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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Tangential Trace Revisited

Below, the tangential trace of elements of $\boldsymbol{H}($ curl, $\Omega)$ is scrutinized, and refined generalized integration by parts à la (2.27) is established, involving two vector fields of $H($ curl, $\Omega$ ). Indeed, in the case of the tangential trace, the mapping $\gamma \top$ from $\boldsymbol{H}(\mathbf{c u r l}, \Omega)$ to $\boldsymbol{H}^{-1 / 2}(\Gamma)$ is not surjective. This seems obvious, since one has $\left(\gamma_{\top} \boldsymbol{f}\right) \cdot \boldsymbol{n}=0$ in some sense, for instance, as soon as a pointwise $\gamma_{\top} \boldsymbol{f}$ exists. But there are also more profound arguments, which allow us to prove that, even when one considers only the set of vector fields on $\Gamma$ that are orthogonal to $n$, the mapping is nevertheless not surjective $[5,65,66,72]$.

In order to prove this, together with a number of useful results, let us consider, for simplicity, the case of a polyhedral domain, still called $\Omega$, with the notations of Definition 2.1.54. We follow here the path chosen by A. Buffa and the second author in $[65,66]$, where the case of a curved polyhedron is also addressed. Again for simplicity, we assume that its boundary $\Gamma$ is topologically trivial (the notion is defined in Sect. 3.2). See [64] for a topologically non-trivial boundary: in this case, decompositions of function spaces have to be modified, with the addition of a third-finite-dimensional-vector subspace. Along the way, representative proofs, establishing the continuity of the mappings, are provided. On the other hand, the results relating the surjectivity of the mappings are stated without proof. In the more general case of a domain, the reader is referred to $[68,188]$.

Looking at the integration-by-parts formula $(2.27)$, it is clear that the normal component of $g$ does not play any role in the formula. Therefore, one can concentrate on the tangential components only.

Definition 3.1.1 Let $f$ be a smooth vector function defined on $\bar{\Omega}$. Its tangential components trace $\boldsymbol{n} \times(\boldsymbol{f} \times \boldsymbol{n}){\left.\right|{\Gamma}}$ on the boundary $\Gamma$ is denoted by $\pi_{\top} f$, and $\pi_{\top}$ is called the tangential components trace mapping.

In order to define the actual range of $\pi_{\top}$, starting from $\boldsymbol{H}^1(\Omega)$, let us introduce some spaces of vector fields, defined on $\Gamma$.

Definition 3.1.2 Let $L_t^2(\Gamma)$ be the space of tangential, square integrable vector fields:
$$
\boldsymbol{L}t^2(\Gamma):=\left{v \in L^2(\Gamma): v \cdot n=0\right} $$ Let $\boldsymbol{H}{-}^{1 / 2}(\Gamma)$ be the space:
$$
\boldsymbol{H}{-}^{1 / 2}(\Gamma):=\boldsymbol{L}_t^2(\Gamma) \cap H{-}^{1 / 2}(\Gamma)^3 .
$$
Let $\boldsymbol{H}{|}^{1 / 2}(\Gamma)$ be the space: $$ \boldsymbol{H}{|}^{1 / 2}(\Gamma):=\left{v \in \boldsymbol{H}{-}^{1 / 2}(\Gamma): \boldsymbol{v}_i \cdot \boldsymbol{\tau}{i j} \stackrel{1 / 2}{=} v_j \cdot \boldsymbol{\tau}_{i j}, \forall(i, j) \in \mathcal{N}_E\right}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Scalar and Vector Potentials

