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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Optimized Control of State Transfer through Noisy
QI processing and communication require reliable transfer of QI between distant nodes of a network, despite the vulnerability of the process to noise and perturbations. A simple control involves only the source and target (boundary) qubits that are weakly coupled to a chain of spins with identical couplings. Quantum states can then be transmitted with arbitrarily high fidelity at the expense of increasing the transfer time. Yet, even if identical couplings could be ensured, the required slowdown of the transfer would be detrimental, because of omnipresent decoherence.
To overcome this problem, we may optimize the trade-off between fidelity and transfer speed through noisy spin channels. This approach employs temporal modulation of the couplings between the boundary qubits and the channel spins. This modulation is treated as dynamical control of the boundary qubits that are coupled to a fermionic bath that is the source of noise. This modulation aims at realizing an optimal spectral filter that blocks transfer via the channel eigenmodes that are responsible for noise-induced leakage of the QI. We show that under optimal modulation, the fidelity and the speed of transfer can be improved by several orders of magnitude, and the fastest possible transfer is achievable (for a given fidelity).
Let us specifically consider a chain of $N+2$ spin- $1 / 2$ particles with $\mathrm{XX}$ interactions between nearest neighbors. The chain and boundary-coupling Hamiltonians, $H_0$ and $H_{\mathrm{bc}}$, are given by
$$
\begin{aligned}
H_0 &=\hbar \sum_{i=1}^{N-1} \frac{J_i}{2}\left(\sigma_{x i} \sigma_{x, i+1}+\sigma_{y, i} \sigma_{y, i+1}\right) \
H_{\mathrm{bc}}(t) &=\hbar g(t) \sum_{i \in{0, N}} \frac{J_i}{2}\left(\sigma_{x i} \sigma_{x, i+1}+\sigma_{y, i} \sigma_{y, i+1}\right)
\end{aligned}
$$
Here $\sigma_{x(y) i}$ are the appropriate Pauli matrices, $J_i$ are the corresponding exchangeinteraction couplings, and $g(t)$ is the temporally modulated coupling strength. The magnetization-conserving $H_0$ can be mapped onto a noninteracting fermionic Hamiltonian that has the diagonal, particle-conserving form $H_0=\sum_{k=1}^N \hbar \omega_k b_k^{\dagger} b_k$, where $b_k^{\dagger}$ populates a fermionic single-particle eigenstate $\left|\omega_k\right\rangle$ of energy $\omega_k$.
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Optimal Filter Design
We resort to modulation as a tool to minimize the infidelity $\zeta\left(t_{\mathrm{f}}\right)=1-f_{0, N+1}\left(t_{\mathrm{f}}\right)$ by rendering the overlap between the bath and system spectra as small as possible,
$$
\min \zeta\left(t_{\mathrm{f}}\right)=\min \operatorname{Re} \int_0^{t_f} d t \int_0^t d t^{\prime} \sum_{\pm} \Omega_{\pm}(t) \Omega_{\pm}\left(t^{\prime}\right) \Phi_{\pm}\left(t-t^{\prime}\right) .
$$
Here $\Phi_{\pm}(t)=\sum_{k \in k \text { odd(even) }}\left|\eta_k\right|^2 e^{-i \omega_k t}$ are the correlation functions associated with the odd (even) bath modes, respectively. The corresponding dynamicalcontrol functions are $\Omega_{+}(t)=g(t) \cos [\sqrt{2} \phi(t)]$ and $\Omega_{-}(t)=g(t)$. In the energy domain, (14.28) has the form
$$
\zeta\left(t_{\mathrm{f}}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} d \omega \sum_{\pm} F_{t f, \pm}(\omega) G_{\pm}(\omega) .
$$
Here,
$$
G_{\pm}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d t \Phi_{\pm}(t) e^{i \omega t}
$$
are the bath-spectrum functions, corresponding to odd (even) parity modes, and
$$
F_{t_i, \pm}(\omega)=\frac{1}{2 \pi}\left|\int_0^{t_f} d t \Omega_{\pm}(t) e^{i \omega t}\right|^2
$$
are the filter-spectrum functions, which can be designed by the modulation control. The optimal modulation minimizes the overlap integrals of $G_{\pm}(\omega)$ and $F_{l_1, \pm}(\omega)$ for a given $t_{\mathrm{f}}$ by the variational Euler-Lagrange (EL) method.
We assume the channel to be symmetric with respect to the source and target qubits and the number of eigenvalues to be odd (Fig. 14.3 – top inset). Under these assumptions, the central eigenvalue is invariant under noise on the couplings, provided a gap exists between this eigenvalue and the adjacent ones, that is, they are not strongly mixed by the noise, so as not to overlap. We also assume that the discreteness of the bath spectrum of the quantum channel is smoothed out by the noise. Then, considering the central eigenvalue as part of the system spectrum, a common characteristic of $G_{\pm}(\omega)$ is to have a central gap [Fig. 14.3(a)].
