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物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Turbulence Modeling

At high free stream speeds external flows are likely to go through a transition from laminar to turbulence on the airfoil surface close to the leading edge. Depending on the value of the Reynolds number most of the flow on the airfoil becomes turbulent. The Reynolds decomposition technique applied to the Navier-Stokes equations results in new unknowns of the flow field called Reynolds stresses. These new unknowns introduce more unknowns than the existing equations which is called the closure problem of turbulence. In order to close the problem, the Reynolds stresses are empirically modeled in terms of the velocity gradients. All these models aim at finding the suitable value of turbulence viscosity $\mu_{\mathrm{T}}$ applicable for different flow cases. The empirical turbulence models are in general based on the wind tunnel tests and some numerical verification. The simplest models of turbulence are the algebraic models. More complex models are based on differential equations. Although so many models have been introduced, there has not been a satisfactory model developed to reflect the main characteristics of a turbulent flow. Now, we present the well known Baldwin-Lomax model which is used for the numerical solution of attached or separated, incompressible or compressible flows of aerodynamics. This model is a simple algebraic model which assumes the turbulent region to be composed of two different layers. Accordingly the turbulence viscosity reads
$$
\mu_T=\left{\begin{array}{l}
\left(\mu_T\right)i, \text { for } z \geq z_c \ \left(\mu_T\right)_o, \text { for } z{\mathrm{c}}$ is the shortest distance where inner and outer viscosity values are equal. The inner viscosity value in terms of the mixing length $l$ and the vorticity $\omega$ reads as
$$
\left(\mu_T\right)i=\rho l^2|\omega| R_e \quad \text { and } \quad l=\kappa z\left[1-\exp \left(-z^{+} / A^{+}\right)\right] \quad(2.77 \mathrm{a}, \mathrm{b}) $$ Here, $\kappa=0.41$ is the von Karman constant, $\mathrm{A}^{+}=26$ damping coefficient and $z^{+}=z \sqrt{|\omega| R_e}$. The outer viscosity, on the other hand $$ \left(\mu_T\right)_o=K C{c p} F_w F_{k l}(z), \quad F_w=z_{m a k s} F_{m a k s}
$$

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Initial and Boundary Conditions

The study of aerodynamical problems with real gas effects requires solution of a system of partial differential equations which are first order in time and second order in space coordinates. In order to solve Eq. $2.49$ to determine the flow field, all dependent variables must be prescribed at time $t=0$, and for all times $t$ at the boundaries of the computational domain. All the prescribed values must be in accordance with the physics of the problem. As the initial conditions for the unknown values of $\mathbf{U}$ we prescribe the undisturbed flow conditions, i.e., $u=1$, $v=w=0$ which represents the impulsive start of the flow. Under these conditions the initial values for the unknown vector in generalized coordinates become
$$
\vec{U}(t=0, \xi, \eta, \varsigma)=\left(\begin{array}{c}
\rho^0 \
\rho^0 \
0 \
0 \
\varepsilon^0 \
c_i^0
\end{array}\right)
$$
Here, $\rho^0$ is the initial value for the density, $\varepsilon^0$ is the initial value for the energy and $c_i^0$ is the initial value of the $i$ th specie.

As for the boundary conditions: (i) the unknowns at the surface, and (ii) farfield boundary conditions must be provided.
Accordingly:
(i) As the no slip condition at the surface: $\mathbf{U}(\mathrm{t}, \xi, \eta, \varsigma=0$ ) $=\mathbf{0}$ is prescribed. (In Fig. $2.6, \varsigma=0$ prescribes the surface). In reactive flows the catalicity of the surface determines the value of the concentration gradients,
(ii) At the farfield: for $\varsigma_\rho=\varsigma_{\text {maks }} \mathbf{U}\left(\mathrm{t}, \xi, \eta, \zeta=\zeta_{\text {maks }}\right)=\vec{U}{\infty}$ is prescrihed, and the flux condition at $\xi=\xi{\text {maks }}$ is $\frac{\partial \vec{U}}{\partial \xi}=(\overrightarrow{0})$,
(iii) If there is a symmetry condition as shown in Fig. 2.6b, we prescribe the flux normal to the symmetry as $\frac{\partial \vec{U}}{\partial \eta}=(\overrightarrow{0})$.

