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物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Incompressible Flow Navier-Stokes Equations

In a wide region of aerodynamical applications low subsonic speeds are encountered. Since the free stream Mach number for these types of are very low, the flow is assumed incompressible. The continuity equation for the incompressible flow becomes
$$
\vec{\nabla} \cdot \vec{V}=0
$$
Equation $2.65$ implies that the flow is divergenless which in turn simplifies the constitutive relations, Eq. $2.51 \mathrm{a}$, b. In addition, because of low speeds the temperature changes in the flow field will also be low which makes the viscosity remain constant. Since the viscosity is constant, the momentum equation is simplified also to take the following form
$$
\rho \frac{D \vec{V}}{D t}=-\vec{\nabla} p+\mu \nabla^2 \vec{V}
$$

In case of turbulent flows, we use the effective viscosity: $\mu_e=\mu+\mu_T$ in Eq. $2.66$ which undergoes an averaging process after Reynolds decomposition which makes the final form of the equations to be called ‘Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations’.

Another convenient form of incompressible Navier-Stokes equations is written in terms of a new variable called vorticity. The vorticity vector is derived from the velocity vector as
$$
\vec{\omega}=\vec{\nabla} x \vec{V}
$$
The vorticity transport equation obtained from two dimensional version of Eq. $2.66$ reads as
$$
\frac{\partial \omega}{\partial t}+(\vec{V} \cdot \vec{\nabla}) \omega=\nabla^2 \omega
$$
Here, $\omega$ as the third component of the vorticity appears as a scalar quantity in Eq. 2.68, which does not have any pressure term involved. The integral form of Eqs. $2.65$ and $2.67$ reads as, (Wu and Gulcat 1981),
$$
\vec{V}(\vec{r}, t)=-\frac{1}{2 \pi} \int_R \frac{\vec{\omega}_o x\left(\vec{r}_o-\vec{r}\right)}{\left|\vec{r}_o-\vec{r}\right|^2} d R_0+\frac{1}{2 \pi} \int_B \frac{\left(\vec{V}_0 \cdot \vec{n}_0\right)\left(\vec{r}_o-\vec{r}\right)-\left(\vec{V}_0 x \vec{n}_0\right) x\left(\vec{r}_o-\vec{r}\right)}{\left|\vec{r}_o-\vec{r}\right|^2} d B_0
$$

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Aerodynamic Forces and Moments

The aim in performing the real gas flow analysis over bodies is to determine the aerodynamic forces, moments and the heat loads acting. For this purpose the computed pressure and stress fields are integrated over whole surface of the body. The surface stresses are ohtained from the velocity gradients calculated at the surface. Let us now write down the $x, y$ and $z$ components of the infinitesimal surface force $\mathrm{dF}$ acting on the infinitesimal area $\mathrm{dA}$ of the surface

Here, $n_x, n_y$ and $n_z$ are the direction cosines of the vector normal to the infinitesimal surface $\mathrm{dA}$ Let us now express the area $\mathrm{dA}$ in curvilinear coordinates. We can express the integral relations which give the total force components in xyz in terms of the differential area given in curvilinear coordinates $\xi \eta$ as shown in Fig. 2.8.

As seen in Fig. $2.8$ the differential area dA can be computed in terms of the product of two infinitesimal vectors given as the changes of the position vector $\mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$ in directions of $\xi$ and $\eta$ coordinates as $\mathrm{dA}=|(\mathrm{d} \mathbf{r} / \mathrm{d} \xi) \mathrm{x}(\mathrm{dr} / \mathrm{d} \eta)| \mathrm{d} \xi$ di . The vector product of these two vectors also give the direction of the unit normal $\mathbf{n}$ of dA. In explicit form we find
$$
\begin{aligned}
d A &=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
x_{\xi} & y_{\xi} & z_{\xi} \
x_\eta & y_\eta & z_\eta
\end{array} \mid\right| \xi d \eta \
&=\sqrt{\left(y_{\xi} z_\eta-z_{\xi} y_\eta\right)^2+\left(x_{\xi} z_\eta-z_{\xi} x_\eta\right)^2+\left(y_{\xi} y_\eta-x_{\xi} y_\eta\right)^2 d \xi d \eta}
\end{aligned}
$$
Here, the term under the square root is named reduced Jacobian I. The unit normal vector in open form becomes
$$
\vec{n}=\left[\left(y_{\xi} z_{\eta \eta}-z_{\xi} y_\eta\right) \vec{i}-\left(x_{\xi} z_{\eta \eta}-z_{\xi} x_\eta\right) \vec{j}+\left(y_{\xi} y_{\eta \eta}-x_{\xi} y_\eta\right) \vec{k}\right]
$$

