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物理代写|分析力学代写Analytical Mechanics代考|Hamilton’s Principle and Lagrange’s Equations
The mere change of notation
$$
x \rightarrow t, \quad y \rightarrow q, \quad y^{\prime} \equiv \frac{d y}{d x} \rightarrow \dot{q} \equiv \frac{d q}{d t}, \quad f \rightarrow L, \quad J \rightarrow S
$$
shows that Euler’s equation takes the form of Lagrange’s equation
$$
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0,
$$
which, therefore, follows from the variational principle
$$
\delta S \equiv \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) d t=0
$$
with $\delta q\left(t_1\right)=\delta q\left(t_2\right)=0$. The generalisation for holonomic systems with any number of degrees of freedom is straightforward. Let $S$ be the action defined by
$$
S=\int_{t_1}^{t_2} L\left(q_1, \ldots, q_n, \dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_n, t\right) d t
$$
and consider
$$
\begin{gathered}
\bar{q}_1(t)=q_1(t)+\delta q_1(t), \
\vdots \
\bar{q}_n(t)=q_n(t)+\delta q_n(t),
\end{gathered}
$$
with the variations $\delta q_1, \ldots, \delta q_n$ mutually independent and arbitrary except for the endpoint conditions $\delta q_k\left(t_1\right)=\delta q_k\left(t_2\right)=0, k=1, \ldots, n$. It is worth stressing that it is the mutual independence of the generalised coordinates that ensures that each can be varied independently of the others.
物理代写|分析力学代写Analytical Mechanics代考|Equivalent Lagrangians
Hamilton’s principle, also known as the principle of least action, ${ }^7$ entails that the same equations of motion are generated by two Lagrangians that differ by a total time derivative of an arbitrary function of the generalised coordinates and time.
Definition 2.3.1 Two Lagrangians $\bar{L}(q, \dot{q}, t)$ and $L(q, \dot{q}, t)$ are said to be equivalent if they differ by the total time derivative of an arbitrary function $f(q, t)$ of the generalised coordinates and time:
$$
\bar{L}(q, \dot{q}, t)=L(q, \dot{q}, t)+\frac{d}{d t} f(q, t) .
$$
Theorem 2.3.1 Equivalent Lagrangians give rise to the same equations of motion. Proof The action $\bar{S}$ associated with $\bar{L}$ is
$$
\bar{S}=\int_{t_1}^{t_2} \bar{L}(q, \dot{q}, t) d t=\int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) d t+\int_{t_1}^{t_2} \frac{d f}{d t} d t=S+f\left(q\left(t_2\right), t_2\right)-f\left(q\left(t_1\right), t_1\right) .
$$
Since the variation of the action leaves the endpoints $q\left(t_1\right)$ and $q\left(t_2\right)$ fixed, $\delta \bar{S}=\delta S$. Therefore, the conditions $\delta \bar{S}=0$ and $\delta S=0$ are identical, showing that $\bar{L}$ and $L$ engender exactly the same equations of motion.
Exercise 2.3.1 Prove, by direct substitution into Lagrange’s equations, that equivalent Lagrangians give rise to the same equations of motion.
物理代写|分析力学代写分析力学代考|汉密尔顿原理和拉格朗日方程
仅仅是符号的变化
$$
x \rightarrow t, \quad y \rightarrow q, \quad y^{\prime} \equiv \frac{d y}{d x} \rightarrow \dot{q} \equiv \frac{d q}{d t}, \quad f \rightarrow L, \quad J \rightarrow S
$$
表明欧拉方程采用拉格朗日方程的形式
$$
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0,
$$
，因此，遵循变分原理
$$
\delta S \equiv \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) d t=0
$$
with $\delta q\left(t_1\right)=\delta q\left(t_2\right)=0$。对于具有任意数量自由度的完整系统的推广是直接的。假设$S$是
$$
S=\int_{t_1}^{t_2} L\left(q_1, \ldots, q_n, \dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_n, t\right) d t
$$
定义的动作，并考虑
$$
\begin{gathered}
\bar{q}_1(t)=q_1(t)+\delta q_1(t), \
\vdots \
\bar{q}_n(t)=q_n(t)+\delta q_n(t),
\end{gathered}
$$
，其变化$\delta q_1, \ldots, \delta q_n$是相互独立和任意的，端点条件$\delta q_k\left(t_1\right)=\delta q_k\left(t_2\right)=0, k=1, \ldots, n$除外。值得强调的是，正是广义坐标的相互独立性保证了每个广义坐标可以独立于其他广义坐标变化
物理代写|分析力学代写分析力学代考|等效拉格朗日量
汉密尔顿原理，也被称为最小作用原理，${ }^7$要求由两个拉格朗日量产生相同的运动方程，这两个拉格朗日量的差异是广义坐标和时间的任意函数的总时间导数
定义2.3.1两个拉格朗日量$\bar{L}(q, \dot{q}, t)$和$L(q, \dot{q}, t)$是等价的，如果它们在广义坐标和时间的任意函数$f(q, t)$上的总时间导数不同:
$$
\bar{L}(q, \dot{q}, t)=L(q, \dot{q}, t)+\frac{d}{d t} f(q, t) .
$$
定理2.3.1等价拉格朗日量产生相同的运动方程。与$\bar{L}$相关联的动作$\bar{S}$是
$$
\bar{S}=\int_{t_1}^{t_2} \bar{L}(q, \dot{q}, t) d t=\int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) d t+\int_{t_1}^{t_2} \frac{d f}{d t} d t=S+f\left(q\left(t_2\right), t_2\right)-f\left(q\left(t_1\right), t_1\right) .
$$
因为动作的变化使端点$q\left(t_1\right)$和$q\left(t_2\right)$固定，所以$\delta \bar{S}=\delta S$。因此，条件$\delta \bar{S}=0$和$\delta S=0$是相同的，表明$\bar{L}$和$L$产生完全相同的运动方程
通过直接代入拉格朗日方程，证明等价的拉格朗日量可以得到相同的运动方程
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