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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Extraction of Scalar Potentials and Consequences

We consider first the case of curl-free fields of $L^2(\Omega)$. Let us begin with the fundamental result proven ${ }^4$ in [117, Chapter I] and in [164, Chapter 3].

Theorem 3.3.1 Let $\Omega$ be either a domain, or a bounded, open and connected set with a pseudo-Lipschitz boundary. Assume that $\Omega$ is topologically trivial. Then, given $v \in \boldsymbol{L}^2(\Omega)$, it holds that
$$
\operatorname{curl} v=0 \text { in } \Omega \Longleftrightarrow \exists p \in H^1(\Omega), v=\operatorname{grad} p .
$$
The scalar potential $p$ is unique up to a constant, and $|p|{H^1(\Omega)}=|v|{L^2(\Omega)^{\circ}}$.
Next, we have the more general result below, proven in [9] for smooth cuts. We provide the main steps of the proof, which is slightly different than the one proposed in [9], according to the assumptions we made on the regularity of the cuts.

Theorem 3.3.2 Let $\Omega$ be a domain such that $(\text { Top }){I>0}$ is fulfilled. Then, given $v \in$ $L^2(\Omega)$, it holds that $$ \text { curl } v=0 \text { in } \Omega \Longleftrightarrow \exists \dot{p} \in P(\dot{\Omega}), v=\widehat{\operatorname{grad}} \dot{p} $$ The scalar potential $\dot{p}$ is unique up to a constant, and $|\dot{p}|{H^1(\dot{\alpha})}=|v|_{L^2(\Omega)^{\circ}}$
Proof We remark that, if there exists $\dot{p} \in P(\dot{\Omega})$ such that $v=\widehat{\operatorname{grad} \dot{p}}$, then obviously curl $v=0$ in $\dot{\Omega}$. One can then prove that curl $v=0$ in $\Omega$ by using the tangential gradient $\operatorname{grad}{\Gamma}$ of Proposition 3.1.20, which leads easily to $[\pi \uparrow v]{\Sigma_i}=\operatorname{grad}{\Gamma}\left([\dot{p}]{\Sigma_i}\right)=0$, for $1 \leq i \leq I$, plus Proposition $2.2 .32$ to conclude. Conversely, one first uses Theorem $3.3 .1$ in $\dot{\Omega}$ to find $\dot{p} \in H^1(\dot{\Omega})$ such that $v=$ grad $\dot{p}$ in $\dot{\Omega}$. Then, as $v$ belongs to $\boldsymbol{H}$ (curl, $\Omega$ ), it follows that $[\pi \top v]{\Sigma_i}=0$, for all $i$. Using again the tangential gradient as defined in Proposition 3.1.20, we find that $\operatorname{grad}{\Gamma}\left([\dot{p}]{\Sigma_i}\right)$ is zero, for all $i$. In other words, one has $[\dot{p}]{\Sigma_i}=c s t^i$, for $1 \leq i \leq I$, i.e., $\dot{p} \in P(\dot{\Omega})$.
Finally, we note that the uniqueness of $\dot{p}$ (up to a constant) follows from the fact that $\dot{\Omega}$ is connected.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Extraction of Vector Potentials

We consider now the case of divergence-free fields of $L^2(\Omega)$, for which one can prove the fundamental result below.
Theorem 3.4.1 Let $\Omega$ be a domain. Then, given $v \in L^2(\Omega)$, it holds that
Furthermore, there exists $C>0$ such that for all $v$, one may choose a vector potential $w$ that fulfills
$$
|w|_{H^1(\Omega)} \leq C|v|_{L^2(\Omega)^*}
$$
Remark 3.4.2 Assuming that $v$ writes $v=\operatorname{curl} w$ with $w \in H(\operatorname{curl}, \Omega)$, let us briefly comment on the conditions $\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0$, for $0 \leq k \leq K$. For $k>0$, define $q_k \in H^1(\Omega)$ such that $q_k$ is a basis function of $Q_N(\Omega)$. Then, one obtains by integrating by parts twice:
$$
\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=\left\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, q_k\right\rangle_{H^{1 / 2}(\Gamma)}=\left(\boldsymbol{v} \mid \operatorname{grad} q_k\right)=\left(\operatorname{curl} w \mid \operatorname{grad} q_k\right)=0,
$$
because $\operatorname{grad} q_k \in \boldsymbol{H}0($ curl, $\Omega$ ). On the other hand, for $k=0$, one has simply $$ \langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{H^{1 / 2}\left(\Gamma_0\right)}=-\sum_{1 \leq k \leq K}\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0 .
$$
Proof We use the notations of Sect. 3.2. The result is obtained in four steps:

  1. Define ${ }^6\left(q_{\ell}\right){0 \leq \ell \leq K}$ by: $-q_0 \in H{z m v}^1\left(\Omega_0\right)$ s.t. $\Delta q_0=0$ in $\Omega_0, \partial_n q_0=v \cdot n$ on $\Gamma_0, \partial_n q_0=0$ on $\partial \mathcal{O}$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYC20014

