-called partition function.

Computing derivatives, one finds 3 that the expected value of $v$ relative to $b(t)$ can be expressed as the logarithmic derivative of the partition function:
$$
\mu(t)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} v_\sigma \beta_\sigma(t)=\frac{Z^{\prime}(t)}{Z(t)}=\frac{d \ln Z(t)}{d t} .
$$
NoTA BENE. Under a BOLTZMANN distribution $\beta(t)$ with $t \in \mathbb{R}$, no state of $\mathfrak{S}$ will be impossible (i.e., occur with probability 0 ) and no state will occur with certainty (i.e., with probability 1 ) if $\mathfrak{S}$ has more than one state.

In the special case $t=0$, one has $Z(0)=|\mathfrak{S}|$. So $\beta(0)$ is the uniform distribution on $\mathfrak{S}$ with the average potential value as its expectation:
$$
\mu(0)=\frac{1}{|\mathfrak{S}|} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} v_\sigma .
$$
Moreover, one observes the limiting behavior
$$
\lim {t \rightarrow-\infty} \mu(t)=\min {\sigma \in \mathfrak{S}} v_\sigma \quad \text { and } \quad \lim {t \rightarrow+\infty} \mu(t)=\max {\sigma \in \mathfrak{S}} v_\sigma
$$

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|ECON2070

经济代写|博弈论代写博弈论代考|温度


如果期望值$\mu=E(v, \pi)$是$\mathfrak{S}$相对于概率分布$\pi$和潜在的$v$的活跃程度的度量,那么仍然可能有其他的概率分布$\pi^{\prime}$具有相同的期望值
$$
E(v, \pi)=\mu=E\left(v, \pi^{\prime}\right) .
$$
。现在的想法是推导出一个规范概率分布$\beta$具有给定的期望值$\mu$。为此,我们选择$\beta$作为熵最大的分布:
$$
H(\beta)=\max {H(\pi) \mid E(v, \pi)=\mu} .
$$
结果是(下面引理$7.1$),每个其他的概率分布$\pi$产生相同的$v$的期望值$\mu$将有一个严格较小的熵$H(\pi)<H(\beta)$,这意味着它的规范将需要更多的信息。在这个意义上,$\beta$是唯一的“最自由”(即,偏见最小)分布,期望$\mu$ .

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给定具有$v_\sigma=v(\sigma)$值的潜在$v: \mathfrak{S} \rightarrow \mathbb{R}$,任何$t \in \mathbb{R}$在$\mathfrak{S}$上定义了一个相关的BoLTZMANN ${ }^1$(概率)分布$\beta(t)$,其组件
$$
\beta_\sigma(t)=\frac{e^{v_\sigma t}}{Z(t)} \quad \text { where } \quad Z(t)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} e^{v_\sigma t}>0 .
$$
备注7.1。分布$\beta(t)$也称为BoLTZMANN-GIBBS ${ }^2$分布。函数$Z(t)$是相关的所谓的配分函数


计算导数,人们发现3 $v$相对于$b(t)$的期望值可以表示为配分函数的对数导数:
$$
\mu(t)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} v_\sigma \beta_\sigma(t)=\frac{Z^{\prime}(t)}{Z(t)}=\frac{d \ln Z(t)}{d t} .
$$
NoTA BENE。在玻尔兹曼分布$\beta(t)$和$t \in \mathbb{R}$下,如果$\mathfrak{S}$有多个状态,则没有$\mathfrak{S}$的状态是不可能的(即,以概率0出现),也没有状态是确定的(即,以概率1出现)

在特殊情况下$t=0$,一个有$Z(0)=|\mathfrak{S}|$。因此$\beta(0)$是$\mathfrak{S}$上的均匀分布,其期望值为平均势值:
$$
\mu(0)=\frac{1}{|\mathfrak{S}|} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} v_\sigma .
$$
此外,我们观察到极限行为
$$
\lim {t \rightarrow-\infty} \mu(t)=\min {\sigma \in \mathfrak{S}} v_\sigma \quad \text { and } \quad \lim {t \rightarrow+\infty} \mu(t)=\max {\sigma \in \mathfrak{S}} v_\sigma
$$

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