物理代写|热力学代写热力学代考|通过噪声的状态转移的优化控制
QI处理和通信需要在网络的遥远节点之间进行可靠的QI传输，尽管该过程容易受到噪声和扰动的影响。一个简单的控制只涉及源和目标(边界)量子位，它们弱耦合到具有相同耦合的自旋链。量子态可以以任意高保真度传输，代价是增加传输时间。然而，即使能够保证相同的耦合，由于无所不在的退相干，所需的传输减缓也将是有害的
为了克服这个问题，我们可以通过噪声自旋通道优化保真度和传输速度之间的权衡。该方法利用边界量子位和通道自旋之间的耦合的时间调制。这种调制被视为边界量子位元的动态控制，边界量子位元与费米子浴耦合，费米子浴是噪声源。这种调制的目的是实现一个最佳的光谱滤波器，阻止通过通道本征模的传输，该通道本征模负责QI的噪声诱导泄漏。我们表明，在最优调制下，保真度和传输速度可以提高几个数量级，并且可以实现最快的可能传输(对于给定的保真度)。让我们具体考虑一个由$N+2$自旋- $1 / 2$粒子组成的链，其最近的邻居之间具有$\mathrm{XX}$相互作用。链和边界耦合哈密顿量$H_0$和$H_{\mathrm{bc}}$由
$$
\begin{aligned}
H_0 &=\hbar \sum_{i=1}^{N-1} \frac{J_i}{2}\left(\sigma_{x i} \sigma_{x, i+1}+\sigma_{y, i} \sigma_{y, i+1}\right) \
H_{\mathrm{bc}}(t) &=\hbar g(t) \sum_{i \in{0, N}} \frac{J_i}{2}\left(\sigma_{x i} \sigma_{x, i+1}+\sigma_{y, i} \sigma_{y, i+1}\right)
\end{aligned}
$$
给出。其中$\sigma_{x(y) i}$是适当的泡利矩阵，$J_i$是相应的交换相互作用耦合，$g(t)$是时间调制耦合强度。磁守恒的$H_0$可以映射到非相互作用的费米子哈密顿量上，该费米子哈密顿量具有对角线的粒子守恒形式$H_0=\sum_{k=1}^N \hbar \omega_k b_k^{\dagger} b_k$，其中$b_k^{\dagger}$填充了能量$\omega_k$的费米子单粒子本征态$\left|\omega_k\right\rangle$
物理代写|热力学代写热力学代考|最优滤波器设计
我们把调制作为减少不忠的工具 $\zeta\left(t_{\mathrm{f}}\right)=1-f_{0, N+1}\left(t_{\mathrm{f}}\right)$ 通过使浴层光谱和体系光谱之间的重叠尽可能小，
$$
\min \zeta\left(t_{\mathrm{f}}\right)=\min \operatorname{Re} \int_0^{t_f} d t \int_0^t d t^{\prime} \sum_{\pm} \Omega_{\pm}(t) \Omega_{\pm}\left(t^{\prime}\right) \Phi_{\pm}\left(t-t^{\prime}\right) .
$$
这里 $\Phi_{\pm}(t)=\sum_{k \in k \text { odd(even) }}\left|\eta_k\right|^2 e^{-i \omega_k t}$ 分别与奇(偶)浴模相关的相关函数。相应的动态控制函数为 $\Omega_{+}(t)=g(t) \cos [\sqrt{2} \phi(t)]$ 和 $\Omega_{-}(t)=g(t)$。在能量域中，(14.28)的形式为
$$
\zeta\left(t_{\mathrm{f}}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} d \omega \sum_{\pm} F_{t f, \pm}(\omega) G_{\pm}(\omega) .
$$
这里，
$$
G_{\pm}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d t \Phi_{\pm}(t) e^{i \omega t}
$$
为bath-spectrum函数，对应奇(偶)奇偶校验模式，
$$
F_{t_i, \pm}(\omega)=\frac{1}{2 \pi}\left|\int_0^{t_f} d t \Omega_{\pm}(t) e^{i \omega t}\right|^2
$$
为可通过调制控制设计的滤波频谱函数。最优调制使重叠积分最小化 $G_{\pm}(\omega)$ 和 $F_{l_1, \pm}(\omega)$ 对于一个给定的 $t_{\mathrm{f}}$ .
我们假设信道相对于源和目标量子位是对称的，并且特征值的数量是奇数(图14.3 -顶部插入)。在这些假设下，中心特征值在耦合上的噪声下是不变的，只要该特征值与相邻特征值之间存在间隙，即它们不受噪声的强烈混合，从而不重叠。我们还假设量子通道浴谱的离散性被噪声平滑掉了。然后，考虑中心特征值作为系统谱的一部分，$G_{\pm}(\omega)$的一个共同特征是有一个中心间隙[图14.3(a)]
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