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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Extraction of Vector Potentials—Vanishing Normal Trace

We consider now the case of divergence-free fields of $L^2(\Omega)$ with vanishing normal trace. As we already saw in Sect. $3.3$ for elements of $\boldsymbol{Z}_T(\Omega)$, if the domain $\Omega$ is not topologically trivial, one has to take cuts into account explicitly.

Theorem 3.5.1 Let $\Omega$ be a domain such that $(\text { Top }){I=0}$ or $(\text { Top }){I>0}$ is fulfilled. Then, given $v \in L^2(\Omega)$, it holds that
$$
\left.\begin{array}{l}
\operatorname{div} \boldsymbol{v}=0 \mathrm{in} \Omega, \
\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}{\mid \Gamma}=0, \ \langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{\Sigma_i}=0, \forall i
\end{array}\right} \Longleftrightarrow\left{\begin{array}{l}
\exists \boldsymbol{w} \in \boldsymbol{H}0(\operatorname{curl}, \Omega), \ \operatorname{div} \boldsymbol{w}=0, \ \langle\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0, \forall k
\end{array} \quad \boldsymbol{v}=\operatorname{curl} w\right.
$$
Moreover, $w$ is unique, and there exists $C>0$ independent of $v$ such that
$$
|w|_{H(\operatorname{curl}, \Omega)} \leq C|v|_{L^2(\Omega)} .
$$
Remark 3.5.2 Assuming that $v$ writes $v=\operatorname{curl} w$ with $w \in \boldsymbol{H}0(\mathbf{c u r l}, \Omega)$, one has $v \in \boldsymbol{H}_0$ (div, $\Omega$ ) according to Proposition 2.2.10. Now, using the functions $\left(\dot{r}_i\right){1 \leq i \leq I}$ as they are defined in Proposition 3.3.3, one obtains, by integrating by parts twice $((3.6)$, then $(2.20))$, for each $i$
$$
\begin{aligned}
\langle v \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{\Sigma_i} &=\sum_j\left\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n},\left[\dot{r}i\right] \Sigma_j\right\rangle{\Sigma_j} \
&=\left(\operatorname{curl} w, \operatorname{grad} \dot{r}i\right){L^2(\dot{\Omega})}=\left(\operatorname{curl} w \mid \widehat{\operatorname{grad} \dot{r}_i}\right)=0 .
\end{aligned}
$$
In the case when (Top) $I=0$ is fulfilled, $Z_T(\Omega)={0}$, and there are no vanishing flux conditions for the field $v$ on the cuts.

Proof We note that the vector potential $w$, if it exists, is unique. Indeed, if $w_1$ and $w_2$ both fulfill all the conditions (3.10), then $\delta w:=w_1-w_2 \in X_N(\Omega), \operatorname{curl} \delta w=0$ and $\operatorname{div} \delta \boldsymbol{w}=0$ in $\Omega$, with $\langle\delta \boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0$, for all $k$. Hence, $\delta \boldsymbol{w}=0$, so uniqueness follows.
Next, introducing the (closed) subspace of $\boldsymbol{X}N(\Omega)$ : $$ \boldsymbol{X}_N^{\Gamma}(\Omega):=\left{\boldsymbol{f} \in \boldsymbol{X}_N(\Omega):\langle\boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0,1 \leq k \leq K\right}
$$
one can solve the variational formulation ${ }^8$
$$
\left{\begin{array}{l}
\text { Find } w \in X_N^{\Gamma}(\Omega) \text { such that } \
\forall w^{\prime} \in X_N^{\Gamma}(\Omega),\left(\operatorname{curl} w \mid \operatorname{curl} w^{\prime}\right)+\left(\operatorname{div} w \mid \operatorname{div} w^{\prime}\right)=\left(v \mid \operatorname{curl} w^{\prime}\right)
\end{array}\right.
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Extraction of Vector Potentials—Complements

In the proofs of the results of Sects. 3.3-3.5, we remark that the fundamental results (extraction of scalar potentials at Theorem 3.3.1, respectively of vector potentials at Theorem 3.4.1) are obtained by continuation to $\mathbb{R}^3$, and direct estimates of the norms. On the other hand, all the other proofs rely on solving (well-posed) variational formulations, for which norm estimates are simply a consequence of the Lax-Milgram Theorem 4.2.8.
To obtain the compact imbedding results, the proofs-à la Weber [204]—that we proposed are obtained via the extraction of scalar and vector potentials. In Chap. 6 , we propose another, indirect proof, which relies on the continuous imbeddings of $\boldsymbol{X}_N(\Omega)$ (Sect. 6.1.6) and $\boldsymbol{X}_T(\Omega)$ (Sect. 6.2.6) into fractional-order Sobolev spaces $\boldsymbol{H}^s(\Omega)$, for some $s>0$ that depends only on the geometry of the domain $\Omega$.

