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物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Effects of Thermal Undulations
It has been well known to physiologists for more than hundred years that red blood cells flicker, indicative of shape fluctuations or undulations. The origin is the thermal collective motion of lipid molecules. To quantify the fluctuations and their correlations, we consider a planar membrane, where a position of the membrane is specified by $\boldsymbol{r}=(\boldsymbol{x}, h(\boldsymbol{x}))$ where $\boldsymbol{x}=(x, y)$ is a two dimensional position on the reference flat surface and $h(\boldsymbol{x})$ is the height of undulation (Fig. 12.8). In this section we evaluate $\left\langle h^2\right\rangle,\langle h(\boldsymbol{x}) \cdot h(0)\rangle,\left\langle(h(\boldsymbol{x})-h(0))^2\right\rangle$, and $\langle\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{n}(0)\rangle$, where $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})$ is a normal vector outward from the surface at $\boldsymbol{x}$. To this end, we begin with constructing the effective Hamiltonian in terms of the height undulation field $h(\boldsymbol{x})$.
Consider a stress-free, square membrane, which projects on the area $A_0=L^2$ (Fig. 12.8). The element of the undulating surface at $\boldsymbol{r}$ is constructed by a cross product of the two surface tangent vectors along $x$ and $y$ axis, $\boldsymbol{u}_x=\partial \boldsymbol{r} / \partial x=$ $(1,0, \partial h / \partial x)$ and $\boldsymbol{u}_y-\partial \boldsymbol{r} / \partial y-(0,1, \partial h / \partial y)$ :
$$
d \mathcal{A}=\left|\boldsymbol{u}_x \times \boldsymbol{u}_y\right| d x d y=\left[1+\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2\right] d x d y
$$
Due to the thermal fluctuations, the area increases to
$$
\begin{aligned}
\mathcal{A} &=\int_0^L d x \int_0^L d y\left[1+\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2\right]^{1 / 2} \
&=A_0+\Delta \mathcal{A}
\end{aligned}
$$
where
$$
\Delta \mathcal{A} \approx \frac{1}{2} \int_0^L d x \int_0^L d y\left[\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2\right]=\frac{1}{2} \int d^2 x\left(\nabla_x h(\boldsymbol{x})\right)^2
$$
is the area increase evaluated to the harmonic order in $h$, where $\nabla_x$ is the two dimensional gradient. For an elastic surface with a uniform surface tension $\gamma$ and no bending rigidity, the surface free energy (12.10) of deformation is
$$
\mathcal{F}_S=\gamma \Delta \mathcal{A}=\frac{\gamma}{2} \int d^2 \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{\nabla}_x h(\boldsymbol{x})\right)^2
$$
物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Surface Undulation Fluctuation and Correlation
To facilitate calculating the averages of the quantities associated with undulation, we deal with the Fourier transform for $h$ :
$$
h(q)=\int d^2 x e^{-i q \cdot x} h(\boldsymbol{x})
$$
and
$$
h(\boldsymbol{x})=\frac{1}{L^2} \sum_{\boldsymbol{q}} e^{i q \cdot x} h(\boldsymbol{q}) .
$$
We use the periodic BC, so that $q=\left(q_x, q_y\right)$ with each component respectively taking $N$ values, $q_n=2 \pi n / L, n=\pm 1, \pm 2 \ldots, \pm N / 2$, where $N=L / a, a$ is a microscopic length which is in the order of the diameter of the lipid molecule.
The mean square of the undulation amplitude is defined as
$$
\begin{aligned}
\left\langle h^2\right\rangle & \equiv \frac{1}{L^2} \int d^2 \boldsymbol{x}\left\langle h^2(\boldsymbol{x})\right\rangle \
&=\frac{1}{L^6} \int d^2 \boldsymbol{x} \sum_q \sum_{q^{\prime}}\left\langle h(\boldsymbol{q}) h^\left(\boldsymbol{q}^{\prime}\right)\right\rangle e^{i\left(\boldsymbol{q}-q^{\prime}\right) \cdot \boldsymbol{x}} \ &=\frac{1}{L^4} \sum_{\boldsymbol{q}}\left\langle|h(\boldsymbol{q})|^2\right\rangle \end{aligned} $$ where we used $$ \frac{1}{L^2} \int e^{i\left(q-q^{\prime}\right) \cdot x} d^2 x=\delta_{q q^{\prime} \cdot} $$ The undulation correlation function is now expressed as $$ C_h\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)=\left\langle h(\boldsymbol{x}) h\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right\rangle=\frac{1}{L^4} \sum_{\boldsymbol{q}} \sum_{\boldsymbol{q}^{\prime}} e^{i q \cdot x-i \boldsymbol{q}^{\prime} \cdot x^{\prime}}\left\langle h(\boldsymbol{q}) h^\left(\boldsymbol{q}^{\prime}\right)\right\rangle .
