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物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Motion of Test Particle
Let us consider the motion of a massive test particle or a massless particle, i.e., photon in Schwarzschild spacetime. It is known that all massive particles move along time-like geodesics, whereas photons move along null geodesics. We shall consider geodesics of test particles (either time-like or null) in Schwarzschild spacetime.
Let us take the Lagrangian in the following form as (with $p$ is an affine parameter)
$$
L=\left(1-\frac{2 m}{r}\right)\left(\frac{d t}{d p}\right)^2-\left(1-\frac{2 m}{r}\right)^{-1}\left(\frac{d r}{d p}\right)^2-r^2\left(\frac{d \theta}{d p}\right)^2-r^2 \sin ^2 \theta\left(\frac{d \phi}{d p}\right)^2 .
$$
We know
$$
\delta \int d s=0 \Rightarrow \int \delta\left(\frac{d s}{d p}\right) d p=0 \Rightarrow \delta \int L d p=0,
$$
where
$$
L=\left(\frac{d s}{d p}\right)=\left(g_{\mu \gamma} \frac{d x^\mu}{d p} \frac{d x^\gamma}{d p}\right)^{\frac{1}{2}}
$$
$\Rightarrow$ Euler-Lagrangian equation
$$
\frac{d}{d p}\left(\frac{\partial L}{\partial\left(\frac{d x^*}{d p}\right)}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^\mu}=0 .
$$
Thus, the corresponding Euler-Lagrange’s equations are
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{d p}\left(\frac{\partial L}{\partial r^1}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0 \
&\frac{d}{d p}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta^1}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0, \text { etc. }
\end{aligned}
$$
$[” \cdots$ ” implies differentiation with respect to $p]$
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|The precession of the perihelion motion of mercury
The point on the orbit nearest to the sun is called perihelion. Observations indicate that the perihelion of mercury’s orbit shows a precession of $5599.74 \pm .41$ arc sec per century. Among this $5557.18 \pm .85$ arc sec can be explained by Newtonian gravitational theory. It is due to the influences of other planets. Therefore, an amount $\approx 43.03^{\prime \prime}$ per century is still unsolved. The unaccounted perihelion motion of $42.56 \pm .94 \operatorname{arc~sec}$ per century can be explained by general theory of relativity.
Consider the motion of a planet. Since mass of a planet is very small compared to the sun, we can regard the planet as a test particle moving in the field of the sun (see Fig. 17). Again, the sun is at least, to a high degree of approximation, a spherical body. So the geometry outside the sun is given by Schwarzschild metric and the planet will move in geodesics (massive particle) in this field. The relativistic equation of planet’s orbit is
$$
\frac{d^2 U}{d \phi^2}+U=\frac{m}{h^2}+3 m U^2 .
$$
[we have considered planet as a test particle (massive) in the gravitational field of sun and for this $\epsilon=1]$
物理代写|广义相对论代写广义相对论代考|试验粒子运动
让我们考虑一个大质量的测试粒子或一个无质量粒子的运动，即光子在史瓦西时空中的运动。众所周知，所有的大质量粒子都沿着类时测地线运动，而光子则沿着零测地线运动。我们将考虑史瓦西时空中测试粒子(类时或零)的测地线。让我们将拉格朗日方程以以下形式表示为(其中$p$是一个仿射参数)
$$
L=\left(1-\frac{2 m}{r}\right)\left(\frac{d t}{d p}\right)^2-\left(1-\frac{2 m}{r}\right)^{-1}\left(\frac{d r}{d p}\right)^2-r^2\left(\frac{d \theta}{d p}\right)^2-r^2 \sin ^2 \theta\left(\frac{d \phi}{d p}\right)^2 .
$$
我们知道
$$
\delta \int d s=0 \Rightarrow \int \delta\left(\frac{d s}{d p}\right) d p=0 \Rightarrow \delta \int L d p=0,
$$
其中
$$
L=\left(\frac{d s}{d p}\right)=\left(g_{\mu \gamma} \frac{d x^\mu}{d p} \frac{d x^\gamma}{d p}\right)^{\frac{1}{2}}
$$
$\Rightarrow$欧拉-拉格朗日方程
$$
\frac{d}{d p}\left(\frac{\partial L}{\partial\left(\frac{d x^*}{d p}\right)}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^\mu}=0 .
$$
因此，相应的欧拉-拉格朗日方程
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{d p}\left(\frac{\partial L}{\partial r^1}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0 \
&\frac{d}{d p}\left(\frac{\partial L}{\partial \theta^1}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0, \text { etc. }
\end{aligned}
$$
$[” \cdots$暗示了对$p]$ 的微分
物理代写|广义相对论代写广义相对论代考|水星近日点运动的进动
轨道上离太阳最近的点称为近日点。观测表明，水星轨道近日点的旋进速度为每世纪$5599.74 \pm .41$弧秒。其中$5557.18 \pm .85$弧秒可以用牛顿引力理论解释。这是由于其他行星的影响。因此，每世纪的数量$\approx 43.03^{\prime \prime}$仍未解决。每世纪未被解释的近日点运动$42.56 \pm .94 \operatorname{arc~sec}$可以用广义相对论来解释
考虑一下行星的运动。由于行星的质量与太阳相比非常小，我们可以把行星看作是在太阳场中运动的测试粒子(图17)。再说一次，太阳至少，在高度近似的程度上，是一个球形物体。所以太阳外的几何是由史瓦西度规给出的，行星将在这个场中沿测地线(质量粒子)运动。行星轨道的相对论方程是
$$
\frac{d^2 U}{d \phi^2}+U=\frac{m}{h^2}+3 m U^2 .
$$
[我们认为行星是太阳引力场中的一个测试粒子(质量)，为此$\epsilon=1]$
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