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金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|SENSITIVITY WITH RESPECT TO THE INPUT PRICES

In this section, we discuss the pricing and hedging of a LIBOR derivative with a model calibrated to the prices of benchmark instruments and correlation matrices. The theory we develop is in the spirit of Avellaneda et al. (1998) for calibrating an equity derivatives model via relative-entropy minimization. Without loss of generality, we suppose that a derivative is sold at time $t=0$, which promises to receive a sequence of cash flows, $\left{F_i\right}$, at time $T_i, i=1, \ldots, N$, and the cash flows are contingent on the forward rates, $\left{f_j\right}_{j=1}^N$, in the future. By using cash flow measures, we can express the value of the derivative as
$$
\varphi(0, \mathbf{f}(0))=\sum_{i=1}^N P\left(0, T_i\right) E^{Q_j}\left[F_i\right] .
$$
The expectation in Equation $7.71$ can be calculated by Monte Carlo simulations.

Consider hedging the short position using benchmark instruments, for which we need to calculate the hedge ratios. Let the prices of the benchmarks be $\left{C_j\right}$. By the chain rule, we have
$$
\frac{\partial \varphi}{\partial C_j}=\sum_{i=1}^I \frac{\partial \varphi}{\partial d_i} \frac{\partial d_i}{\partial h_j} \frac{\partial h_j}{\partial C_j} .
$$
Hence, we must calculate the three derivative chains as follows:
$$
\left{\frac{\partial h_j}{\partial C_j}\right},\left{\frac{\partial d_i}{\partial h_j}\right}, \text { and }\left{\frac{\partial \varphi}{\partial d_i}\right} .
$$
The first two derivative chains are not difficult to obtain. The partial derivative of volatilities with respect to prices can be calculated by making use Black’s formula (which includes a caplet as a special case).

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Futures Price versus Forward Price

The value of a forward contract with maturity, $T$, and strike, $K$, on a tradable asset is
$$
V_0=E^{\mathbb{Q}}\left[B_T^{-1}\left(S_T-K\right) \mid \mathcal{F}_0\right]
$$ where $\mathbb{Q}$ stands for the risk-neutral measure, $S_T$ the asset price at maturity, and $B_T$ the balance of the money market account at $T$ :
$$
B_T=\exp \left(\int_0^T r_s \mathrm{~d} s\right) .
$$
The forward price is defined as the strike price that nullifies the value of the forward contract. In view of Equation 8.1, we know that the forward price for the contract satisfies
$$
F_0^T=\frac{E_0^{\mathbb{Q}}\left[B_T^{-1} S_T\right]}{E_0^{\mathbb{Q}}\left[B_T^{-1}\right]}=E_0^{\mathbb{Q} T}\left[S_T\right],
$$
that is, it is the expectation of the terminal asset price under the forward measure, $\mathbb{Q}_T$. We have already learned in Chapter 4 that the above expectation equals
$$
F_0^T=\frac{\hat{S}_0}{P(0, T)},
$$
where $\hat{S}_t$ is the stripped-dividend price of the asset at time $t$.
With everything else the same, a futures contract differs from a forward contract by “marking to market,” meaning that the P\&L from holding the contract is credited to or debited from the holder’s margin account on a daily basis. The margin account, meanwhile, is accrued using risk-free interest rates. A futures price parallels the forward price and nullifies the value of a futures contract. Let $\tilde{F}_t^T$ be the futures price observed at time $t \leq T$. At the maturity of the futures contract, the futures price is fixed or set to the price of the underlying security, that is, $\tilde{F}_T^T=S_T$.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH4513


金融代写|利率建模代写利率建模代考|敏感性与输入价格


在本节中,我们将讨论LIBOR衍生品的定价和对冲,该模型是根据基准工具和相关矩阵的价格校准的。我们开发的理论是本着Avellaneda等人(1998)的精神,通过相对熵最小化来校准股票衍生品模型。在不丧失一般性的前提下,我们假设一个衍生品在$t=0$时刻卖出,它承诺在$T_i, i=1, \ldots, N$时刻获得一系列现金流$\left{F_i\right}$,而现金流取决于未来的远期利率$\left{f_j\right}{j=1}^N$。通过使用现金流度量,我们可以将导数的值表示为
$$
\varphi(0, \mathbf{f}(0))=\sum{i=1}^N P\left(0, T_i\right) E^{Q_j}\left[F_i\right] .
$$
公式$7.71$中的期望可以通过蒙特卡罗模拟计算


考虑使用基准工具对冲空头头寸,为此我们需要计算对冲比率。设基准价格为$\left{C_j\right}$。根据链式法则,我们有
$$
\frac{\partial \varphi}{\partial C_j}=\sum_{i=1}^I \frac{\partial \varphi}{\partial d_i} \frac{\partial d_i}{\partial h_j} \frac{\partial h_j}{\partial C_j} .
$$
因此,我们必须计算三个导数链如下:
$$
\left{\frac{\partial h_j}{\partial C_j}\right},\left{\frac{\partial d_i}{\partial h_j}\right}, \text { and }\left{\frac{\partial \varphi}{\partial d_i}\right} .
$$
前两个导数链不难得到。波动率对价格的偏导数可以通过使用布莱克公式(其中包含一个小句作为特例)来计算

金融代写|利率建模代写利率建模代考|期货价格与远期价格

可交易资产的到期远期合约$T$和执行$K$的价值为
$$
V_0=E^{\mathbb{Q}}\left[B_T^{-1}\left(S_T-K\right) \mid \mathcal{F}_0\right]
$$,其中$\mathbb{Q}$表示风险中性度量,$S_T$表示到期时的资产价格,$B_T$表示货币市场账户在$T$处的余额:
$$
B_T=\exp \left(\int_0^T r_s \mathrm{~d} s\right) .
$$
远期价格被定义为使远期合约价值失效的执行价格。由式8.1可知,合同的远期价格满足
$$
F_0^T=\frac{E_0^{\mathbb{Q}}\left[B_T^{-1} S_T\right]}{E_0^{\mathbb{Q}}\left[B_T^{-1}\right]}=E_0^{\mathbb{Q} T}\left[S_T\right],
$$
,即为远期度量下终端资产价格$\mathbb{Q}_T$的期望。我们已经在第4章中了解到,上述预期等于
$$
F_0^T=\frac{\hat{S}_0}{P(0, T)},
$$
,其中$\hat{S}_t$是资产在$t$时刻的去股息价格。
在其他条件相同的情况下,期货合约与远期合约的区别在于“按市价计价”,这意味着持有合约的损益L每天从持有者的保证金账户中贷记或借记。与此同时,保证金账户是利用无风险利率累积的。期货价格与远期价格平行,使期货合约的价值无效。设$\tilde{F}_t^T$为$t \leq T$时刻观察到的期货价格。期货合约到期时,期货价格固定或设定为标的证券的价格,即$\tilde{F}_T^T=S_T$ .

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