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|MAE424

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|湍流建模

在高自由流速度下,外部流动可能会在靠近前缘的翼型表面上经历从层流到湍流的过渡。根据雷诺数的
值,翼型上的大部分流动变成湍流。应用于 Navier-Stokes 方程的雷诺分解技术会导致流场的新末知数, 称为雷诺应力。这些新的末知数引入了比现有方程更多的末知数,这被称为湍流的闭合问题。为了解决这 个问题,根据速度梯度对雷诺应力进行了经验建模。所有这些模型都旨在找到合适的湍流粘度值 $\mu_{\mathrm{T}}$ 适用 于不同的流量情况。经验湍流模型通常基于风洞试验和一些数值验证。最简单的湍流模型是代数模型。更 复杂的模型基于微分方程。尽管已经引入了如此多的模型,但还没有开发出令人满意的模型来反映湍流的 主要特征。现在,我们介绍众所周知的 Baldwin-Lomax 模型,该模型用于空气动力学的附着或分离、不可 压缩或可压缩流动的数值解。该模型是一个简单的代数模型,它假设湍流区域由两个不同的层組成。因 此,湍流粘度为
$\$ \$$
$\backslash \mathrm{mu}{-} T=\backslash$ left ${$ begin ${$ array $}{}$ istheshortestdistancewhereinnerandouterviscosityvaluesareequal. Theinnerviscosityvalueinterms landthevorticity $y$ 欧米茄readsas $\left(\mu_T\right) i=\rho l^2|\omega| R_e \quad$ and $\quad l=\kappa z\left[1-\exp \left(-z^{+} / A^{+}\right)\right] \quad$ (2.77a, b)Here, $\backslash$ kappa $=0.41$ isthevonKarmanconstant, $\backslash$ mathrm ${A}^{\wedge}{+}=26$ dampingcoefficientand $\mathrm{z}^{\wedge}{+}=\mathrm{Z} \backslash$ sqrt{|\mega| 回 覆}. Theouterviscosity, ontheotherhand $\left(\mu_T\right)_o=K C c p F_w F{k l}(z), \quad F_w=z_{\text {maks }} F_{\text {maks }} \$$

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|初始条件和边界条件

研究具有实际气体效应的空气动力学问题需要求解一个时间一阶、空间坐标二阶的偏微分方程组。为了解 决方程式。 $2.49$ 为了确定流场,必须在时间规定所有因变量 $t=0$, 并且一直 $t$ 在计算域的边界。所有规定 的值都必须符合问题的物理性质。作为末知值的初始条件 U我们规定了不受干扰的流动条件,即 $u=1$ , $v=w=0$ 这代表了流程的冲动开始。在这些条件下,广义坐标中末知向量的初始值变为
$$
\vec{U}(t=0, \xi, \eta, \varsigma)=\left(\rho^0 \rho^0 00 \varepsilon^0 c_i^0\right)
$$
这里, $\rho^0$ 是密度的初始值, $\varepsilon^0$ 是能量的初始值,并且 $c_i^0$ 是的初始值 $i$ 种。
至于边界条件:(i) 地表末知数,(ii) 必须提供远场边界条件。
因此:
(i) 作为地面无滑移条件: $\mathbf{U}(\mathrm{t}, \xi, \eta, \varsigma=0)=\mathbf{0}$ 是规定的。(在图。 $2.6, \varsigma=0$ 规定了表面)。在反应流 中,表面的催化性决定了浓度梯度的值,
(ii) 在远场:对于 $\varsigma_\rho=\varsigma_{\text {maks }} \mathbf{U}\left(\mathrm{t}, \xi, \eta, \zeta=\zeta_{\text {maks }}\right)=\vec{U} \infty$ 是规定的,并且通量条件在 $\xi=\xi$ maks 是 $\frac{\partial \vec{U}}{\partial \xi}=(\overrightarrow{0})$
(iii) 如果存在如图 2.6b 所示的对称条件,我们将垂直于对称的通量规定为 $\frac{\partial \vec{U}}{\partial \eta}=(\overrightarrow{0})$.

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