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物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Dipole Approximation
Consider first a polarized particle with a size much smaller than the wavelength of light. We will specify later how this particle becomes polarized, for the moment it suffices to assume that it has some dipole moment $\boldsymbol{p}$. As a generic model, we describe the dipole by two particles with charges $\pm q$ that are separated by the distance vector $s$, see Fig. 4.1. The dipole moment is $p-q s$, and we denote the center-of-mass coordinate with $r$. With this, the charges, coordinates, and velocities of the two particles forming the dipole can be expressed as
$$
\begin{array}{lll}
q_1=-q, & \boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{r}-\frac{1}{2} \boldsymbol{s}, & \dot{\boldsymbol{r}}_1=\dot{\boldsymbol{r}}-\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{s}} \
q_2=+q, & \boldsymbol{r}_2=\boldsymbol{r}+\frac{1}{2} \boldsymbol{s}, & \dot{\boldsymbol{r}}_2=\dot{\boldsymbol{r}}+\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{s}}
\end{array}
$$
The electromagnetic and interatomic forces $f$ acting on the two particles then read
$$
\begin{aligned}
&\boldsymbol{F}1=-q\left[\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}_1\right)+\boldsymbol{v}_1 \times \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}_1\right)\right]+\boldsymbol{f}{12} \
&\boldsymbol{F}2=+q\left[\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}_2\right)+\boldsymbol{v}_2 \times \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}_2\right)\right]+\boldsymbol{f}{21} .
\end{aligned}
$$
For sufficiently small dipoles we can expand the electric field around the center-ofmass position $r$ and obtain
$$
\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r} \pm \frac{1}{2} \boldsymbol{s}\right) \approx \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \pm \frac{1}{2} \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})}{\partial r_k} s_k=\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \pm \frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}),
$$
with a similar expression for the magnetic field $\boldsymbol{B}$. To compute the total force acting on the dipole, we notice that the interatomic forces sum up to zero, $f_{12}+f_{21}=0$, whereas the sum over the electromagnetic forces becomes
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{F}=&-q\left[\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{E}+\left(\dot{\boldsymbol{r}}-\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{s}}\right) \times\left(\boldsymbol{B}-\frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{B}\right)\right] \
&+q\left[\boldsymbol{E}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{E}+\left(\dot{\boldsymbol{r}}+\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{s}}\right) \times\left(\boldsymbol{B}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{B}\right)\right]
\end{aligned}
$$
Here and in the following we suppress the dependence of $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}$ on $\boldsymbol{r}$. Working out the above expression leads us to
$$
\boldsymbol{F}=(\boldsymbol{p} \cdot \nabla) \boldsymbol{E}+\dot{\boldsymbol{p}} \times \boldsymbol{B}+\dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{p} \cdot \nabla) \boldsymbol{B}
$$
物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Geometrical Optics
In the opposite limit of particles that are substantially larger than the light wavelength, one can employ the framework of geometrical optics. Figure $4.2$ shows the principle at the example of a dielectric sphere. Our analysis closely follows the discussion of Sect. $3.3$ for ray tracing in optical lens systems. The computation of the forces is done through a simple ray tracing analysis, which can be divided into the following steps.
Rays. We assume that a given laser mode becomes tightly focused through a lens with a high numerical aperture, and start our ray description before the focusing lens. Here the fields propagate in the z-direction, and the total power depends on the field intensity $I(x, y)$
$$
P=\int I(x, y) d x d y \approx \sum_i P_i\left(x_i, y_i\right) .
$$
We approximate the incoming light fields by representative rays with power $P_i$ centered at $x_i, y_i$.
Focus Lens. At the focus lens, the rays are refracted towards the focus. When crossing the Gaussian reference sphere, the incoming fields are transformed according to Eq. (3.32).
Transmission and Reflection. When a ray crosses the boundary of the dielectric sphere, which is located close to the focus of the lens, part of it becomes reflected and part transmitted. In general, we can compute the reflection and transmission probabilities for planar interfaces using the Fresnel coefficients to be discussed in Sect. 8.3.1. The incoming power must be conserved,
$$
P_i=P_r+P_t,
$$
where $P_r$ and $P_t$ are the reflected and transmitted power, respectively. In addition, we use Snell’s law to compute the angles with respect to the outer surface normals of the sphere,
$$
\theta_i=\theta_r, \quad n_i \sin \theta_i=n_t \sin \theta_t .
$$
Here $n_i$ and $n_t$ are the refractive indices of the embedding medium and the dielectric sphere, respectively.