$$
物理代写|统计物理代写物质统计物理学代考|热波动的影响
生理学家们在一百多年前就知道红细胞会闪烁，这表明红细胞的形状波动。其起源是脂质分子的热集体运动。为了量化波动及其相关性，我们考虑一个平面膜，其中膜的位置由$\boldsymbol{r}=(\boldsymbol{x}, h(\boldsymbol{x}))$指定，其中$\boldsymbol{x}=(x, y)$是参考平面上的二维位置，$h(\boldsymbol{x})$是波动的高度(图12.8)。在本节中，我们计算$\left\langle h^2\right\rangle,\langle h(\boldsymbol{x}) \cdot h(0)\rangle,\left\langle(h(\boldsymbol{x})-h(0))^2\right\rangle$和$\langle\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{n}(0)\rangle$，其中$\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})$是一个从$\boldsymbol{x}$处表面向外的法向量。为此，我们首先根据高度波动场$h(\boldsymbol{x})$构造有效哈密顿量。
考虑一个无应力的方形膜，它投射在$A_0=L^2$区域上(图12.8)。在$\boldsymbol{r}$处的波动面元素是由沿着$x$和$y$轴的两个表面切向量的叉乘构成的，$\boldsymbol{u}_x=\partial \boldsymbol{r} / \partial x=$$(1,0, \partial h / \partial x)$和$\boldsymbol{u}_y-\partial \boldsymbol{r} / \partial y-(0,1, \partial h / \partial y)$:由于热波动，面积增加到
$$
d \mathcal{A}=\left|\boldsymbol{u}_x \times \boldsymbol{u}_y\right| d x d y=\left[1+\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2\right] d x d y
$$
$$
\begin{aligned}
\mathcal{A} &=\int_0^L d x \int_0^L d y\left[1+\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2\right]^{1 / 2} \
&=A_0+\Delta \mathcal{A}
\end{aligned}
$$
其中
$$
\Delta \mathcal{A} \approx \frac{1}{2} \int_0^L d x \int_0^L d y\left[\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2\right]=\frac{1}{2} \int d^2 x\left(\nabla_x h(\boldsymbol{x})\right)^2
$$
是在$h$按谐波顺序计算的面积增加。其中$\nabla_x$为二维梯度。对于表面张力均匀$\gamma$且无弯曲刚度的弹性表面，变形的表面自由能(12.10)
$$
\mathcal{F}_S=\gamma \Delta \mathcal{A}=\frac{\gamma}{2} \int d^2 \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{\nabla}_x h(\boldsymbol{x})\right)^2
$$
物理代写|统计物理代写物质统计物理学代考|表面波动涨落与相关
. .
为了便于计算与波动相关的量的平均值，我们处理$h$:
$$
h(q)=\int d^2 x e^{-i q \cdot x} h(\boldsymbol{x})
$$
和的傅里叶变换
$$
h(\boldsymbol{x})=\frac{1}{L^2} \sum_{\boldsymbol{q}} e^{i q \cdot x} h(\boldsymbol{q}) .
$$
我们使用周期BC，使$q=\left(q_x, q_y\right)$和每个组分分别取$N$值，$q_n=2 \pi n / L, n=\pm 1, \pm 2 \ldots, \pm N / 2$，其中$N=L / a, a$是一个微观长度，与脂质分子的直径的顺序相同。波动幅值的均方定义为
$$
\begin{aligned}
\left\langle h^2\right\rangle & \equiv \frac{1}{L^2} \int d^2 \boldsymbol{x}\left\langle h^2(\boldsymbol{x})\right\rangle \
&=\frac{1}{L^6} \int d^2 \boldsymbol{x} \sum_q \sum_{q^{\prime}}\left\langle h(\boldsymbol{q}) h^\left(\boldsymbol{q}^{\prime}\right)\right\rangle e^{i\left(\boldsymbol{q}-q^{\prime}\right) \cdot \boldsymbol{x}} \ &=\frac{1}{L^4} \sum_{\boldsymbol{q}}\left\langle|h(\boldsymbol{q})|^2\right\rangle \end{aligned} $$，其中我们使用$$ \frac{1}{L^2} \int e^{i\left(q-q^{\prime}\right) \cdot x} d^2 x=\delta_{q q^{\prime} \cdot} $$波动相关函数现在表示为$$ C_h\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)=\left\langle h(\boldsymbol{x}) h\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right\rangle=\frac{1}{L^4} \sum_{\boldsymbol{q}} \sum_{\boldsymbol{q}^{\prime}} e^{i q \cdot x-i \boldsymbol{q}^{\prime} \cdot x^{\prime}}\left\langle h(\boldsymbol{q}) h^\left(\boldsymbol{q}^{\prime}\right)\right\rangle .
$$
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