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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Electrons and holes

The case of semiconductors, characterised by two partially filled topmost bands, is especially intriguing and deserves more attention.

Let us consider a semiconductor with $N_{\text {val }}$ valence electrons and suppose that $N_{\mathrm{CB}}$ ones have been promoted to the conduction band by thermal excitation, while $N_{\mathrm{VB}}=N_{\mathrm{val}}-N_{\mathrm{CB}}$ electrons are left in the valence band. If an electric field is applied, the $N_{\mathrm{CB}}$ electrons in $\mathrm{CB}$ provide a contribution $J_{\mathrm{q}, \mathrm{CB}}$ to the total charge current density as large as
$$
J_{\mathrm{q}, \mathrm{CB}} \sim \sum_{k_{\mathrm{occ}} \in \mathrm{CB}} v_{\mathrm{CB}}\left(k_{\mathrm{occ}}\right),
$$
where the sum runs over the wavevectors corresponding to the occupied $\mathrm{CB}$ states. Similarly, the VB electrons provide a contribution
$$
J_{\mathrm{q}, \mathrm{VB}} \sim \sum_{k_{\mathrm{oxs}} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\mathrm{oce}}\right),
$$
where in this case the sum runs over the wavevectors of the VB states still occupied by the unexcited electrons. It is useful to rewrite this current density contribution in a different way
$$
\begin{aligned}
J_{\mathrm{q}, \mathrm{VB}} & \sim \sum_{k_{\mathrm{ocR}} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\mathrm{occ}}\right)+\sum_{k_{\text {cmply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {empty }}\right)-\sum_{k_{\text {emply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {empty }}\right) \
& \sim \sum_{k_{\text {cumply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}(k)-v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {empty }}\right)
\end{aligned}
$$
where the $\sum_{k_{\text {eaply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {emply }}\right)$ term is obtained by summing over the wavevectors corresponding to the emptied states in the valence band. By applying the result $8.34$, we understand that the first term on the right-hand side of the above equation is zero since it contains a sum over all the states of a totally filled band. This leads to the remarkable result
$$
J_{\mathrm{q}, \mathrm{VB}} \sim-\sum_{k_{\text {emply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {empty }}\right),
$$
which in physical terms is interpreted as if the $J_{\mathrm{q}, \mathrm{VB}}$ contribution is given by a new type of charge carriers which occupy the VB states left empty by excited electrons.

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Effective mass

We now readdress the electron dynamics under the action of an external electric field $\mathbf{E}$, preliminarily treated in section 8.3.3 where, however, we only considered the effect of the external force $-e|\mathbf{E}|$. Even if we still assume for the moment an idealised picture where no defects are present and ions are clamped at their ideal positions, we know that an electron travelling within a crystal experiences as well the interactions with the lattice and with all the remaining electrons. In short, we are faced with the problem of inserting the fundamental notion that we are dealing with band electrons, rather than free electrons.

By considering an infinitesimal time interval $d t$, the work done by external force $-e|\mathbf{E}|$ changes the electron energy by the amount
$$
\begin{aligned}
d E_n(k) &=-e|\mathbf{E}| v_n(k) d t \
&=\frac{-e|\mathbf{E}|}{\hbar} \frac{d E_n(k)}{d k} d t,
\end{aligned}
$$

leading to
$$
\frac{d k}{d t}=\frac{-e|\mathbf{E}|}{\hbar} .
$$
The rate of change of the electron velocity is
$$
\frac{d v_n}{d t}=\frac{d v_n}{d k} \frac{d k}{d t}=\frac{1}{\hbar} \frac{d^2 E_n(k)}{d k^2} \frac{-e|\mathbf{E}|}{\hbar},
$$
so that its equation of motion is conveniently written in the form
$$
-e|\mathbf{E}|=\left(\frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E_n(k)}{d k^2}\right)^{-1} \frac{d v_n}{d t},
$$
which indeed represents a very suggestive way of putting things: the quantity
$$
m_e^*=\left(\frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E_n(k)}{d k^2}\right)^{-1},
$$
plays the role of an electron effective mass, fully incorporating any band feature through the second derivative of the $E_n(k)$ dispersion.

