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金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Duration

Duration is the premier measure of the interest rate risk of a fixed-income security. Duration, $D$, has several interpretations. The most common interpretation is that it is the weighted average of the longevities of a fixedincome asset or portfolio. The weights of each cash flow’s time-to-maturity are defined as the portion of the bond’s value attributable to the cash flow as expressed in Equation 2.15:
$$
D=\sum_{i=1}^n w_i \times t_i
$$
where $w_i=C_{t_i} e^{-y t_i} / \sum_{i=1}^n C_{t_i} e^{-y t_i}$ and $t_i$ is the time when cash flow is to be received, and $t_n=T$.
Note that Equation $2.15$ uses a bond’s yield to maturity for simplicity as the discount rate in calculating all of the weights. In theory, each cash flow should be discounted by a zero coupon rate corresponding to its longevity. Using zero coupon rates raises three problems: (1) Zero coupon rates are somewhat difficult to estimate, (2) estimates of zero coupon rates can vary based on the method used, and (3) if each cash flow is discounted with estimated zero coupon rates, the sum of the discounted cash flows may not exactly equal the bond’s price and the weights may not sum to one. Accordingly, Equation $2.15$ provides the convenient and popular yieldbased method of estimating the duration of a bond with fixed promised cash flows.

A second important interpretation of duration $(D)$ is that it is a measure of price risk from interest rate shifts. Specifically, duration may be defined and interpreted as the elasticity (percentage change) of a fixed-income value $(B)$ with respect to the underlying yields $(y)$. If the duration is estimated using the term structure of spot rates rather than yields then duration may be defined and interpreted as the elasticity of a fixed-income value $(B)$ with respect to a parallel shift in the term structure of interest rates.

金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Convexity

The use of duration in the approximation of bond returns can be viewed as a first-order Taylor expansion. In order to model the potential effects of large interest rate shifts, a second-order Taylor expansion may be used. Equations $2.20$ and $2.21$ provide the second-order risk measure (convexity) and the second-order approximation formula.
$$
\begin{gathered}
C=\frac{1}{B} \frac{\partial^2 B}{\partial y^2} \
\Delta B \approx-B D \Delta y+B \frac{1}{2} C(\Delta y)^2
\end{gathered}
$$
Convexity approximates the curvature of a bond’s price-yield relationship. The formula for convexity is based on squaring the times-to-receipt of a bond’s cash flows. Roughly speaking, the convexity of a $T$ year zero coupon bond is approximately $T^2$. For two portfolios with equal durations, the portfolio with higher dispersion in the times-to-receipt of cash flows will tend to have greater convexity.

Duration is limited in its ability to approximate accurately in the case of: (1) large interest rate shifts and (2) non-parallel interest rate shifts. It should be noted that convexity not only provides a second-order approximation of the effects of large parallel interest rate shifts, it also approximates a first-order effect of slope changes in the term structure. Therefore, convexity and higher-order duration terms can be used in the case of managing the interest rate risk of fixed-income portfolios when greater accuracy is sought.

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金融代写|金融数学代写金融数学代考|持续时间


存续期是衡量固定收益证券利率风险的首要指标。Duration, $D$,有几种解释。最常见的解释是,它是固定收益资产或投资组合寿命的加权平均值。每个现金流到期日的权重定义为债券价值中属于现金流的部分,如公式2.15所示:
$$
D=\sum_{i=1}^n w_i \times t_i
$$
其中$w_i=C_{t_i} e^{-y t_i} / \sum_{i=1}^n C_{t_i} e^{-y t_i}$和$t_i$是接收现金流的时间,以及$t_n=T$。
注意,为了简便,公式$2.15$在计算所有权重时使用债券到期日收益率作为折现率。理论上,每个现金流都应该以与其寿命相对应的零票面利率折现。使用零票面利率会带来三个问题:(1)零票面利率在某种程度上难以估计,(2)对零票面利率的估计会因所用方法的不同而不同,(3)如果每个现金流都用估计的零票面利率折现,折现现金流的总和可能不完全等于债券价格,权重可能不等于1。因此,公式$2.15$提供了一种方便而流行的基于收益率的方法,用来估计具有固定承诺现金流的债券的存续期限


对存续期$(D)$的第二个重要解释是,它是利率变动带来的价格风险的衡量指标。具体来说,存续期可以定义和解释为固定收益价值$(B)$相对于相关收益率$(y)$的弹性(百分比变化)。如果用即期利率的期限结构而不是收益率来估计期限,那么期限可以被定义和解释为固定收益价值$(B)$相对于利率期限结构的平行变化的弹性

金融代写|金融数学代写金融数学代考|凸性


在债券收益近似中使用期限可以看作是一阶泰勒展开。为了模拟大利率变动的潜在影响,可以使用二阶泰勒展开。方程$2.20$和$2.21$提供了二阶风险测度(凸度)和二阶近似公式。
$$
\begin{gathered}
C=\frac{1}{B} \frac{\partial^2 B}{\partial y^2} \
\Delta B \approx-B D \Delta y+B \frac{1}{2} C(\Delta y)^2
\end{gathered}
$$
凸度近似于债券价格-收益率关系的曲率。凸性公式的基础是将收到债券现金流的时间平方。粗略地说,一个$T$年零息债券的凸度大约是$T^2$。对于两个期限相等的投资组合,在收到现金流的时间上离散度较高的投资组合往往具有更大的凸性


持续时间在以下情况下精确逼近的能力是有限的:(1)较大的利率变动和(2)非平行的利率变动。值得注意的是,凸性不仅提供了大量平行利率变动的二阶近似效应,它还近似期限结构中斜率变化的一阶效应。因此,当寻求更高的准确性时,凸性和高阶期限项可以用于管理固定收益投资组合的利率风险

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