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物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Two components of the Einstein equations

We can now derive the evolution equations for $\Phi$ and $\Psi$, our scalar perturbations to the Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric. We have several different options here, because the Einstein equations
$$
G^\mu{ }_v=8 \pi G T_v^\mu
$$
have 10 components and we need only two. All of the other eight components will either be zero at first-order or redundant. ${ }^3$

The first component we will use is the time-time component. Thus we need to evaluate
$$
\begin{aligned}
G_0^0 &=g^{00}\left[R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R\right] \
&=(-1+2 \Psi) R_{00}-\frac{R}{2} .
\end{aligned}
$$
Here one of the indices has been raised by multiplying $G_{00}$ by $g^{00}$ (recall that the $g^{0 i}$ vanish). This turns out to simplify the energy-momentum tensor (see Sect. $3.4$ and Exercise 3.12) which supplies the right-hand side. Also note that the second line follows from the first since $g^{00} g_{00}=1$. We have computed the time-time component of the Ricci tensor (Eq. (6.26)) and the perturbed Ricci scalar (Eq. (6.30)), so the first-order part of the timetime component of the Einstein tensor is
$$
\begin{aligned}
\delta G_0^0=&-6 \Psi \frac{\ddot{a}}{a}+\frac{k^2}{a^2} \Psi+3 \Phi_{, 00}-3 H\left(\Psi_{, 0}-2 \Phi_{, 0}\right) \
&+6 \Psi\left(H^2+\frac{\ddot{a}}{a}\right)-\frac{k^2}{a^2} \Psi-3 \Phi_{, 00} \
&+3 H\left(\Psi_{, 0}-4 \Phi_{, 0}\right)-2 \frac{k^2 \Phi}{a^2}
\end{aligned}
$$

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Tensor perturbations

Until now, we have derived equations applying to the scalar perturbations of the homogeneous FLRW universe. This focus is reasonable: as we have seen, scalar perturbations to the metric are sourced by density fluctuations and vice versa. For the most part, the density fluctuations that form the structure of the universe are our primary interest. Moreover, thanks to the decomposition theorem it is perfectly fine to study scalar perturbations in isolation.

Nonetheless, we have seen in Sect. $6.1$ that there are other types of gravitational perturbations, in particular tensor perturbations. In the next chapter we will see that the leading theory for the origin of scalar perturbations-inflation-also predicts tensor perturbations. Independently of cosmology, though, gravitational waves have emerged as a powerful probe of diverse astrophysical phenomena in the aftermath of their first detection by the LIGO collaboration. The wavelengths that LIGO is sensitive to are of order hundreds of kilometers, while we will be considering wavelengths of thousands of Mpc. However, the fundamental equation that governs their production and propagation is identical and we are now all set to derive that equation.

The most promising way to search for cosmological gravitational waves is through the distortions they induce in the CMB, especially on large scales. Sprinkled throughout the book, therefore, are exercises relating to tensor perturbations. The third type, vector perturbations, are also covered in the exercises. They are less interesting, since they are not sourced in appreciable amounts in most cosmological scenarios and, in any case, decay rapidly after they are produced. The tools needed to study vector and tensor modes are precisely those we crafted when studying scalar perturbations.

Tensor perturbations can be characterized by a metric perturbation (see Eq. (6.1)) with $h_{00}=-1, h_{0 i}=0$, and
$$
\delta g_{i j}(t, \boldsymbol{x})=a^2(t) h_{i j}^{\mathrm{TT}}(t, \boldsymbol{x}), \quad h_{i j}^{\mathrm{TT}}=\left(\begin{array}{ccc}
h_{+} & h_{\times} & 0 \
h_{\times} & -h_{+} & 0 \
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
That is, the perturbations to the metric are described by two functions, $h_{+}$and $h_{\times}$, assumed small. For definiteness, we have chosen the perturbations to be in the $x-y$ plane.