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|ME439

物理代写|空气动力学代写空气动力学代考|不可压缩流Navier-Stokes方程


在空气动力学的广泛应用中,会遇到低亚音速。由于这类流的自由流马赫数非常低,因此假定流动不可压缩。不可压缩流动的连续性方程为
$$
\vec{\nabla} \cdot \vec{V}=0
$$
方程$2.65$表明流动是无散度的,这反过来简化了本构关系,Eq. $2.51 \mathrm{a}$, b。此外,由于速度较低,流场的温度变化也较小,这使得粘度保持不变。由于粘度是恒定的,动量方程也简化为
$$
\rho \frac{D \vec{V}}{D t}=-\vec{\nabla} p+\mu \nabla^2 \vec{V}
$$


对于湍流,我们在Eq. $2.66$中使用有效粘度:$\mu_e=\mu+\mu_T$,它经过Reynolds分解后的平均过程,使方程的最终形式称为“Reynolds平均Navier-Stokes方程”


不可压缩Navier-Stokes方程的另一种方便形式是用一个叫做涡量的新变量来表示的。涡量矢量由速度矢量导出为
$$
\vec{\omega}=\vec{\nabla} x \vec{V}
$$
从二维版本的Eq. $2.66$得到的涡量输运方程为
$$
\frac{\partial \omega}{\partial t}+(\vec{V} \cdot \vec{\nabla}) \omega=\nabla^2 \omega
$$
在这里,$\omega$作为涡量的第三个分量出现在方程2.68中,它不涉及任何压力项。方程的积分形式。$2.65$和$2.67$读作,(Wu和Gulcat 1981),
$$
\vec{V}(\vec{r}, t)=-\frac{1}{2 \pi} \int_R \frac{\vec{\omega}_o x\left(\vec{r}_o-\vec{r}\right)}{\left|\vec{r}_o-\vec{r}\right|^2} d R_0+\frac{1}{2 \pi} \int_B \frac{\left(\vec{V}_0 \cdot \vec{n}_0\right)\left(\vec{r}_o-\vec{r}\right)-\left(\vec{V}_0 x \vec{n}_0\right) x\left(\vec{r}_o-\vec{r}\right)}{\left|\vec{r}_o-\vec{r}\right|^2} d B_0
$$

物理代写|空气动力学代写空气动力学代考|空气动力和力矩


在物体上进行真实气体流动分析的目的是确定起作用的空气动力、力矩和热负荷。为此目的,计算出的压力和应力场是在整个物体表面的综合。表面应力是由在表面计算的速度梯度得到的。现在让我们写下作用在表面的微小面积$\mathrm{dA}$上的无穷小表面力$\mathrm{dF}$的$x, y$和$z$分量

这里,$n_x, n_y$和$n_z$是垂直于无穷小曲面的向量的方向余弦$\mathrm{dA}$现在让我们用曲线坐标表示面积$\mathrm{dA}$。我们可以用曲线坐标$\xi \eta$中给出的微分面积来表示xyz中的总力分量的积分关系,如图2.8所示 如图$2.8$所示,微分面积dA可以用两个无穷小向量的乘积来计算,即位置向量$\mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$在$\xi$和$\eta$坐标方向上的变化为$\mathrm{dA}=|(\mathrm{d} \mathbf{r} / \mathrm{d} \xi) \mathrm{x}(\mathrm{dr} / \mathrm{d} \eta)| \mathrm{d} \xi$ di。这两个向量的向量积也给出了dA的单位法线$\mathbf{n}$的方向。在显式形式中,我们发现
$$
\begin{aligned}
d A &=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
x_{\xi} & y_{\xi} & z_{\xi} \
x_\eta & y_\eta & z_\eta
\end{array} \mid\right| \xi d \eta \
&=\sqrt{\left(y_{\xi} z_\eta-z_{\xi} y_\eta\right)^2+\left(x_{\xi} z_\eta-z_{\xi} x_\eta\right)^2+\left(y_{\xi} y_\eta-x_{\xi} y_\eta\right)^2 d \xi d \eta}
\end{aligned}
$$
这里,平方根下的项被命名为约简雅可比矩阵i。开放形式的单位法向量变成
$$
\vec{n}=\left[\left(y_{\xi} z_{\eta \eta}-z_{\xi} y_\eta\right) \vec{i}-\left(x_{\xi} z_{\eta \eta}-z_{\xi} x_\eta\right) \vec{j}+\left(y_{\xi} y_{\eta \eta}-x_{\xi} y_\eta\right) \vec{k}\right]
$$

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考

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