The additional knowledge on the regularity of elements of $\boldsymbol{X}_N(\Omega)$ and $\boldsymbol{X}_T(\Omega)$ will be used there. The compact imbedding results are then consequences of Proposition 2.1.43.
If one is looking for a vector potential that does not necessarily belong to $\boldsymbol{H}^1(\Omega$ ) for divergence-free fields, one has the result below, which “symmetrizes” the roles of $\boldsymbol{X}_T(\Omega)$ and $\boldsymbol{X}_N(\Omega)$.

Theorem 3.6.1 Let $\Omega$ be a domain such that $(\text { Top }){I=0}$ or $(\text { Top }){I>0}$ is fulfilled. Then, given $v \in L^2(\Omega)$, it holds that
$$
\left.\begin{array}{l}
\operatorname{div} \boldsymbol{v}=0 \mathrm{in} \Omega, \
\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0, \forall k
\end{array}\right} \Longleftrightarrow\left{\begin{array}{l}
\exists \boldsymbol{w} \in \boldsymbol{H}0(\operatorname{div}, \Omega), \ \operatorname{div} \boldsymbol{w}=0, \ \langle\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{\Sigma_i}=0, \forall i
\end{array} \quad \boldsymbol{v}=\mathbf{c u r l} w\right.
$$
Moreover, $w$ is unique, and there exists $C>0$ independent of $v$ such that
$$
|w|_{H(\operatorname{curl}, \Omega)} \leq C|v|_{L^2(\Omega)^{\circ}}
$$
Remark 3.6.2 In the case when (Top) $I=0$ is fulfilled, the result holds without the vanishing flux conditions on the cuts for the vector potential! In this case, we recall that $Z_T(\Omega)$ is reduced to ${0}$ (Proposition 3.3.11).

Proof The uniqueness of the vector potential $w$, if it exists, follows from the second Weber inequality. Indeed, if $w_1$ and $w_2$ both fulfill all the conditions (3.11), then $\delta w:=w_1-w_2 \in X_T(\Omega), \operatorname{curl} \delta w=0$ and $\operatorname{div} \delta w=0$ in $\Omega$, with $\langle\delta w \cdot n, 1\rangle_{\Sigma_i}=0$, for all $i$. Hence, $\delta w=0$, so uniqueness follows.

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|ELEC3104

物理代写|电磁学代写电磁代考|矢量电位的提取-消失的法向迹


我们现在考虑无散度场$L^2(\Omega)$的正常迹消失的情况。正如我们已经在$3.3$节中看到的,对于$\boldsymbol{Z}_T(\Omega)$的元素,如果域$\Omega$在拓扑上不是平凡的,就必须显式地考虑切块

定理3.5.1让 $\Omega$ 是这样一个领域 $(\text { Top }){I=0}$ 或 $(\text { Top }){I>0}$ 就是满足。那么,给定 $v \in L^2(\Omega)$,则
$$
\left.\begin{array}{l}
\operatorname{div} \boldsymbol{v}=0 \mathrm{in} \Omega, \
\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}{\mid \Gamma}=0, \ \langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{\Sigma_i}=0, \forall i
\end{array}\right} \Longleftrightarrow\left{\begin{array}{l}
\exists \boldsymbol{w} \in \boldsymbol{H}0(\operatorname{curl}, \Omega), \ \operatorname{div} \boldsymbol{w}=0, \ \langle\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0, \forall k
\end{array} \quad \boldsymbol{v}=\operatorname{curl} w\right.
$$
$w$ 是唯一的,又是存在的 $C>0$ 独立于 $v$ 这样
$$
|w|_{H(\operatorname{curl}, \Omega)} \leq C|v|_{L^2(\Omega)} .
$$
备注3.5.2假设 $v$ 写 $v=\operatorname{curl} w$ 用 $w \in \boldsymbol{H}0(\mathbf{c u r l}, \Omega)$,一个有 $v \in \boldsymbol{H}_0$ (div, $\Omega$ )根据命题2.2.10。现在,使用函数 $\left(\dot{r}_i\right){1 \leq i \leq I}$ 正如命题3.3.3中定义的那样,通过两次分部积分得到 $((3.6)$,那么 $(2.20))$,对于每个 $i$
$$
\begin{aligned}
\langle v \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{\Sigma_i} &=\sum_j\left\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n},\left[\dot{r}i\right] \Sigma_j\right\rangle{\Sigma_j} \
&=\left(\operatorname{curl} w, \operatorname{grad} \dot{r}i\right){L^2(\dot{\Omega})}=\left(\operatorname{curl} w \mid \widehat{\operatorname{grad} \dot{r}_i}\right)=0 .
\end{aligned}
$$
当(Top) $I=0$ 是满足的, $Z_T(\Omega)={0}$,且该场不存在消失通量条件 $v$