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|ASTR3002

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|爱因斯坦方程的两个分量


我们现在可以推导出$\Phi$和$\Psi$的演化方程,我们对Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker度规的标量扰动。这里我们有几个不同的选项,因为爱因斯坦方程
$$
G^\mu{ }_v=8 \pi G T_v^\mu
$$
有10个分量,而我们只需要两个。其他8个分量要么一阶为零,要么是多余的。${ }^3$


我们将使用的第一个组件是time-time组件。因此,我们需要求值
$$
\begin{aligned}
G_0^0 &=g^{00}\left[R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R\right] \
&=(-1+2 \Psi) R_{00}-\frac{R}{2} .
\end{aligned}
$$
这里的一个指标是通过将$G_{00}$乘以$g^{00}$(回想一下$g^{0 i}$消失了)得到的。结果证明,这简化了能量动量张量(见$3.4$节和练习3.12),它提供了右边。还要注意,从$g^{00} g_{00}=1$开始,第二行从第一行开始。我们已经计算了里奇张量的时间-时间分量(Eq.(6.26))和摄动里奇标量(Eq.(6.30)),因此爱因斯坦张量的时间-时间分量的一阶部分
$$
\begin{aligned}
\delta G_0^0=&-6 \Psi \frac{\ddot{a}}{a}+\frac{k^2}{a^2} \Psi+3 \Phi_{, 00}-3 H\left(\Psi_{, 0}-2 \Phi_{, 0}\right) \
&+6 \Psi\left(H^2+\frac{\ddot{a}}{a}\right)-\frac{k^2}{a^2} \Psi-3 \Phi_{, 00} \
&+3 H\left(\Psi_{, 0}-4 \Phi_{, 0}\right)-2 \frac{k^2 \Phi}{a^2}
\end{aligned}
$$

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|张量扰动


到目前为止,我们已经推导出了适用于齐次FLRW宇宙的标量扰动的方程。这种关注是合理的:正如我们所看到的,度规的标量扰动是由密度波动引起的,反之亦然。在大多数情况下,构成宇宙结构的密度波动是我们的主要兴趣所在。此外,由于分解定理的存在,孤立地研究标量摄动是完全可行的


尽管如此,我们已经在$6.1$节中看到还有其他类型的引力摄动,特别是张量摄动。在下一章中,我们将看到标量摄动起源的主要理论——膨胀——也预测了张量摄动。不过,引力波独立于宇宙学之外,在LIGO合作首次探测到引力波之后,就成为了一种探测各种天体物理现象的强大探测器。LIGO敏感的波长是几百公里量级,而我们将考虑的波长是几千Mpc。但是,控制它们产生和传播的基本方程是相同的,我们现在都准备推导这个方程了


寻找宇宙引力波最有希望的方法是通过它们在CMB中诱导的扭曲,特别是在大尺度上。因此,在本书中散布着与张量摄动有关的练习。第三种,矢量摄动,在练习中也有涉及。它们就不那么有趣了,因为在大多数宇宙学场景中,它们的数量并不可观,而且无论如何,它们在产生后会迅速衰减。研究矢量模和张量模所需要的工具正是我们在研究标量摄动时所使用的工具


张量摄动可以用一个度量摄动(见公式(6.1))来描述($h_{00}=-1, h_{0 i}=0$),
$$
\delta g_{i j}(t, \boldsymbol{x})=a^2(t) h_{i j}^{\mathrm{TT}}(t, \boldsymbol{x}), \quad h_{i j}^{\mathrm{TT}}=\left(\begin{array}{ccc}
h_{+} & h_{\times} & 0 \
h_{\times} & -h_{+} & 0 \
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
也就是说,对度量的摄动用两个函数$h_{+}$和$h_{\times}$来描述,假设它们很小。为了明确起见,我们选择微扰在$x-y$平面内。

物理代写|宇宙学代写cosmology代考

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