We discuss two different mathematical points of view, namely the analyst’s and topologist’s, concerning the existence of potentials for curl-free fields. We then reconcile these two points of view and define a general framework.
For the analyst [124], the main issue is the regularity of the boundary. Accordingly, the analyst’s hypothesis on $\Omega$ is:
(Ana) ” $\Omega$ is an open set of $\mathbb{R}^3$ with a Lipschitz boundary”.
For the topologist $[126,127]$, the main issue is (co)homology and, of particular interest for our purpose, the existence of single-valued potentials to curl-free smooth fields. In other words, given a vector field $v$ defined on $\Omega$ such that curl $v=0$ in $\Omega$, does there exist a continuous single-valued function $p$ such that $v=\operatorname{grad} p$ ? The answer to this question can be found in (co)homology theory, which results in the topologist’s dual hypothesis:
either (Top) $){I=0} \quad$ “given any vector field $v \in C^1(\Omega)$ such that curl $v=0$ in $\Omega$, there exists $p \in C^0(\Omega)$ such that $v=\operatorname{grad} p$ on $\Omega$ “; or $\quad(\text { Top }){I>0} \quad$ “there exist I non-intersecting manifolds, $\Sigma_1, \ldots, \Sigma_I$, with boundaries $\partial \Sigma_i \subset \Gamma$ such that, if we let $\dot{\Omega}=\Omega \backslash \bigcup_{i=1}^I \Sigma_i$, given any vector field $v \in C^1(\Omega)$ such that curl $v=0$ in $\Omega$, there exists $\dot{p} \in C^0(\dot{\Omega})$ such that $v=\operatorname{grad} \dot{p}$ on $\dot{\Omega} “$.
Here, $I$ is equal to the minimal number of required cuts $\left(\Sigma_i\right)_i$. Mathematically, $I$ is equal to $\beta_1(\Omega)$, the first Betti number. Note that according to the above, $I=0$ is an admissible value, in which case the existence of continuous single-valued potentials is guaranteed on $\Omega$, whereas $I>0$ corresponds to the case when cuts must be introduced. This is the reason why we use the notations $(\text { Top }){I=0}$ and $(\text { Top }){I>0}$ to discriminate the two cases. When $I=0$, the set $\Omega$ is said to be topologically trivial.
Remark 3.2.1 Recall that, according to homotopy theory, a connected set is simply connected if every closed curve can be contracted to a point via continuous transformations. It is often assumed that each connected component of $\Omega$ must be simply connected to guarantee the existence of the continuous single-valued potential: in other words, one usually states in $(\operatorname{Top}){I=0}$ (respectively $(\text { Top }){I>0}$ ) that $\Omega$ (respectively $\dot{\Omega}$ ) is simply connected. However, this property is only a sufficient condition and, from a topologist’s point of view [126], the correct assumption is of a (co)homological nature, cf. (Top) as stated above.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYS3040

物理代写|电磁学代写电磁代考|切向轨迹重访


下面,我们考察了$\boldsymbol{H}($旋度,$\Omega)$的元素的切向迹,并建立了细化的分部广义积分à la(2.27),其中涉及$H($旋度,$\Omega$的两个向量场。实际上,在切向跟踪的情况下,从$\boldsymbol{H}(\mathbf{c u r l}, \Omega)$到$\boldsymbol{H}^{-1 / 2}(\Gamma)$的映射$\gamma \top$不是满射的。这似乎是显而易见的,因为在某种意义上有$\left(\gamma_{\top} \boldsymbol{f}\right) \cdot \boldsymbol{n}=0$,例如,只要点化的$\gamma_{\top} \boldsymbol{f}$存在。但也有更深刻的论点,它们允许我们证明,即使只考虑$\Gamma$上与$n$正交的向量字段集,映射仍然不是满射$[5,65,66,72]$ .


为了证明这一点,以及一些有用的结果,为了简单起见,让我们考虑一个多面体域的情况,仍然称为$\Omega$,使用定义2.1.54的符号。我们在这里遵循a . Buffa和第二作者在$[65,66]$中选择的路径,其中也讨论了弯曲多面体的情况。同样为简单起见,我们假设它的边界$\Gamma$在拓扑上是平凡的(这个概念在第3.2节中定义)。对于拓扑上的非平凡边界,参见[64]:在这种情况下,必须修改函数空间的分解,添加一个第三有限维向量子空间。在此过程中,提供了建立映射连续性的代表性证明。另一方面,关于映射的满射性的结果是没有证明的。在更一般的域情况下,读者可以参考$[68,188]$ .


