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物理代写|傅立叶光学代写Fourier optics代考|Ill-posedness of inverse problems

In the previous section we described the commonly used linear systems model that is commonly used in relation to imaging phenomena. With the computational methods forming an integral part of the imaging system, it is very important to discuss some fundamental issues that arise when solving the inverse problem of obtaining the input function $g_i$ using full or partial measurement of the output $g_o$. We first observe that $g_o$ is typically measured using some detector. If we associate with $g_o$ the output wavefield, then any optical detector will typically detect the light intensity that is proportional to $\left|g_o\right|^2$. For simplicity and for the purpose of discussion here we may assume that $g_o$ is measurable in the laboratory, e.g. by means of an interferometric arrangement. It is important to note that the measurement process is inherently statistical in nature and what is usually available to us is the output function including noise $n(x, y)$ which in its simplest form may be assumed to be additive.
$$
\tilde{g}_o(x, y)=\iint d x^{\prime} d y^{\prime} g_i\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) h\left(x-x^{\prime}, y-y^{\prime}\right)+n(x, y) \text {. (5.6) }
$$
The noise arises out of a combination of statistical nature of detection process as well as due to the fundamental statistical fluctuations associated with light waves themselves. The noise $n(x, y)$ is never ideally zero in any practical system. Let us further consider the nominal form of impulse response $h(x, y)$ associated with a delta-function input. The transfer function $H\left(f_x, f_y\right)$ for any practical system extends over a finite range of spatial frequencies and the impulse response function $h(x, y)$ has a spread which is inversely related to the spread of the transfer function in spatial-frequency space. The forward operation of going from object to image space is thus typically a blurring operation.

物理代写|傅立叶光学代写Fourier optics代考|Inverse filter

A simplistic solution to the problem of obtaining the input $g_i(x, y)$ from a measured output $\tilde{g}_o$ is the inverse filter solution. This method is included here as it clearly illustrates the difficulties due to illposedness as discussed in the previous section. Disregarding the noise in the output and using Eq. (5.5), one may nominally write the inverse solution as:
$$
g_i(x, y)=\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{G_o\left(f_x, f_y\right)}{H\left(f_x, f_y\right)}\right] .
$$
The function $1 / H\left(f_x, f_y\right)$ is referred to here as the inverse filter. Unfortunately we do not have access to $G_o\left(f_x, f_y\right)$ but only its noisy version $\tilde{G}_o\left(f_x, f_y\right)=\mathcal{F}\left[\tilde{g}_o(x, y)\right]$. The solution $\tilde{g}_i(x, y)$ estimated using the noisy output may be written as:
$$
\tilde{g}_i(x, y)=\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{\tilde{G}_o\left(f_x, f_y\right)}{H\left(f_x, f_y\right)}\right] .
$$
In numerical computation one may replace any zero value in $H$ with a small constant to avoid dividing by zero. The illustration in Fig. 5.2 shows the effect of a $20 \times 20$ pixel square averaging filter (with $1 \%$ additive noise) on a picture followed by an attempt at image recovery using the simple inverse filter. The filter $h(x, y)$ and the absolute value of the corresponding transfer function $H\left(f_x, f_y\right)$ are shown in Fig. 5.3. The The recovery in Fig. $5.2$ (c) appears completely meaningless. The reason for this is that we have simply divided the Fourier transform of the blurred image (b) by the Fourier transform $H\left(f_x, f_y\right)$. The function $H\left(f_x, f_y\right)$ has zeros (or very small values) over finite regions or isolated lines/points as seen in Fig. $5.3$ and dividing by these small values greatly enhances the corresponding frequency components. In particular in presence of noise some of these components may produce completely undesirable large oscillations in the recovery as seen in Fig. $5.2$ (c).

物理代写|傅立叶光学代写Fourier optics代考|ECE3225

物理代写|傅立叶光学代写傅里叶光学代考|逆问题的病态性


在前一节中,我们描述了与成像现象有关的常用线性系统模型。由于计算方法是成像系统的重要组成部分,因此,讨论利用输出$g_o$的全部或部分测量得到输入函数$g_i$的反问题时产生的一些基本问题是非常重要的。我们首先观察到$g_o$通常是用某种检测器测量的。如果我们将输出波场$g_o$关联起来,那么任何光学探测器通常都会检测到与$\left|g_o\right|^2$成正比的光强。为了简单和讨论的目的,我们可以假设$g_o$在实验室中是可测量的,例如通过干涉测量安排。值得注意的是,测量过程本质上是统计的,我们通常可以得到的是包含噪声$n(x, y)$的输出函数,其最简单的形式可以假设为可加性。
$$
\tilde{g}_o(x, y)=\iint d x^{\prime} d y^{\prime} g_i\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) h\left(x-x^{\prime}, y-y^{\prime}\right)+n(x, y) \text {. (5.6) }
$$
噪声产生于探测过程的统计性质以及与光波本身相关的基本统计涨落的组合。噪声$n(x, y)$在任何实际系统中都不理想为零。让我们进一步考虑脉冲响应$h(x, y)$的标称形式与一个三角函数输入相关联。任何实际系统的传递函数$H\left(f_x, f_y\right)$在空间频率的有限范围内扩展,而脉冲响应函数$h(x, y)$的扩散与传递函数在空间频率空间中的扩散成反比。因此,从物体到图像空间的正向操作通常是一种模糊操作

物理代写|傅立叶光学代写傅里叶光学代考|逆滤波器

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对于从测量的输出$\tilde{g}_o$中获得输入$g_i(x, y)$的问题,一个简单的解决方案是反滤波器解决方案。这里包括这个方法,因为它清楚地说明了由于上一节中讨论的姿势不佳而造成的困难。忽略输出中的噪声并使用Eq.(5.5),可以名义上将逆解写成:
$$
g_i(x, y)=\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{G_o\left(f_x, f_y\right)}{H\left(f_x, f_y\right)}\right] .
$$
函数$1 / H\left(f_x, f_y\right)$在这里被称为逆滤波器。不幸的是,我们无法访问$G_o\left(f_x, f_y\right)$,只能访问它的嘈杂版本$\tilde{G}_o\left(f_x, f_y\right)=\mathcal{F}\left[\tilde{g}_o(x, y)\right]$。使用噪声输出估计的解$\tilde{g}_i(x, y)$可以写成:
$$
\tilde{g}_i(x, y)=\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{\tilde{G}_o\left(f_x, f_y\right)}{H\left(f_x, f_y\right)}\right] .
$$
在数值计算中,可以用一个小常数替换$H$中的任何零值,以避免除零。图5.2中的插图显示了$20 \times 20$像素平方平均滤波器(带有$1 \%$加性噪声)对图片的影响,然后尝试使用简单的反滤波器进行图像恢复。滤波器$h(x, y)$及其传递函数$H\left(f_x, f_y\right)$的绝对值如图5.3所示。图$5.2$ (c)中的恢复看起来完全没有意义。这样做的原因是我们简单地用模糊图像的傅里叶变换(b)除以傅里叶变换$H\left(f_x, f_y\right)$。函数$H\left(f_x, f_y\right)$在有限区域或孤立的线/点上有零(或非常小的值),如图$5.3$所示,除以这些小值大大增强了相应的频率分量。特别是在噪声存在的情况下,其中一些成分可能在恢复过程中产生完全不需要的大振荡,如图$5.2$ (c)所示。

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