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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Some preliminary concepts
In our presentation of elementary solid state physics, semiconductors play a twofold pedagogical and applicative role: on the one hand, they represent a paradigmatic playground for developing a microscopic theory of charge transport in non-metallic systems (that is in systems where the free electron model cannot be used as effectively as in metals); on the other hand, they have a fundamental role in modern information and communication (nano)technologies. For these reasons they deserve the careful treatment here developed where both issues are addressed, together with a statistical treatment of charge carrier populations either in equilibrium condition or out of equilibrium.
Throughout this chapter we assume that the band structure of a semiconductor is known, as obtained by applying anyone of the methods developed in chapter 8 . Therefore, concepts like the valence (VB) and conduction $(\mathrm{CB})$ band, the energy gap and the effective mass of charge carriers will be extensively used.
We will distinguish between intrinsic and extrinsic semiconductors, provided that a pristine sample or a doped one (see section 2.5.1) is, respectively, considered. Basically, they differ in that only thermally excited carriers from the VB to the CB are available in pristine materials (hereafter referred to as intrinsic carriers), while additional electrons in $\mathrm{CB}$ and holes in $\mathrm{VB}$ are added in doped semiconductors (hereafter referred to as extrinsic carriers). This is of course the result of doping, that is, the alteration of the chemistry of the pristine material by insertion of donor or acceptor impurities: in the first case, the impurity atoms carry an excess of electrons with respect to the pristine material, while in the second case they lack of electrons or, equivalently, they carry an excess of holes with respect to the intrinsic population. In engineering applications doped semiconductors are mainly used.
Given the fundamental role played in semiconductor physics by doping, a preliminary question should be addressed, namely: what is the effect of doping on the underlying band structure of the material? The answer to this question is not at all trivial, since it requires the extensive use of the quantum mechanical perturbation theory: the presence of a dopant defect is described as a perturbation to the ideal case of perfect crystal and the way such a perturbation affects the band structure is accordingly calculated ${ }^1$. The graphical rendering of this concept is reported in figure $9.1$, which will soon be explained in full detail.
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Density of states for the conduction and valence bands
For further convenience we elaborate an explicit expression of the eDOS (previously introduced in section 7.3.1 only for metals) for a specific semiconductor band $n$. To this aim, we will combine the parabolic bands approximation outlined in section 8.3.1 with the concept of effective mass introduced in section 8.3.5.
Let us consider a generic band $E_n(\mathbf{k})$ and indicate by $G_n(E) d E$ the corresponding number of electron states with energy in the interval $[E, E+d E]$. If we know the single-electron energies, then we can calculate the eDOS $G_n(E)$ as
$$
G_n(E)=\sum_{\mathbf{k} \in \mathrm{1BZ}} \delta\left(E-E_n(\mathbf{k})\right)=\frac{V}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbf{k} \in 1 \mathrm{BZ}} \delta\left(E-E_n(\mathbf{k})\right) d \mathbf{k},
$$
where the discrete sum takes into account that only a set of discrete $\mathbf{k}$-points are rigorously allowed in the $1 \mathrm{BZ}$, while the integral expression is a good approximation valid in the limit of a very large crystal when we can treat the wavevector as a continuous variable ${ }^3$. It is convenient to normalise the eDOS with respect to the crystal volume, so as to obtain an expression independent of geometrical factors. To this aim, we introduce the density of states per unit volume $g_n(E)$ for the nth band as
$$
g_n(E)=\frac{G_n(E)}{V}=\frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbf{k} \in 1 \mathrm{BZ}} \delta\left(E-E_n(\mathbf{k})\right) d \mathbf{k},
$$
which allows us to directly calculate the total density of states (per unit volume) as $g_{\text {tot }}(E)=\sum_n g_n(E)$.
While equation (9.2) represents the most accurate way to calculate the eDOS for each band, in the following we can take profit from the twofold fact that: (i) most of the semiconductor physics is ruled over by carriers in the proximity of the forbidden gap; and (ii) the valence and the conduction bands are to a very good approximation parabolic near such a gap.
