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金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|IMPLIED CAP AND CAPLET VOLATILITIES
As a preparation for subsequent sections, in this section, we consider calibrating the LIBOR market model based on cap prices only. Cap prices imply prices of caplets of various maturities, and the Black’s volatilities corresponding to the caplet prices will be taken to be the norms of the local volatility vectors. The volatility vectors of forward rates can be determined based on the norms and, in addition, information on forward-rate correlations.
Let $\operatorname{Cap}(n)$ denote the market price of a cap that has $n$ caplets, and let $K_n$ denote the strike rate. In the marketplace, a cap is quoted using the implied cap volatility, $\bar{\sigma}n$, defined as the single non-negative number that, when plugged in into Black’s formula for all caplets, reproduces the market price of the cap. That is, $\bar{\sigma}_n$ satisfies $$ \operatorname{Cap}(n)=\sum{j=0}^{n-1} P_0^{T_{j+1}} \Delta T_j \cdot B C\left(f_j(0), K_n, T_j, \bar{\sigma}_n\right),
$$
where $B C(f, K, T, \sigma)$ stands for Black’s call formula,
$$
B C(f, K, T, \sigma)=f N\left(d_1\right)-K N\left(d_2\right)
$$ with
$$
d_1=\frac{\ln (f / K)+(1 / 2) \sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{T} .
$$
Given a sequence of implied cap volatilities, $\bar{\sigma}n, n=1,2, \ldots, N$, for increasing cap maturities, we can bootstrap the values of all caplets of maturities up to the longest maturity of the caps. The caplet prices can be quoted using their Black’s volatilities, $\left{\sigma_j\right}$. In terms of the Black’s volatilities of caplets, we can recast the cap price as $$ \begin{aligned} \operatorname{Cap}(n) &=\sum{j=0}^{n-1} P_0^{T_{j+1}} \Delta T_j \cdot B C\left(f_j(0), K_n, T_j, \sigma_j\right) \
&=\sum_{j=0}^{n-1} \operatorname{Caplet}(j+1, n)
\end{aligned}
$$
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|CALIBRATING THE LIBOR MARKET MODEL TO CAPS
Calibration here means to specify $\left{\gamma_j(t)\right}$, the local volatility vector of forward rates, so that the market prices of all caplets are reproduced. According to Black’s formula, the implied Black’s volatility, $\sigma_j$, relates to the local volatility vector of the $j$ th forward rate via
$$
\sigma_j^2=\frac{1}{T_j} \int_0^{T_j}\left|\gamma_j(t)\right|^2 \mathrm{~d} t
$$
The right-hand side is the mean variance of the $j$ th forward rate. Equation $7.12$ allows us to determine $\left|\gamma_j(t)\right|$. For a parametric calibration, we may take the functional specification of Equation $6.79$ and solve for the parameters through an optimization procedure that minimizes the aggregated squared errors between the two sides of Equation 7.12. The procedure is a rather typical one.
The focus of this section, however, is on nonparametric calibration. Suppose that $\gamma_j(t)$ is constant in $t$, we can simply take
$$
\left|\gamma_j(t)\right|=\sigma_j, \quad 0 \leq t \leq T_j, \quad j=1, \ldots, N .
$$
The plot of $\left{\left|\gamma_j(t)\right|\right}$ is called the local volatility surface of the LIBOR market model. Figure $7.2$ shows the local volatility surface for May 22, 1997, generated using the implied Black’s volatility of the caplets in Table 7.3. Note that the part of the surface over the area of $t \leq T$ is the only relevant part.
金融代写|利率建模代写利率建模代考|隐含的CAP和CAPLET波动率
作为后续章节的准备，在本节中，我们考虑仅根据上限价格校准LIBOR市场模型。封顶价格隐含不同期限的冠状花序价格，将冠状花序价格对应的Black波动率作为局部波动向量的规范。远期汇率的波动向量可以根据规范和远期汇率相关性信息来确定
设$\operatorname{Cap}(n)$表示有$n$尾句的帽子的市场价格，设$K_n$表示罢工率。在市场上，一个上限的报价使用隐含的上限波动率，$\bar{\sigma}n$，它被定义为一个单一的非负数，当把它代入布莱克的所有caplets的公式时，可以再现该上限的市场价格。也就是说，$\bar{\sigma}_n$满足$$ \operatorname{Cap}(n)=\sum{j=0}^{n-1} P_0^{T_{j+1}} \Delta T_j \cdot B C\left(f_j(0), K_n, T_j, \bar{\sigma}_n\right),
$$
，其中$B C(f, K, T, \sigma)$代表布莱克的赎回公式，
$$
B C(f, K, T, \sigma)=f N\left(d_1\right)-K N\left(d_2\right)
$$ with
$$
d_1=\frac{\ln (f / K)+(1 / 2) \sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{T} .
$$
给定一个隐含的上限波动率序列，$\bar{\sigma}n, n=1,2, \ldots, N$，对于增加上限期限，我们可以引导所有期限的子句的值，直到最长期限的上限。纸盒的价格可以用他们的布莱克波动率来报价，网址是$\left{\sigma_j\right}$。根据Black的caplets的波动率，我们可以将上限价格重铸为$$ \begin{aligned} \operatorname{Cap}(n) &=\sum{j=0}^{n-1} P_0^{T_{j+1}} \Delta T_j \cdot B C\left(f_j(0), K_n, T_j, \sigma_j\right) \
&=\sum_{j=0}^{n-1} \operatorname{Caplet}(j+1, n)
\end{aligned}
$$
金融代写|利率建模代写利率建模代考|校准LIBOR市场模型到上限
这里的校准是指指定远期汇率的局部波动向量$\left{\gamma_j(t)\right}$，从而再现所有caplets的市场价格。根据布莱克公式，隐含的布莱克波动率$\sigma_j$通过
$$
\sigma_j^2=\frac{1}{T_j} \int_0^{T_j}\left|\gamma_j(t)\right|^2 \mathrm{~d} t
$$
与$j$第远期汇率的局部波动率向量有关。右边是第$j$第远期汇率的平均方差。方程$7.12$允许我们确定$\left|\gamma_j(t)\right|$。对于参数标定，我们可以取方程$6.79$的功能说明，通过使方程7.12两边的聚合平方误差最小的优化程序求解参数。这是一个相当典型的过程。
然而，本节的重点是非参数校准。假设$\gamma_j(t)$在$t$中是常数，我们可以取
$$
\left|\gamma_j(t)\right|=\sigma_j, \quad 0 \leq t \leq T_j, \quad j=1, \ldots, N .
$$
$\left{\left|\gamma_j(t)\right|\right}$的图称为LIBOR市场模型的局部波动面。图$7.2$显示了1997年5月22日的局部波动率面，它是使用表7.3中小图的隐含布莱克波动率生成的。请注意，在$t \leq T$区域上的那部分表面是唯一相关的部分
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