物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|PHYS4055

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物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Optical Tweezers

The above principle can be generalized for trapping particles in all three spatial dimensions. The basic principle is depicted in Fig. $4.4$ where a dielectric sphere is located in the maximum region of a tightly focused laser beam. Whenever the sphere moves out of the focus, the light exerted by the scattered light pushes it back. Note that for sufficiently large spheres the equilibrium position corresponds to a slightly displaced sphere center, such that the net force of the scattered light sums up to zero.

Optical tweezers have received enormous interest in life sciences within the last decades. In particular with the rapid laser developments and the use of spatial light modulators it is nowadays possible to generate complex optical trapping potentials, with one or several minima that can be displaced, rotated, and deformed at will. For a detailed discussion the interested reader is referred to the literature, see for instance [9-11,13] and references therein.

Figure $4.5$ shows one of the numerous beautiful examples for light trapping [13]. A dielectric sphere is attached to a kinesin motor that moves along a microtubule. By positioning the sphere in an optical trap and following its position, one obtains information about the propagation details of the motor biomolecule. One can also exert a force on the system by pulling away the dielectric sphere through displacement of the trap minimum. The blue and red lines in the figure report the propagation in absence and presence of such a load.

物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Continuity Equation

A prototypical example for conservation laws in physics is given by the continuity equation, which we briefly discuss in the following because it will serve us as a blueprint for other conservation laws. We start from Ampere’s law, Eq. (2.15d), and take the divergence on both sides of the equation
$$
\nabla \cdot \nabla \times \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{B}=\nabla \cdot \boldsymbol{J}+\varepsilon_0 \nabla \cdot \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}=0 .
$$
Note that the expression has to be zero since the divergence of a curl field is always zero. Together with Gauss’ law $\varepsilon_0 \nabla \cdot \boldsymbol{E}=\rho$ we are thus led to the continuity equation
Continuity Equation
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla \cdot \boldsymbol{J} .
$$
To understand this expression better, it is instructive to integrate it over some volume $\Omega$ and to employ Gauss’ theorem on the right-hand side,
$$
\int_{\Omega} \frac{\partial \rho}{\partial t} d^3 r=\frac{d}{d t} \int_{\Omega} \rho d^3 r=-\int_{\Omega} \nabla \cdot \boldsymbol{J} d^3 r=-\oint_{\partial \Omega} \boldsymbol{J} \cdot d \boldsymbol{S} .
$$

We are thus led to the integral form of Eq. (4.11) which reads
$$
\frac{d Q_{\Omega}}{d t}=-\oint_{\partial \Omega} J \cdot d \boldsymbol{S}
$$
with $Q_{\Omega}$ being the charge enclosed in the volume $\Omega$. The implication of this equation can be summarized as follows:

Global Charge Conservation. If we extend the volume $\Omega \rightarrow \infty$ to infinity the term on the right-hand side becomes zero, and we find that charge is a conserved quantity.
Local Charge Conservation. However, the continuity equation does not only imply global charge conservation, which could still mean that charge is annihilated in some region of space and instantaneously created somewhere else. Such spooky action at a distance is forbidden by Eq. (4.12) which states that whenever the total charge changes in a volume (left-hand side of equation) it must be transported into or out of the volume through a local current density $\boldsymbol{J}$ (right-hand side of equation).

For this reason, electrodynamics is sometimes called a “local field theory.” Here “local” means that all quantities, such as fields or charge, change locally and have to be transported by some means to another position. This renders this approach compatible with the theory of relativity, which states that no information can propagate faster than the speed of light. Equations (4.11), (4.12) will serve us as blueprints for other conservation laws.

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物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|光镊子


上述原理可以推广到捕获所有三个空间维度的粒子。其基本原理如图$4.4$所示,其中介电球位于紧聚焦激光束的最大区域。每当球体偏离焦点时,散射光施加的光就会把它向后推。注意,对于足够大的球体,平衡位置对应于球体中心的轻微位移,这样散射光的净力加起来为零


在过去的几十年里,光镊在生命科学中引起了极大的兴趣。特别是随着激光的快速发展和空间光调制器的使用,现在有可能产生复杂的光阱势,具有一个或几个极小值,可以随意移位、旋转和变形。有关详细的讨论,有兴趣的读者可参考文献,例如[9-11,13]和其中的参考文献


图$4.5$显示了众多捕获光的漂亮例子之一。一个介电球附着在一个沿微管运动的动力蛋白马达上。通过在光阱中定位球体并跟踪它的位置,就可以获得有关运动生物分子传播细节的信息。我们也可以通过陷阱最小位移来拉动电介质球,从而对系统施加一个力。图中蓝色和红色的线报告了在没有负载和存在负载时的传播情况

物理代写|量子光学代写量子光学代考|连续性方程


连续性方程是物理学中守恒定律的一个典型例子,我们将在下面简要讨论它,因为它将为我们提供其他守恒定律的蓝图。我们从安培定律开始,Eq. (2.15d),取方程两边的散度
$$
\nabla \cdot \nabla \times \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{B}=\nabla \cdot \boldsymbol{J}+\varepsilon_0 \nabla \cdot \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}=0 .
$$
注意,表达式必须为零,因为旋度场的散度总是零。与高斯定律$\varepsilon_0 \nabla \cdot \boldsymbol{E}=\rho$一起,我们得到了连续性方程
连续性方程
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla \cdot \boldsymbol{J} .
$$
为了更好地理解这个表达式,将它在某个体积$\Omega$上积分,并在右边使用高斯定理
$$
\int_{\Omega} \frac{\partial \rho}{\partial t} d^3 r=\frac{d}{d t} \int_{\Omega} \rho d^3 r=-\int_{\Omega} \nabla \cdot \boldsymbol{J} d^3 r=-\oint_{\partial \Omega} \boldsymbol{J} \cdot d \boldsymbol{S} .
$$ 是有指导意义的


因此,我们得到式(4.11)的积分形式,它读为
$$
\frac{d Q_{\Omega}}{d t}=-\oint_{\partial \Omega} J \cdot d \boldsymbol{S}
$$
,其中$Q_{\Omega}$是卷$\Omega$中包含的费用。这个等式的含义可以总结为:

全局电荷守恒。如果我们把体积$\Omega \rightarrow \infty$扩展到无穷,右边的项就变成了零,我们发现电荷是一个守恒量。
局部电荷守恒。然而,连续性方程不仅意味着全局电荷守恒,这仍然意味着电荷在空间的某个区域被湮灭,而在其他地方瞬间产生。(4.12)式禁止这种可怕的远距离作用,该式指出,每当一个体积(等式左边)的总电荷发生变化时,它必须通过局部电流密度$\boldsymbol{J}$(等式右边)进入或流出该体积。


由于这个原因,电动力学有时被称为“局域场理论”。这里的“局部”是指所有的量,如电场或电荷,都是局部变化的,必须通过某种方式转移到另一个位置。这使得这种方法与相对论相一致,相对论认为没有任何信息的传播速度可以超过光速。(4.11)、(4.12)式可作为其他守恒定律的蓝图

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