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|PHYSICS3544

物理代写|固体物理代写固态物理代考|电子与空穴

.电子与空穴 .电子与空穴


半导体的情况,其特征是两个部分充满的顶部波段,特别有趣,值得更多的关注


让我们考虑一个具有$N_{\text {val }}$个价电子的半导体,并假设$N_{\mathrm{CB}}$个电子被热激发提升到导带,而$N_{\mathrm{VB}}=N_{\mathrm{val}}-N_{\mathrm{CB}}$个电子留在价带。如果施加电场,$\mathrm{CB}$中的$N_{\mathrm{CB}}$电子对总电荷电流密度的贡献为$J_{\mathrm{q}, \mathrm{CB}}$,其贡献大到
$$
J_{\mathrm{q}, \mathrm{CB}} \sim \sum_{k_{\mathrm{occ}} \in \mathrm{CB}} v_{\mathrm{CB}}\left(k_{\mathrm{occ}}\right),
$$
,其中总和经过与被占据的$\mathrm{CB}$状态对应的波矢。类似地,VB电子提供了一个
$$
J_{\mathrm{q}, \mathrm{VB}} \sim \sum_{k_{\mathrm{oxs}} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\mathrm{oce}}\right),
$$
的贡献,在这种情况下,总和经过了仍被未激发电子占据的VB态的波矢。用另一种方式重写电流密度贡献是有用的
$$
\begin{aligned}
J_{\mathrm{q}, \mathrm{VB}} & \sim \sum_{k_{\mathrm{ocR}} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\mathrm{occ}}\right)+\sum_{k_{\text {cmply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {empty }}\right)-\sum_{k_{\text {emply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {empty }}\right) \
& \sim \sum_{k_{\text {cumply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}(k)-v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {empty }}\right)
\end{aligned}
$$
,其中$\sum_{k_{\text {eaply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {emply }}\right)$项是通过对价带中空态对应的波矢求和得到的。通过应用结果$8.34$,我们知道上面方程右边的第一项是零,因为它包含一个完全充满的带的所有状态的和。这导致了显著的结果
$$
J_{\mathrm{q}, \mathrm{VB}} \sim-\sum_{k_{\text {emply }} \in \mathrm{VB}} v_{\mathrm{VB}}\left(k_{\text {empty }}\right),
$$
,这在物理上被解释为$J_{\mathrm{q}, \mathrm{VB}}$贡献是由一种新的载流子给出的,这种载流子占据了被激发电子留下的空的VB态。

物理代写|固体物理代写固态物理代考|有效质量


我们现在重新讨论外部电场作用下的电子动力学$\mathbf{E}$,在8.3.3节中初步处理过,但我们只考虑了外力的影响$-e|\mathbf{E}|$。即使我们现在仍然假设一个理想的画面,没有缺陷,离子被固定在它们的理想位置,我们知道在晶体中运动的电子也经历了与晶格和所有剩下的电子的相互作用。简而言之,我们面临的问题是插入这样一个基本概念:我们正在处理的是带电子,而不是自由电子


通过考虑无穷小的时间间隔$d t$,外力$-e|\mathbf{E}|$所做的功使电子能量改变的量
$$
\begin{aligned}
d E_n(k) &=-e|\mathbf{E}| v_n(k) d t \
&=\frac{-e|\mathbf{E}|}{\hbar} \frac{d E_n(k)}{d k} d t,
\end{aligned}
$$

导致
$$
\frac{d k}{d t}=\frac{-e|\mathbf{E}|}{\hbar} .
$$电子速度的变化率
$$
\frac{d v_n}{d t}=\frac{d v_n}{d k} \frac{d k}{d t}=\frac{1}{\hbar} \frac{d^2 E_n(k)}{d k^2} \frac{-e|\mathbf{E}|}{\hbar},
$$
,因此它的运动方程可以方便地写成
$$
-e|\mathbf{E}|=\left(\frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E_n(k)}{d k^2}\right)^{-1} \frac{d v_n}{d t},
$$
这确实代表了一种很有启发性的表达方式:数量
$$
m_e^*=\left(\frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E_n(k)}{d k^2}\right)^{-1},
$$
发挥了电子有效质量的作用,通过的二阶导数完全吸收了任何带的特征 $E_n(k)$ /p> .

.

物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考

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