看一下分部积分公式$(2.27)$,很明显,$g$的普通组件在公式中不起任何作用。因此,我们可以只关注切向分量。


3.1.1设$f$是在$\bar{\Omega}$上定义的平滑向量函数。它在边界$\Gamma$上的切向分量跟踪$\boldsymbol{n} \times(\boldsymbol{f} \times \boldsymbol{n}){\left.\right|{\Gamma}}$用$\pi_{\top} f$表示,$\pi_{\top}$称为切向分量跟踪映射。

为了定义$\pi_{\top}$的实际范围,从$\boldsymbol{H}^1(\Omega)$开始,让我们引入一些在$\Gamma$上定义的向量字段空间 定义3.1.2设$L_t^2(\Gamma)$为切向平方可积向量场的空间:
$$
\boldsymbol{L}t^2(\Gamma):=\left{v \in L^2(\Gamma): v \cdot n=0\right} $$设$\boldsymbol{H}{-}^{1 / 2}(\Gamma)$为空间:
$$
\boldsymbol{H}{-}^{1 / 2}(\Gamma):=\boldsymbol{L}_t^2(\Gamma) \cap H{-}^{1 / 2}(\Gamma)^3 .
$$
设$\boldsymbol{H}{|}^{1 / 2}(\Gamma)$为空间:$$ \boldsymbol{H}{|}^{1 / 2}(\Gamma):=\left{v \in \boldsymbol{H}{-}^{1 / 2}(\Gamma): \boldsymbol{v}_i \cdot \boldsymbol{\tau}{i j} \stackrel{1 / 2}{=} v_j \cdot \boldsymbol{\tau}_{i j}, \forall(i, j) \in \mathcal{N}_E\right}
$$

物理代写|电磁学代写电磁学代考|标量势和向量势

.


我们讨论两种不同的数学观点,即分析学者和拓扑学者关于无旋场的势的存在性的观点。然后我们调和这两种观点,并定义一个一般框架。
对于分析师[124]来说,主要问题是边界的规律性。因此,分析者的假设就 $\Omega$
(Ana) ” $\Omega$ 是开套的吗 $\mathbb{R}^3$ 具有Lipschitz边界”。
用于拓扑学家 $[126,127]$,主要问题是(co)同调性,以及对我们的目的特别感兴趣的无卷曲光滑场的单值势的存在性。换句话说,给定一个向量场 $v$ 定义于 $\Omega$ 这样的旋度 $v=0$ 在 $\Omega$,是否存在连续单值函数 $p$ 如此这般 $v=\operatorname{grad} p$ ?这个问题的答案可以在(co)同调理论中找到,这导致了拓扑学家的对偶假设:
either (Top) $){I=0} \quad$ “给定任意向量场 $v \in C^1(\Omega)$ 这样的旋度 $v=0$ 在 $\Omega$,存在 $p \in C^0(\Omega)$ 如此这般 $v=\operatorname{grad} p$ 在 $\Omega$ ;或 $\quad(\text { Top }){I>0} \quad$ “存在不相交的流形, $\Sigma_1, \ldots, \Sigma_I$,有界限 $\partial \Sigma_i \subset \Gamma$ 这样,如果我们让 $\dot{\Omega}=\Omega \backslash \bigcup_{i=1}^I \Sigma_i$,给定任意向量场 $v \in C^1(\Omega)$ 这样的旋度 $v=0$ 在 $\Omega$,存在 $\dot{p} \in C^0(\dot{\Omega})$ 如此这般 $v=\operatorname{grad} \dot{p}$ 在 $\dot{\Omega} “$.
这里, $I$ 等于所需切割的最小数量 $\left(\Sigma_i\right)_i$。数学上, $I$ 等于 $\beta_1(\Omega)$,第一个贝蒂数字。注意,根据以上, $I=0$ 是否为容许值,在这种情况下连续单值势的存在是有保证的 $\Omega$,而 $I>0$ 对应于必须引入削减的情况。这就是我们使用这些符号的原因 $(\text { Top }){I=0}$ 和 $(\text { Top }){I>0}$ 区分这两种情况。什么时候 $I=0$,集合 $\Omega$ 在拓扑上是微不足道的。回想一下,根据同伦理论,如果每个闭合曲线都可以通过连续变换收缩到一个点,则连通集是单连通的。通常认为,每个连接的组件 $\Omega$ 必须是单连通的,才能保证连续单值势的存在:换句话说,通常在 $(\operatorname{Top}){I=0}$ (分别 $(\text { Top }){I>0}$ ) $\Omega$ (分别 $\dot{\Omega}$ )是单连通的。然而,这一性质只是一个充分条件,而且从拓扑学家的角度来看[126],正确的假设具有(co)同调性质,如上文所述cf. (Top)

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考

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