我们注意到向量势$w$,如果它存在,它是唯一的。确实,如果$w_1$和$w_2$都满足所有条件(3.10),那么$\Omega$中的$\delta w:=w_1-w_2 \in X_N(\Omega), \operatorname{curl} \delta w=0$和$\operatorname{div} \delta \boldsymbol{w}=0$,以及$\langle\delta \boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0$,对于所有$k$。因此,$\delta \boldsymbol{w}=0$,所以唯一性随之而来。接下来,引入(闭合)子空间$\boldsymbol{X}N(\Omega)$: $$ \boldsymbol{X}_N^{\Gamma}(\Omega):=\left{\boldsymbol{f} \in \boldsymbol{X}_N(\Omega):\langle\boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0,1 \leq k \leq K\right}
$$
one可以求解变分公式${ }^8$
$$
\left{\begin{array}{l}
\text { Find } w \in X_N^{\Gamma}(\Omega) \text { such that } \
\forall w^{\prime} \in X_N^{\Gamma}(\Omega),\left(\operatorname{curl} w \mid \operatorname{curl} w^{\prime}\right)+\left(\operatorname{div} w \mid \operatorname{div} w^{\prime}\right)=\left(v \mid \operatorname{curl} w^{\prime}\right)
\end{array}\right.
$$

物理代写|电磁学代写电磁学代考|矢量电位的提取-补体


在3.3-3.5节结果的证明中,我们注意到基本结果(定理3.3.1处标量势的提取,定理3.4.1处矢量势的提取)是由延拓到$\mathbb{R}^3$和范数的直接估计得到的。另一方面,所有其他的证明都依赖于求解(良好设定的)变分公式,对于这些变分公式,范数估计只是Lax-Milgram定理4.2.8的一个结果。为了得到紧凑的嵌入结果,我们提出的证明-à la Weber[204]是通过提取标量势和向量势得到的。在第六章中,我们提出了另一个间接的证明,它依赖于$\boldsymbol{X}_N(\Omega)$(第6.1.6节)和$\boldsymbol{X}_T(\Omega)$(第6.2.6节)连续嵌入分数阶Sobolev空间$\boldsymbol{H}^s(\Omega)$,对于一些仅依赖于定域$\Omega$的几何形状的$s>0$

关于$\boldsymbol{X}_N(\Omega)$和$\boldsymbol{X}_T(\Omega)$元素规律性的额外知识将在这里使用。紧嵌入结果是命题2.1.43的结果。
如果一个人在寻找无散度场的向量势,它不一定属于$\boldsymbol{H}^1(\Omega$),就会得到下面的结果,它“对称”了$\boldsymbol{X}_T(\Omega)$和$\boldsymbol{X}_N(\Omega)$的作用

定理3.6.1设$\Omega$为满足$(\text { Top }){I=0}$或$(\text { Top }){I>0}$的域。那么,给定$v \in L^2(\Omega)$,则认为
$$
\left.\begin{array}{l}
\operatorname{div} \boldsymbol{v}=0 \mathrm{in} \Omega, \
\langle\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle_{H^{1 / 2}\left(\Gamma_k\right)}=0, \forall k
\end{array}\right} \Longleftrightarrow\left{\begin{array}{l}
\exists \boldsymbol{w} \in \boldsymbol{H}0(\operatorname{div}, \Omega), \ \operatorname{div} \boldsymbol{w}=0, \ \langle\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{n}, 1\rangle{\Sigma_i}=0, \forall i
\end{array} \quad \boldsymbol{v}=\mathbf{c u r l} w\right.
$$
而且,$w$是唯一的,并且存在独立于$v$的$C>0$,使得
$$
|w|_{H(\operatorname{curl}, \Omega)} \leq C|v|_{L^2(\Omega)^{\circ}}
$$
备注3.6.2在满足(Top) $I=0$的情况下,对于向量势的切不存在消失通量条件,结果成立!在本例中,我们记得$Z_T(\Omega)$被简化为${0}$(命题3.3.11) 向量势$w$的唯一性,如果它存在,由第二个韦伯不等式得出。确实,如果$w_1$和$w_2$都满足所有条件(3.11),那么$\Omega$中的$\delta w:=w_1-w_2 \in X_T(\Omega), \operatorname{curl} \delta w=0$和$\operatorname{div} \delta w=0$,以及$\langle\delta w \cdot n, 1\rangle_{\Sigma_i}=0$,对于所有$i$。因此,$\delta w=0$,所以唯一性遵循。

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考

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