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物理代写|分析力学代写Analytical Mechanics代考|Lagrange Multipliers

As a consequence of (2.68), the equation
$$
\int_{t_1}^{t_2} d t \sum_{l=1}^p \lambda_l\left(\sum_{k=1}^n a_{l k} \delta q_k\right)=\int_{t_1}^{t_2} d t \sum_{k=1}^n\left(\sum_{l=1}^p \lambda_l a_{l k}\right) \delta q_k=0
$$
is obviously valid for all values of the Lagrange multipliers $\lambda_1(t), \ldots, \lambda_p(t)$. Adding (2.69) to (2.67) there results
$$
\int_{t_1}^{t_2} d t \sum_{k=1}^n\left{\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)+\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}\right} \delta q_k=0 .
$$
Since the $\delta q$ s are not independent, nothing can he said about the coefficient of each $\delta q_k$ in this last equation. With an adequate numbering of the variables, we can take the first $n-p$ variations $\delta q_1, \ldots, \delta q_{n-p}$ as mutually independent, the last $p$ variations being determined in terms of the first ones by solving the $p$ equations (2.68). On the other hand, we have $p$ Lagrange multipliers at our disposal and they can be chosen such that the coefficients of the last $p$ variations in (2.70) vanish – that is,
$$
\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)+\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}=0, \quad k=n-p+1, \ldots, n .
$$
With the $\lambda .$ s determined by Eqs. (2.71), Eq. (2.70) reduces to
$$
\int_{t_1}^{t_2} d t \sum_{k=1}^{n-p}\left{\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)+\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}\right} \delta q_k=0,
$$
which involves only the independent variations $\delta q_1, \ldots, \delta q_{n-p}$, implying
$$
\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)+\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}=0, \quad k=1, \ldots, n-p .
$$

物理代写|分析力学代写Analytical Mechanics代考|Constraint Forces

It remains to investigate the physical meaning of the Lagrange multipliers, which are also determined in the process of solving the equations of motion. Let us imagine the constraints removed and generalised forces $Q_k^{\prime}$ acting without causing any change to the motion of the system. This would only occur if $Q_k^{\prime}$ were the constraint forces because only then the system would obey the restrictions (2.75). But, taking into account that $L$ includes only the applied forces, the additional forces $Q_k^{\prime}$ would appear in the equations of motion in the form $(1.145)$ – that is,
$$
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_k}=Q_k^{\prime} . $$ In order for the motions to be identical, the equations of motion (2.74) and (2.76) must be identical. In other words, $$ Q_k^{\prime}=\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}
$$
is the $k$ th component of the generalised constraint force. Thus, in addition to the motion of the system, in the present formulation the constraint forces appear as part of the answer. It must not be forgotten that the components of the generalised constraint force and the constraint forces proper are related by ( $1.75)$.

The conclusion of the above analysis is that, suitably modified, Lagrange’s equations are valid even in the presence of an important class of non-holonomic constraints. Over and above the motion of the mechanical system, the constraint forces are determined as an important subproduct of the Lagrange multiplier formalism. ${ }^{11}$

Exercise 2.4.1 Prove that the total virtual work of the generalised constraint forces (2.77) is zero. This shows that even in the presence of non-holonomic constraints Hamilton’s principle can be in harmony with d’Alembert’s principle.

物理代写|分析力学代写Analytical Mechanics代考|PHY225

物理代写|分析力学代写分析力学代考|拉格朗日乘子


由于(2.68)的结果,
$$
\int_{t_1}^{t_2} d t \sum_{l=1}^p \lambda_l\left(\sum_{k=1}^n a_{l k} \delta q_k\right)=\int_{t_1}^{t_2} d t \sum_{k=1}^n\left(\sum_{l=1}^p \lambda_l a_{l k}\right) \delta q_k=0
$$
显然对拉格朗日乘子的所有值$\lambda_1(t), \ldots, \lambda_p(t)$都有效。把(2.69)加到(2.67)有结果
$$
\int_{t_1}^{t_2} d t \sum_{k=1}^n\left{\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)+\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}\right} \delta q_k=0 .
$$
因为$\delta q$不是独立的,所以最后这个方程中每个$\delta q_k$的系数就没有什么可说的了。有了足够的变量编号,我们可以将第一个$n-p$变量$\delta q_1, \ldots, \delta q_{n-p}$作为相互独立的变量,最后一个$p$变量通过求解$p$方程(2.68)根据第一个变量确定。另一方面,我们可以使用$p$拉格朗日乘子,它们的选择使(2.70)中最后$p$变量的系数消失——即
$$
\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)+\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}=0, \quad k=n-p+1, \ldots, n .
$$
, $\lambda .$ s由等式确定。(2.71),式(2.70)简化为
$$
\int_{t_1}^{t_2} d t \sum_{k=1}^{n-p}\left{\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)+\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}\right} \delta q_k=0,
$$
,其中只涉及独立变量$\delta q_1, \ldots, \delta q_{n-p}$,意味着
$$
\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)+\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}=0, \quad k=1, \ldots, n-p .
$$

物理代写|分析力学代写分析力学代考|约束力


仍需研究拉格朗日乘子的物理意义,拉格朗日乘子也是在求解运动方程的过程中确定的。让我们想象去掉约束和广义力$Q_k^{\prime}$作用而不引起系统运动的任何变化。这只会发生在$Q_k^{\prime}$是约束力的情况下,因为只有这样系统才会服从约束(2.75)。但是,考虑到$L$只包括施加的力,附加的力$Q_k^{\prime}$将以$(1.145)$的形式出现在运动方程中,即
$$
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}k}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_k}=Q_k^{\prime} . $$为了使运动相同,运动方程(2.74)和(2.76)必须相同。换句话说,$$ Q_k^{\prime}=\sum{l=1}^p \lambda_l a_{l k}
$$
是广义约束力的第$k$个分量。因此,除了系统的运动,在目前的表述中,约束力似乎是答案的一部分。我们不能忘记,广义约束力的组成部分和固有约束力的组成部分是由($1.75)$ . .


以上分析的结论是,经过适当的修正,拉格朗日方程即使在存在一类重要的非完整约束时也是有效的。除了机械系统的运动之外,约束力被确定为拉格朗日乘子形式的一个重要的子产物。${ }^{11}$


证明广义约束力的总虚功(2.77)为零。这表明,即使在存在非完整约束的情况下,汉密尔顿原理也可以与达朗伯原理和谐一致

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