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物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Thin Shear Layer Navier-Stokes Equations

In the open form of Navier-Stokes Eqs. (2.53) , we observe the existence of second derivatives for the velocity and the temperature. This implies that the Navier-Stokes equations are second order partial differential equations. When the freestream speed is high, the Reynolds number is high. This makes the gradients of the flow parameters to be high normal to the surface as compared to the gradients parallel to the surface. Therefore, we can neglect the effect of the viscous terms which are parallel to the flow surface and simplify Eqs. 2.53. Let us now, perform some order of magnitude analysis for the simplification process on a simple wing surface immersed in a high free stream speed given in Fig. 2.7.

Since we consider the air flowing over the wing as a real gas, the boundary conditions on the surface will be (i) no slip condition and (ii) the wall temperature specification. According to Fig. 2.7, the wing surface is almost parallel to xy plane where the molecular diffusion parallel to the $\mathrm{xy}$ plane is negligible compared to the diffusion taking place normal to the surface. This is because of high free stream speed transporting the properties in the parallel direction much faster than the molecular diffusion. On the other hand, because of no slip condition, the gradients which are normal to the surface are much higher than the gradients parallel to the surface. The order of magnitude analysis performed on the terms of Eq. $2.53$ gives
$$
\frac{1}{R_e} \frac{\partial \hat{\mu}}{\partial \hat{z}}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{z}}\right) \gg \frac{1}{R_e} \frac{\partial \hat{\mu}}{\partial \hat{x}}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{x}}\right), \ldots, \frac{1}{R_e} \frac{\partial \hat{\mu}}{\partial \hat{y}}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{y}}\right) .
$$
The approximate form of the equations result in modeling an external real gas flow which takes place in a thin shear layer around the wing surface. Therefore, the first approximate form of Eq. $2.53$ is called ‘Thin Shear Layer Navier-Stokes Equations’ which are to be introduced next

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Boundary Layer Equations

In the attached or slightly detached external flow cases, we can obtain the surface pressure distribution using the methods described in Sect. 2-A and further simplify set of Eqs. $2.49$ and 2.54. In these simplifications we again resort to the order of magnitude analysis. Assuming again that the viscous effects are only in the vicinity of the surface of the body, we can consider the gradients and the diffusion normal to the surface we obtain
Continuity: $\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial \rho u}{\partial x}+\frac{\partial \rho w}{\partial z}=0$
Continuity of
The species: $\rho \frac{\partial c_i}{\partial t}+\rho u \frac{\partial c_i}{\partial x}+\rho w \frac{\partial c_i}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\rho D_{12} \frac{\partial c_i}{\partial z}\right)+\dot{w}i$ $\mathrm{x}-$ momentum: $\rho \frac{\partial u}{\partial t}+\rho u \frac{\partial u}{\partial x}+\rho w \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial z}\left(\mu \frac{\partial u}{\partial z}\right)$ $\mathrm{z}-$ momentum $: \frac{\partial p}{\partial z}=0$ Energy: $$ \rho \frac{\partial h}{\partial t}+\rho u \frac{\partial h}{\partial x}+\rho w \frac{\partial h}{\partial z}=\frac{\partial p}{\partial t}+u \frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2+\frac{\partial}{\partial z}\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\rho D{12} \sum_i h_i \frac{\partial c_i}{\partial z}\right)
$$
Here, $x$ is the direction parallel to the surface, $z$ is the normal direction and $\mathrm{h}_i$ in Eq. $2.62$ is the enthalpy of species $i$.

The real gas effect in an external flow can be measured with the change caused in the stagnation enthalpy. If we neglect the effect of vertical velocity component, the stagnation enthalpy of the boundary layer flow reads: $h_{\mathrm{o}}=h+u^2 / 2$. The normal gradient of the stagnation enthalpy at a point then reads

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|ENGR087

物理代写|空气动力学代写空气动力学代考|薄剪切层Navier-Stokes方程

在Navier-Stokes方程式的开放形式。(2.53),我们观察到速度和温度的二阶导数的存在性。这意味着Navier-Stokes方程是二阶偏微分方程。当自由流速度高时,雷诺数高。这使得与平行于表面的梯度相比,垂直于表面的流动参数梯度高。因此,我们可以忽略平行于流面的粘性项的影响,简化式2.53。现在,让我们对浸没在图2.7所示的高自由流速度下的简单机翼表面的简化过程进行一些数量级分析 由于我们将流经机翼的空气视为真实气体,因此表面的边界条件为(i)无滑移条件和(ii)壁面温度规范。从图2.7可以看出,机翼表面几乎平行于xy平面,其中平行于$\mathrm{xy}$平面的分子扩散与垂直于表面发生的扩散相比可以忽略不计。这是由于高的自由流速度在平行方向上传输特性比分子扩散快得多。另一方面,由于无滑移条件,垂直于表面的梯度比平行于表面的梯度要高得多。对Eq. $2.53$进行的数量级分析给出了
$$
\frac{1}{R_e} \frac{\partial \hat{\mu}}{\partial \hat{z}}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{z}}\right) \gg \frac{1}{R_e} \frac{\partial \hat{\mu}}{\partial \hat{x}}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{x}}\right), \ldots, \frac{1}{R_e} \frac{\partial \hat{\mu}}{\partial \hat{y}}\left(\frac{\partial}{\partial \hat{y}}\right) .
$$
方程的近似形式导致了在机翼表面周围的薄剪切层中发生的外部真实气体流动的建模。因此,Eq. $2.53$的第一个近似形式被称为“薄剪切层Navier-Stokes方程”,这将在下面介绍

物理代写|空气动力学代写空气动力学代考|边界层方程


在附加或轻微分离的外部流动情况下,我们可以使用第2-A节所述的方法得到表面压力分布,并进一步简化方程式集。$2.49$和2.54。在这些简化中,我们再次诉诸数量级分析。再次假设粘滞效应只在物体表面附近,我们可以考虑梯度和向表面的扩散,我们得到
连续性:$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial \rho u}{\partial x}+\frac{\partial \rho w}{\partial z}=0$的连续性:$\rho \frac{\partial c_i}{\partial t}+\rho u \frac{\partial c_i}{\partial x}+\rho w \frac{\partial c_i}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\rho D_{12} \frac{\partial c_i}{\partial z}\right)+\dot{w}i$$\mathrm{x}-$动量:$\rho \frac{\partial u}{\partial t}+\rho u \frac{\partial u}{\partial x}+\rho w \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial z}\left(\mu \frac{\partial u}{\partial z}\right)$$\mathrm{z}-$动量$: \frac{\partial p}{\partial z}=0$能量:$$ \rho \frac{\partial h}{\partial t}+\rho u \frac{\partial h}{\partial x}+\rho w \frac{\partial h}{\partial z}=\frac{\partial p}{\partial t}+u \frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2+\frac{\partial}{\partial z}\left(k \frac{\partial T}{\partial z}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\rho D{12} \sum_i h_i \frac{\partial c_i}{\partial z}\right)
$$
这里$x$是平行于表面的方向,$z$是法线方向,在方程式中$\mathrm{h}_i$ . $2.62$是物种的焓$i$ .


外部流动中真正的气体效应可以用停滞焓的变化来衡量。如果忽略垂直速度分量的影响,边界层流动的滞止焓为:$h_{\mathrm{o}}=h+u^2 / 2$。在某一点,停滞焓的法向梯度为

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考

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