物理代写|电磁学代写电磁学代考|标量势和结果的提取


我们首先考虑$L^2(\Omega)$的无卷曲字段的情况。让我们从[117,第一章]和[164,第三章]中证明的基本结果${ }^4$开始。

定理3.3.1设$\Omega$要么是定义域,要么是具有伪lipschitz边界的有界开放连通集。假设$\Omega$在拓扑上是微不足道的。然后,给定$v \in \boldsymbol{L}^2(\Omega)$,它认为
$$
\operatorname{curl} v=0 \text { in } \Omega \Longleftrightarrow \exists p \in H^1(\Omega), v=\operatorname{grad} p .
$$
标量势$p$是唯一的,直到一个常数,和$|p|{H^1(\Omega)}=|v|{L^2(\Omega)^{\circ}}$。
接下来,我们有下面更一般的结果,在光滑切割[9]中证明。根据我们对切割的规律性所做的假设,我们提供了证明的主要步骤,这与[9]中提出的步骤略有不同

定理3.3.2让 $\Omega$ 是这样一个领域 $(\text { Top }){I>0}$ 就是满足。那么,给定 $v \in$ $L^2(\Omega)$,它认为 $$ \text { curl } v=0 \text { in } \Omega \Longleftrightarrow \exists \dot{p} \in P(\dot{\Omega}), v=\widehat{\operatorname{grad}} \dot{p} $$ 标量势 $\dot{p}$ unique等于一个常数,和 $|\dot{p}|{H^1(\dot{\alpha})}=|v|_{L^2(\Omega)^{\circ}}$证据我们认为,如果存在的话 $\dot{p} \in P(\dot{\Omega})$ 如此这般 $v=\widehat{\operatorname{grad} \dot{p}}$,然后明显卷曲 $v=0$ 在 $\dot{\Omega}$。我们可以证明旋度 $v=0$ 在 $\Omega$ 通过使用切向梯度 $\operatorname{grad}{\Gamma}$ 命题3.1.20,这很容易导致 $[\pi \uparrow v]{\Sigma_i}=\operatorname{grad}{\Gamma}\left([\dot{p}]{\Sigma_i}\right)=0$,为 $1 \leq i \leq I$,加上命题 $2.2 .32$ 总结一下。相反,首先使用定理 $3.3 .1$ 在 $\dot{\Omega}$ 寻找 $\dot{p} \in H^1(\dot{\Omega})$ 如此这般 $v=$ 毕业 $\dot{p}$ 在 $\dot{\Omega}$。然后,作为 $v$ 属于 $\boldsymbol{H}$ (卷曲, $\Omega$ ),由此得出结论 $[\pi \top v]{\Sigma_i}=0$,对所有人来说 $i$。再次使用命题3.1.20定义的切向梯度,我们发现 $\operatorname{grad}{\Gamma}\left([\dot{p}]{\Sigma_i}\right)$ 是零吗 $i$。换句话说,已经有了 $[\dot{p}]{\Sigma_i}=c s t^i$,为 $1 \leq i \leq I$,即, $\dot{p} \in P(\dot{\Omega})$.
最后,我们注意到 $\dot{p}$ (直到一个常数为止)由 $\dot{\Omega}$

物理代写|电磁学代写电磁学代考|向量势的提取

我们现在考虑无散度场的情况 $L^2(\Omega)$,我们可以证明下面的基本结果。3.4.1让 $\Omega$ 成为一个领域。那么,给定 $v \in L^2(\Omega)$,则
$C>0$ 对于所有人来说 $v$,我们可以选择一个向量势 $w$ 它满足
$$
|w|_{H^1(\Omega)} \leq C|v|_{L^2(\Omega)^*}
$$3.4.2假设 $v$ 写 $v=\operatorname{curl} w$ 用 $w \in H(\operatorname{curl}, \Omega)$,让我们简要地评论一下条件 $\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0$,为 $0 \leq k \leq K$。对于 $k>0$,定义 $q_k \in H^1(\Omega)$ 如此这般 $q_k$ 基函数是 $Q_N(\Omega)$。然后通过两次分部积分得到:
$$
\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=\left\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, q_k\right\rangle_{H^{1 / 2}(\Gamma)}=\left(\boldsymbol{v} \mid \operatorname{grad} q_k\right)=\left(\operatorname{curl} w \mid \operatorname{grad} q_k\right)=0,
$$
因为 $\operatorname{grad} q_k \in \boldsymbol{H}0($ 卷曲, $\Omega$ )。另一方面,for $k=0$,一个人只需 $$ \langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{H^{1 / 2}\left(\Gamma_0\right)}=-\sum_{1 \leq k \leq K}\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0 .
$$我们使用3.2节的符号。结果通过四个步骤得到:

  1. 定义${ }^6\left(q_{\ell}\right){0 \leq \ell \leq K}$通过:$-q_0 \in H{z m v}^1\left(\Omega_0\right)$ s.t. $\Delta q_0=0$在$\Omega_0, \partial_n q_0=v \cdot n$上$\Gamma_0, \partial_n q_0=0$上$\partial \mathcal{O}$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考

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