物理代写|固体物理代写固态物理代考|一些初步的概念
在我们介绍基本固态物理时，半导体发挥了教学和应用的双重作用:一方面，它们代表了发展非金属系统中电荷输运的微观理论的范式游乐场(即在自由电子模型不能像在金属中那样有效使用的系统中);另一方面，它们在现代信息和通信(纳米)技术中发挥着重要作用。由于这些原因，它们值得在这里进行仔细的处理，这两个问题都得到了解决，同时对处于平衡状态或不处于平衡状态的载流子种群进行了统计处理
在本章中，我们假设半导体的能带结构是已知的，可以通过应用第8章中提出的任何一种方法得到。因此，像价(VB)和导$(\mathrm{CB})$带、能隙和载流子的有效质量等概念将被广泛应用
如果分别考虑原始样品和掺杂样品(见第2.5.1节)，我们将区分内部半导体和外部半导体。基本上，它们的不同之处在于，在原始材料中只有从VB到CB的热激发载流子是可用的(以下称为本禀载流子)，而在掺杂半导体(以下称为外禀载流子)中添加了$\mathrm{CB}$中的附加电子和$\mathrm{VB}$中的空穴。这当然是掺杂的结果，也就是说，通过插入供体或受体杂质而改变了原始物质的化学性质:在第一种情况下，杂质原子相对于原始物质携带了多余的电子，而在第二种情况下，它们缺乏电子，或者，同样地，它们相对于固有总体携带了多余的空穴。在工程应用中主要使用掺杂半导体。考虑到掺杂在半导体物理中所起的基本作用，一个初步的问题应该被解决，即:掺杂对材料的底层能带结构有什么影响?这个问题的答案一点也不简单，因为它需要广泛使用量子力学摄动理论:掺杂缺陷的存在被描述为对完美晶体理想情况的摄动，这种摄动对带结构的影响的方式被相应地计算${ }^1$。这个概念的图形呈现见图$9.1$，稍后将详细解释。
物理代写|固体物理代写固态物理学代考|传导和价带的态密度
为了进一步方便，我们详细描述了特定半导体带$n$的edo的显式表达式(之前在7.3.1节中仅针对金属介绍过)。为了达到这个目的，我们将把8.3.1节中概述的抛物线带近似与8.3.5节中介绍的有效质量的概念结合起来
让我们考虑一个一般带$E_n(\mathbf{k})$，用$G_n(E) d E$表示在区间$[E, E+d E]$中具有能量的电子态的相应数目。如果我们知道单电子能量，那么我们可以计算出eDOS $G_n(E)$为
$$
G_n(E)=\sum_{\mathbf{k} \in \mathrm{1BZ}} \delta\left(E-E_n(\mathbf{k})\right)=\frac{V}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbf{k} \in 1 \mathrm{BZ}} \delta\left(E-E_n(\mathbf{k})\right) d \mathbf{k},
$$
，其中离散和考虑到$1 \mathrm{BZ}$中严格允许只有一组离散的$\mathbf{k}$ -点，而积分表达式是一个很好的近似，在一个非常大的晶体的极限下有效，当我们可以将波矢器视为一个连续变量${ }^3$。方便的是将eDOS与晶体体积归一化，从而得到与几何因素无关的表达式。为此，我们引入第n波段的单位体积态密度$g_n(E)$为
$$
g_n(E)=\frac{G_n(E)}{V}=\frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{\mathbf{k} \in 1 \mathrm{BZ}} \delta\left(E-E_n(\mathbf{k})\right) d \mathbf{k},
$$
，这使我们可以直接计算出(单位体积态密度)的总态密度$g_{\text {tot }}(E)=\sum_n g_n(E)$ .
虽然式(9.2)表示了计算每个波段的edo的最精确方法，但在以下情况中，我们可以从以下两个事实中获益:(i)在禁止间隙附近的大部分半导体物理是由载流子控制的;(ii)价带和导带在这样的间隙附近是一个非常好的近似抛物线。
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