物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|偶极近似
首先考虑一个偏振粒子，它的大小远小于光的波长。我们将在后面详细说明这个粒子是如何极化的，目前它足以假设它有一些偶极矩$\boldsymbol{p}$。作为一个通用模型，我们用两个带电荷$\pm q$的粒子来描述偶极子，它们被距离矢量$s$隔开，如图4.1所示。偶极矩为$p-q s$，质心坐标为$r$。这样，形成偶极子的两个粒子的电荷、坐标和速度可以表示为
$$
\begin{array}{lll}
q_1=-q, & \boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{r}-\frac{1}{2} \boldsymbol{s}, & \dot{\boldsymbol{r}}_1=\dot{\boldsymbol{r}}-\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{s}} \
q_2=+q, & \boldsymbol{r}_2=\boldsymbol{r}+\frac{1}{2} \boldsymbol{s}, & \dot{\boldsymbol{r}}_2=\dot{\boldsymbol{r}}+\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{s}}
\end{array}
$$
电磁和原子间力$f$作用在两个粒子上，然后读取
$$
\begin{aligned}
&\boldsymbol{F}1=-q\left[\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}1\right)+\boldsymbol{v}_1 \times \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}_1\right)\right]+\boldsymbol{f}{12} \
&\boldsymbol{F}2=+q\left[\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}_2\right)+\boldsymbol{v}_2 \times \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}_2\right)\right]+\boldsymbol{f}{21} .
\end{aligned}
$$
对于足够小的偶极子，我们可以在质心位置$r$周围展开电场，得到
$$
\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r} \pm \frac{1}{2} \boldsymbol{s}\right) \approx \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \pm \frac{1}{2} \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})}{\partial r_k} s_k=\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \pm \frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}),
$$
磁场的类似表达式$\boldsymbol{B}$。为了计算作用在偶极子上的总力，我们注意到原子间力的总和为零，$f{12}+f_{21}=0$，而电磁力的总和为
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{F}=&-q\left[\boldsymbol{E}-\frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{E}+\left(\dot{\boldsymbol{r}}-\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{s}}\right) \times\left(\boldsymbol{B}-\frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{B}\right)\right] \
&+q\left[\boldsymbol{E}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{E}+\left(\dot{\boldsymbol{r}}+\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{s}}\right) \times\left(\boldsymbol{B}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{s} \cdot \nabla) \boldsymbol{B}\right)\right]
\end{aligned}
$$
在这里和下面我们抑制了$\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}$对$\boldsymbol{r}$的依赖。求出上述表达式，我们得到
$$
\boldsymbol{F}=(\boldsymbol{p} \cdot \nabla) \boldsymbol{E}+\dot{\boldsymbol{p}} \times \boldsymbol{B}+\dot{\boldsymbol{r}} \times(\boldsymbol{p} \cdot \nabla) \boldsymbol{B}
$$
物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|几何光学
对于大大大于光波长的粒子的相反极限，我们可以采用几何光学的框架。图$4.2$显示了电介质球示例中的原理。我们的分析与关于光学透镜系统中光线追踪的$3.3$节的讨论密切相关。力的计算是通过一个简单的射线追踪分析，可分为以下步骤
射线。我们假设给定的激光模式通过具有高数值孔径的透镜紧密聚焦，并在聚焦透镜之前开始我们的射线描述。这里的场沿z方向传播，总功率取决于场强$I(x, y)$
$$
P=\int I(x, y) d x d y \approx \sum_i P_i\left(x_i, y_i\right) .
$$
我们用功率$P_i$以$x_i, y_i$为中心的代表射线来近似入射光场。在聚焦透镜处，光线被折射到聚焦处。当穿过高斯参考球时，传入场根据式(3.32)进行变换。
传输和反射。当光线穿过靠近透镜焦点的介电球边界时，部分光线被反射，部分光线被透射。一般来说，我们可以使用8.3.1节中讨论的菲涅耳系数来计算平面界面的反射和透射概率。传入功率必须是守恒的，
$$
P_i=P_r+P_t,
$$
其中$P_r$和$P_t$分别是反射功率和发射功率。此外，我们利用斯奈尔定律计算球的外表面法线的夹角，
$$
\theta_i=\theta_r, \quad n_i \sin \theta_i=n_t \sin \theta_t .
$$
其中$n_i$和$n_t$分别是嵌入介质和介电球的折射率
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